26.2实际问题与反比例函数同步强化练习（含解析）

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26.2实际问题与反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则动力F关于动力臂l的函数图象为（　　）

A． B．
C． D．
2．计划修建铁路，铺轨天数为（d），每日铺轨量，则在下列三个结论中，正确的是　　
①当一定时，是的反比例函数；
②当一定时，是的反比例函数；
③当一定时，是的反比例函数．
A．仅① B．仅② C．仅③ D．①，②，③
3．下列各小题中的两个变量，成反比例的有( )
①路程不变时，匀速运动所需要的时间与运动的速度；②三角形的底边不变时，它的面积与这个底边上的高；③被除数不变时，除数与商；④x·y＝18中的y与x.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知一个三角形的面积为1，其中一条边长为x，这条边上的高为y，则y关于x的函数图象大致是(　　)
A． B． C． D．
5．已知矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，则与之间的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ）
A． B． C． D．
7．装卸机往一艘轮船上装载货物，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系如图所示．若要求在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物，则x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
8．下列两个变量之间的关系为反比例关系的是（ ）
A．匀速行驶过程中，行驶路程与时间的关系 B．体积一定时，物体的质量与密度的关系
C．质量一定时，物体的体积与密度的关系 D．长方形的长一定时，它的周长与宽的关系
9．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．如图所示的是该电路中电流与电阻之间的函数关系的图象，则用电阻表示电流的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
10．某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)上的一个动点，连接OA，过点O作OB⊥OA，并且使OB＝2OA，连接AB，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数y＝图象上移动，则k的值为(　　)
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
12．某司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为( )
A． B． C． D．
二、填空题
13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体实验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比）.则血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为 小时
14．在对物体做功一定的情况下，力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，其图象如图所示，P(5，1)在图象上，则当力达到10牛时，物体在力的方向上移动的距离是 米．
15．已知△ABC的面积为2，设底为x，底边上的高为y，则y与x之间的函数关系式是 .
16．在制作拉面的过程中，用一定体积的面团做拉面，面条的总长度y（单位：cm）与面条的横截面积x（单位：cm2）成反比例函数关系，其图像如图所示，当面条的横截面积小于1cm2时，面条总长度大于 cm．
17．某小区要种植一个面积为的矩形草坪，已知草坪的长随宽的变化而变化，可用函数的表达式表示为
三、解答题
18．已知三角形的面积为100cm2，求三角形的边长y（cm）与该边上的高x（cm）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
19．已知一次函数的图象与反比例函数 (k ≠ 0) 在第一象限内的图象交于点A（1，m）.
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 点B在反比例函数的图象上， 且点B的横坐标为2. 若在x轴上存在一点M，使MA+MB的值最小，求点M的坐标.
20．我们知道，图形通过平移、旋转、翻折变换后，不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置．
（1）一次函数y=x﹣1的图象是由正比例函数y=x图象向　　　　平移　　　个单位长度得到；
（2）已知函数y=（x＞0）图象如图①，在同一坐标系中画出函数y=（x＞﹣1）的图象，并观察函数y=的图象是由函数y=图象经过怎样的变换得到的；
（3）在平面直角坐标系中，矩形ABCD位置如图②，其中A、B、C三点的坐标分别为A（1，﹣1）、B（1，﹣2）、C（4，﹣2），现将反比例函数y=图象沿x轴正方向平移，若平移速度为每秒1个单位长度．
①设函数图象平移时间为t秒，求函数图象与矩形ABCD有公共点时t的取值范围；
②在平移过程中，当函数图象与矩形ABCD有公共点时，求函数图象扫过的区域夹在直线AD、BC之间的图形面积．
21．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，小时内其血液中酒精含量（毫克/百毫升）与时间（时）成正比例；小时后（包括小时）与成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出一般成人喝半斤低度白酒后，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由．
22．我市某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y（℃）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有多少小时？
23．如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况．实验数据记录如下：
x（cm） … 10 15 20 25 30 …
y（N） … 30 20 15 12 10 …
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
24．某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图像如图所示．
(1)求这个函数的解析式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？
《26.2实际问题与反比例函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B A B A C D D
题号 11 12
答案 A A
1．B
【分析】直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可．
【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，且阻力和阻力臂分别为和
∴动力F关于动力臂l的函数解析式为：，
即，是反比例函数，
又∵动力臂，
故B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解本题的关键．
2．A
【分析】根据工作总量工作效率时间，整理为反比例函数的一般形式：，根据是常数，是的反比例函数判断正确选项即可．
【详解】解：，
或，
反比例函数解析式的一般形式，为常数），
当一定时，是的反比例函数；
只有①正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义：形如，为常数）的函数叫做反比例函数；其中，一定，是的反比例函数．
3．C
【详解】两个变量的乘积是一个定值，那么这两个变量成反比例，根据反比例的定义可得①③④中的两个变量成反比例，故选C.
点睛：判定两个变量是否成反比例关系，应看是否能写成反比例函数的形式，即两个变量的积是不是一个常数.
4．B
【分析】三角形的面积=×底边×底边上的高，那么底边=2三角形的面积÷这个底边上的高，线段应大于0，实际意义的函数都在第一象限．
【详解】∵xy=1，
∴y关于x的函数关系式为y=（x＞0），由于线段的长不为0，故函数图象在第一象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，由题意可得，则与之间的函数图象是反比例函数图象，并且分布在第一象限，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵矩形的面积为，相邻的两条边长分别为和，
∴，
∴函数解析式为：，
∴与之间的函数图象大致是：
故选：．
6．B
【分析】设先求出的值，从而得出反比例函数解析式，再将代入反比例函数即可得出答案．
【详解】解：电流是电阻的反比例函数，
设
把，代入，得
电阻增大
把代入，得
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握欧姆定律是解题的关键．
7．A
【分析】由题意知，装完货物所需时间y（分钟）与装载速度x（吨/分钟）之间的函数关系是反比例函数关系，且可求得此关系式，求出当时x的值，即装载速度即可确定答案．
【详解】解：由题意，设函数解析式为：，
由图象知，函数过点，把此点坐标代入上式中得：，
∴，
即，
当时，有，解得：；
即当时，在120分钟内（包括120分钟）装完这批货物；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，理解题意，根据题意求得函数解析式是关键．
8．C
【详解】本题考查的是实际问题中的函数关系
根据各小题中两个变量之间的关系列出函数关系式即可判断．
A、函数关系为：路程=速度时间，是正比例函数，故本选项错误；
B、函数关系为：质量=密度体积，是正比例函数，故本选项错误；
C、函数关系为：体积，是反比例函数，故本选项正确；
D、函数关系为：周长=，是一次函数，故本选项错误；
故选C.
9．D
【分析】本题考查了实际问题列反比例函数关系式．观察图象，函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式（）即可求得k的值．
【详解】解：设反比例函数的解析式为（），
由图象可知，函数经过点，
∴，得
∴反比例函数解析式为．
即用电阻R表示电流I的函数解析式为
故选D
10．D
【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式．
【详解】由题意得：，
即，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
11．A
【详解】解：∵点A是反比例函数（x＞0）上的一个动点，∴可设A（x，），∴OC=x，AC=，∵OB⊥OA，∴∠BOD+∠AOC=∠AOC+∠OAC=90°，∴∠BOD=∠OAC，且∠BDO=∠ACO，∴△AOC∽△OBD，∵OB=2OA，∴，∴OD=2AC=，BD=2OC=2x，∴B（﹣，2x），∵点B反比例函数图象上，∴k=﹣ 2x=﹣4，故选A．
点睛：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用A点坐标表示出B点坐标是解题的关键．
12．A
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可．
【详解】解：该司机以70千米/时的平均速度行驶了6小时到达目的地，
行驶的路程为(千米)，
汽车的速度v(千米/时)与时间t(时)的函数解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，重点是找出题中的等量关系．
13．
【分析】分别求出当和时y与x的表达式，再根据血液中药物浓度不低于4微克/毫升求出持续时间即可．
【详解】解：当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
∴，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，根据图象求出一次函数和反比例函数的表达式是解答本题的关键．
14．0.5/
【详解】解：由于力F(牛)与此物体在力的方向上移动的距离s(米)成反比例函数关系，则设，
由于P(5，1)在图象上，则，
∴，
∴当时，故．
故答案为：0.5．
15．y=
【详解】根据三角形的面积公式可得，即可得y与x之间的函数关系式是.
16．128
【分析】设反比例函数解析式为y＝ ，利用待定系数法求出k；根据x＜1得到关于y的不等式，求出y的取值范围即可．
【详解】解：由题意可以设y＝，
把（4，32）代入得：k＝128，
∴y＝（x＞0）．
∴x＝，
∵x＜1，
∴＜1，
∴y＞128，
∴面条总长度大于128cm．
故答案为：128．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，属于基础题目，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键．
17．
【分析】本题考查的是列反比例函数关系式，直接利用矩形的面积公式列函数关系式即可．
【详解】解：由矩形面积=矩形长×矩形宽可得：，
∴．
故答案为：．
18．y=（x>0）
【分析】三角形的面积=边长×这边上高÷2，进而把相关数值代入求值即可．
【详解】解：∵三角形的面积=边长×这边上高÷2，三角形的面积为100cm2，一边长为ycm，此边上高为xcm（x>0），
∴
∴（x>0），
【点睛】考查如何列反比例函数关系式问题，根据三角形的面积得到求一边上的高的等量关系是解决本题的关键．
19．（1）；（2）点M的坐标为 .
【分析】（1）把点A（1，m）代入一次函数y=2x，即可求出m=2，再把点A（1,2）代入反比例函数，即可求出反比例函数的表达式；
(2) 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，此时MA+MB最小，A关于x轴的对称点（1，-2），求出直线的表达式，即可求解.
【详解】（1）∵A（1，m）在一次函数y=2x的图象上
∴m=2，
将A（1,2）代入反比例函数得k=2
∴反比例函数的表达式为
（2）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，
此时MA+MB最小
A关于x轴的对称点（1，-2），
∵B（2,1）
∴直线的表达式为
∴点M的坐标为
【点睛】考查反比例函数与一次函数的交点问题, 轴对称-最短路线问题，掌握待定系数法是解题的关键.
20．（1）下，1；（2）函数y=的图象是由函数y=图象经向左平移一个单位得到的；（3）①2≤t≤6；②S=4．
【分析】（1）根据图象向右平移减，可得答案；
（2）根据图象向左平移加，可得答案；
（3）①根据图象向右平移减，最先经过B点，最后经过D点，可得答案；
②根据图形的割补法，可得规则的图形，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解:（1）一次函数y=x﹣1的图象是由正比例函数y=x图象向下平移1个单位长度得到，故答案为下，1；
（2）如图1：
，
函数y=的图象是由函数y=图象经向左平移一个单位得到的．
（3）①当函数y=的图象经过点B时，函数表达式为y=，
当函数y=的图象经过点D时，函数表达式为y=，
由函数图象平移规律得2≤t≤6；
②如图2，函数图象扫过的区域夹在直线AD、BC之间的图形是图形AEBFD
图形ABE向右平移3个单位，得图形DGF，
图形DGF与图形CDF组合成边长为1的正方形CFGD，
S=3×1+1×1=4．
【点睛】本题考查了反比例函数综合题，利用了图象平移的方法：图象向右平移减，向左平移加是解题关键，又利用了图形的割补法得出规则的图形．
21．（1）；（2）第二天早上能驾车去上班．理由见解析．
【分析】（1）根据题意及图像可得需分类进行求解，即当时，符合正比例函数，进而根据点进行求解即可，当时，符合反比例函数，则根据点进行求解即可；
（2）由题意及（1）易得晚上到第二天早上，有小时，所以把x=12代入反比例函数解析式进行求解即可．
【详解】解：（1）由题意可得：
当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
当时，设函数关系式为：，
则，
解得：，
故，
综上所述：与之间的函数关系式为：；
（2）第二天早上能驾车去上班．
理由：∵晚上到第二天早上，有小时，
∴时，，
∴第二天早上能驾车去上班．
【点睛】本题主要考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的实际应用是解题的关键．
22．（1）240；（2）15．
【详解】试题分析：（1）直接将点A坐标代入即可；
（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y=20，所以计算AD和BC两段当y=15时对应的x值，相减就是结论．
试题解析：（1）把B（12，20）代入中得：k=12×20=240；
（2）设AD的解析式为：y=mx+n．把（0，10）、（2，20）代入y=mx+n中得：，解得：，∴AD的解析式为：y=5x+10．当y=15时，15=5x+10，x=1，15=，x==16，∴16﹣1=15．
答：恒温系统在一天内保持大棚里温度在15℃及15℃以上的时间有15小时．
考点：反比例函数的应用；分段函数．
23．（1）图象见解析；；（2）随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数不断增大．
【分析】（1）在平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点，然后由图象猜测可y与x之间的函数关系为反比例函数关系；再根据待定系数法求解即可；
（2）把y＝24代入（1）中的函数关系式即可求出弹簧秤与O点的距离，根据反比例函数的性质即可得出答案；
【详解】解：(1)取实验数据(10，30)，(15，20)，(20，15)，(25，12)，(30，10)，并在平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点，得到如图所示的图象．由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数关系．
设反比例函数为(k≠0)，把 x＝10，y＝30代入，
得k＝300，
∴，将各点代入均适合．
∴y与x之间的函数解析式为．
(2)把y＝24代入，得x＝12.5．
∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点之间的距离是12.5cm．
随着弹簧秤与O点之间的距离不断减小，弹簧秤的示数不断增大．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意、得出相应的反比例函数关系式是解题的关键．
24．(1)
(2)气压是
(3)为了安全起见，气体的体积应不少于
【分析】（1）设，将点代入，得，进行计算即可得；
（2）当时，，即可得；
（3）当时，，即可得．
【详解】（1）解：设，
将点代入，得，
，
即这个函数的解析式为；
（2）解：当时，，
即当气体体积为时，气压是；
（3）解：当时，，
所以为了安全起见，气体的体积应不少于．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比函数的图像和性质．
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