27.2相似三角形同步强化练习（含解析）

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27.2相似三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，路灯P距地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯杆的底部（点O）8米的点A处，小明的影长是（　　）
A．1.6米 B．1.8米 C．2米 D．2.2米
2．已知∽，且，则DF的长为（ ）
A．1cm B． C．6cm D．6cm或
3．如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　)
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．等边三角形都相似
C．锐角三角形都相似 D．直角三角形都相似
5．在图（1）、（2）所示的△ABC中，AB=4，AC=6．将△ABC分别按照图中所标注的数据进行裁剪，对于各图中剪下的两个阴影三角形而言，下列说法正确的是（ ）
A．只有（1）中的与△ABC相似
B．只有（2）中的与△ABC相似
C．都与△ABC相似
D．都与△ABC不相似
6．如图，在ΔABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=3，则BC的长是：( )
A．6 B．8 C．9 D．12
7．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　）
A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2）
8．如图，矩形中，，动点P沿着的路径匀速运动，过点P作，垂足为Q，设点P的运动路程为x，以B，C，P，Q为顶点的四边形的面积为y，则y与x的大致函数图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，且面积比为，则它们对应高的比是（ ）
A． B． C． D．
10．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点，线同一平面内），图中相似而不全等的三角形有几对（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．某同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，他在某一时刻立米长的标杆测得其影厂为米，同时旗杆的投影一部分在地面上，另一部分在某一建筑的墙上，分别测得其长度为米和米，则学校旗杆的高度为（ ）米．
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC= ．
14．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转一定的角度得，且点D恰好落在边上，与交于点F．
（1）求 ；
（2）当时， ．
15．如图，中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若 的面积为2，则四边形EBCF的面积为 ．
16．如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为 ．
17．如图，点D、E在的边上，请添加一个条件： ，使．
三、解答题
18．如图，延长弦、弦，交于圆外一点A，连接．
(1)证明：；
(2)若，求．
19．如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
20．如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面，坡角．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为，在坡面上的影长为．同一时刻，小明测得直立于地面长60cm的木杆的影长为90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．

21．如图，的内角平分线与外角平分线分别交及的延长线于点，.
(1)求的度数；
(2)若点为的中点，求证：．
22．在中，．在中，，则和相似吗？为什么？
23．如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为的线段（点位于点的上方）在轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出三点的坐标；
(2)过点作轴于点，当和相似时，求点的坐标．
24．定义：若抛物线的图象恒过定点，则称为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线．
（1）求抛物线L的不动点坐标；
（2）如图1，已知平面直角坐标系中、、，以点B为圆心，为半径作⊙B，点P为⊙B上一点，将点C绕点P逆时针旋转得到点，当点P在⊙B上运动时，求线段长度的最大值；
（3）在（2）的条件下，若抛物线L的对称轴是直线﹔
①求抛物线L的解析式；
②如图2，若直线交抛物线L于点、，交y轴于点Q，平面内一点H坐标为，记，当点P在⊙B上运动时，求的取值范围．
《27.2相似三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C B B C B A D C
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】由题意直接利用相似三角形的性质解答即可判断选项．
【详解】解：由图可知：△CAB∽△COP，
∴，
即，
解得：AC＝2，
故选：C．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，根据题意得出△CAB∽△COP并利用相似三角形的性质分析是解题关键．
2．C
【详解】试题解析：∵△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB=2，AC=4，DE=3，
∴
解得DF=6．
故选C．
3．C
【详解】设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，故选C.
4．B
【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误；
B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确；
C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误；
D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查命题与定理；相似三角形的判定．
5．B
【分析】根据相似三角形判定定理，两边对应成比例夹角相等，两个三角形相似，先求出两个三角形中夹角相等的两边的比值，看是否相等可判断A不正确，B正确，进而可判断C与D即可．
【详解】解：图形（1）中标字母如图，
∵BE=2，BA=4，，BF=3，BC不定，，
∴（1）中的△BEF不与△ABC相似，
故选项A不正确；
图2中标字母如图，
∵GC=4，BH=1，AB=4，AC=6．
∴AH=AB-BH=4-1=3，AG=AC-GC=6-4=2，
∴，，
∴，
∵∠HAG=∠CAB，
∴△AHG∽△ACB，
故选项B正确，
，
故选项C不正确，选项D不正确．
故选择B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
6．C
【详解】∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE（AAA），
∴
又∵AD：DB=1：2，DE=3，
∴
∴BC＝9；
故选C．
7．B
【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）．
故选：B．
点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点．
8．A
【分析】由勾股定理可得AC=5，根据点P的运动，需要分段讨论：当点P在AC上时，易证，列出比例式，可求得函数关系式；当点P在CD上时，易得△CPQ∽△CAB，根据比例可求得PQ的长，再根据三角形面积公式得到y与x的关系，最后结合选项判断即可．
【详解】解：∵由勾股定理得，
分类讨论如下：
（1）如图1，当点P在上移动时（四点围图为梯形），
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图2，当点P在上移动时（四点围图为矩形），
∵点P的运动路程为x，
∴PC=x-5，
∵，
∴；
故依据函数解析式得图象如图3，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
9．D
【分析】根据相似三角形的面积比是相似比的平方，相似三角形的对应高的比是相似比即可解答．
【详解】∵，且面积比为4：9，
∴与的相似比为2：3，
∴与对应高的比为2：3．
故选D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据相似（不包括全等）三角形的判定可以得出结论．
【详解】解：图中相似而不全等的三角形有：△ADE∽△BAE，△CDA∽△ADE，△BAE∽△CDA．
∵△BAC和△AGF都是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠FAG＝45°，
∴∠BAE＝∠ADE＝45°+∠BAD；
∵△EAD和△EBA中，∠AED是公共角，
∴△ADE∽△BAE；
同理，可得△CDA∽△ADE．
∴△BAE∽△CDA．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质．
11．C
【详解】试题分析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选C．
考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质．
12．D
【分析】利用相似三角形对应线段成比例，求解即可．
【详解】解：米长的标杆测得其影长为米，即某一时刻实际高度和影长之比为定值，
所以墙上的米投射到地面上实际为米，即旗杆影长为米，
因此旗杆总高度为米，
故选．
【点睛】本题考查的是相似形在投影中的应用，关键是利用相似比来解题．
13．3:2
【详解】因为DE∥BC,所以,因为EF∥AB,所以,所以,故答案为: 3:2.
14．
【分析】（1）过点A作于点G，由旋转的性质知，设，则，，，由，可得，可求结论；
（2）过A点作交于点M，由可解．
【详解】（1）如图，过点A作于点G．
设，则．
由旋转的性质知，
∴．
在中，．
∵，∠B=∠B
∴．
∴，即，
得．
∵，
∴．
∴，
故答案为：
（2）如图，过A点作交于点M．
由（1）知．
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
即，
解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
15．16
【详解】∵，∴．
又∵∠EAF=∠BAC．∴△AEF∽△ABC．∴．
∵，∴S△ABC=18．∴S四边形EBCF=S△ABC﹣S△AEF=18﹣2=16．
考点：相似三角形的判定和性质．
16．22
【分析】作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN ，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
【详解】解：如图，作GH⊥BC，
则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴四个小正方形的面积之和.
故答案为：22.
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
17．或或（答一个即可）
【分析】根据相似三角形的判定定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，故添加条件可证其相似；
根据两边对应成比例且夹角相等，故添加条件可证其相似；
∵，
∴，故添加条件可证其相似；
故答案为：或或（答一个即可）．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．
18．(1)见解析
(2)10
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，即可证得；
（2）根据，可得，即可求解．
本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
∴．
19．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明；
（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，
，．
，，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．(170+60)cm
【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．
【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，
则DF=CD=90（cm），CF=CD cos∠DCF=180×=90（cm），
由题意得：=，即=，
解得：EF=135，
∴BE=BC+CF+EF=120+90+135=(255+90)cm，
则=，
解得：AB=170+60，
答：立柱AB的高度为(170+60)cm．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．
21．见解析
【分析】（1）由角平分线的性质及∠BAD为平角直接可得；
（2）由于线段PM、CM、BM在同一条直线上，所以必须把某条线段转化为另一相等的线段，构造相似三角形，因此，可证PM＝AM，从而证明△ACM与△ABM相似即可．
【详解】（1）∵AP平分∠BAC，∴，
又∵AQ平分∠CAD，∴．
∴．
又∵∠BAC＋∠CAD＝∠180°，∴∠PAC＋∠CAQ＝90°，即∠PAQ＝90°．
（2）如图，连接AM，∵∠PAQ＝90°，M是PQ的中点，
∴PM＝AM，∴∠APM＝∠PAM．
∵∠APM＝∠B＋∠BAP，∠PAM＝∠CAM＋∠PAC，
∴∠B＝∠CAM，∵∠AMC＝∠BMA，
∴△ACM∽△BAM．
∴．
∴AM2＝CM·BM，即PM2＝CM·BM．
22．．理由见解析．
【分析】直接利用直角三角形的性质得出AC、DE的长，再利用相似三角形的判定方法得出答案．
【详解】解：相似，理由如下：
在中，，由勾股定理得．
在中，，由勾股定理得．
∴有，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
23．(1)，，
(2)点的坐标是或或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合，分类讨论思想等知识和技巧的综合运用是解题的关键．
（1）根据二次函数图象与坐标轴交点的计算方法即可求解；
（2）根据题意，设，则，，，则，，，，结合三角形相似的判定方法，图形结合分析，分类讨论：①当时，；②当时，；由此即可求解．
【详解】（1）解：在中，令得，令得或，
∴，，；
（2）解：抛物线的对称轴为直线，
设，则，，，
∵，，
∴，，，，
∵，
∴和相似只需或，
①当时，，
解得或，
∴或；
②当时，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点的坐标是或或．
24．（1）（0,1）和（2,3）；（2）；（3）①②
【分析】（1）将函数关系式变形即可得出当=0时，值不受影响，求出定点坐标即可；
（2）用相似三角形得出的轨迹，然后分析得出最大值即可；
（3）①利用对称轴公式求解出的值，即可得出函数关系式；②根据点到直线的距离求出的取值范围，用表示出即可求解出取值范围；
【详解】解：（1）
当=0时，值不受影响
解得，
当时，
当时，
∴恒过定点（0,1）和（2,3）
即抛物线L的不动点坐标是（0,1）和（2,3）
故答案为（0,1）和（2,3）
（2）如图所示，过点B作BQ⊥轴，使
在取一点，作
则是直角三角形
∵，
又∵
∴
∴
∴
∴点是以Q为圆心，为半径的圆，
如图所示，共线时，最大
，
∴，
故答案为；
（3）①
∵对称轴为
∴
∴
∴
故答案为
②∵过点
∴设函数关系式为，则
∴
∴
当与相切时，点到直线的距离为1
∴，解得
∴的取值范围是
当时，，，
当时，令，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、旋转、函数的最值、动点问题等，其中用韦达定理处理复杂数据，数形结合是此类题目的一种基本方法．
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