28.1锐角三角函数同步强化练习（含解析）

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28.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90 ，那么等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，交AC于点D，则cosA=（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在的正方形网格中，的顶点都在格点上，则的正弦值是（ ）

A． B． C． D．
5．从观测点A测得海岛B在其北偏东60°方向上，测得海岛C在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C海岛，则C海岛到观测点A的距离是（ ）
A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里
6．如图，的半径弦于点，连接并延长交于点，连接．若，，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足 为E，，则下列结论中：①DE=3cm；②EB=1cm；③．正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．在△ABC中，∠A=105°，∠B=45°，的值是（ ）
A． B． C．1 D．
10．△ABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1），AD⊥BC于D，下列选项中，错误的是（　　）
A．sinα＝cosα B．tanC＝2 C．sinβ＝ D．tanα＝1
11．“新中梁山隧道”于2017年11月21日开放通行，原中梁山隧道将封闭升级，扩容改造工程预计2018年3月全部完工，届时将实现双向8车道通行，隧道通行能力将增加一倍，沿线交通拥堵状况将有所缓解．图中线段AB表示该工程的部分隧道．无人勘测机从隧道侧的A点出发时，测得C点正上方的E点的仰角为45°，无人机飞行到E点后，沿着坡度i=1：3的路线EB飞行，飞行到D点正上方的F点时，测得A点的俯角为12°，其中EC=100米，A、B、C、D、E、F在同一平面内，则隧道AD段的长度约为（　　）米，（参考数据：tan12°≈0.2，cosl2°≈0.98）

A．200 B．250 C．300 D．540
12．数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．计算= ．
14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是
15．中，，，，则 ．
16．等腰三角形的面积为24,底边长4,则底角的正切值为 ．
17．求值： ．
三、解答题
18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交边AB、CD于点E、F，连接CE、AF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=，求四边形AECF的面积．
19．如图，PB为的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA，AO.并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是的切线；
(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
20．阅读下列材料，并完成相应的任务．
初中阶段，我们所学的锐角三角函数反映了直角三角形中的边角关系（如图）：
．
一般地，当、为任意角时，与的值可以用下面的公式求得：
；
．
例如：．
根据上述材料内容，解决下列问题：
（1）计算：_______；
（2）在中，，请你求出和的长．
21．如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长．
22．在Rt中，，，求的值．
23．求下列各式的值；
（1）；
（2）．
24．综合与实践
如下图，在边长为1的正方形网格中，连接格点、和、，和相交于点，求的值．
方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形．观察发现问题中不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点，，可得，则，连接，那么就变换到中．
数学思考
（1）上图中______；
（2）如下图，，，，四点均在边长为1的正方形网格的格点上，与相交于点，求的值．

深入探究
（3）如下图，，，，，五点均在边长为1的正方形网格的格点上，交的延长线于点，求的值．

《28.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D D D D A C
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系结合勾股定理即可求解．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，，，
∴，
设，则，
∵，即，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．A
【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴=，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．
3．B
【分析】过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．根据等边对等角，三角形内角和定理求出∠ABC和∠C，根据角平分线的定义求出∠ABD和∠CBD，根据三角形外角的性质求出∠BDC，根据等角对等边确定AD=BD=BC，并用b表示出AD的长度，进而表示出DC的长度，根据该等腰三角形的性质用a来表示AE的长度，根据相似三角形的判定定理和性质列出比例式，并用a表示b，进而用a表示AD的长度，最后根据余弦的定义即可求解．
【详解】解：如下图所示，过点D作DE⊥AB于E，设AB=AC=a，BC=b．
∵AB=AC，∠A=36°，
∴．
∵BD平分∠ABC，
∴．
∴∠A=∠CBD=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°．
∴∠BDC=∠C，AD=BD．
∴AD=BD=BC=b．
∴．
∵DE⊥AB，
∴．
∵∠ACB=∠BCD，
∴．
∴．
∴．
∴用a表示b得，（舍）．
∴．
∴．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，等角对等边，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的判定定理和性质，余弦的定义，综合应用这些知识点是解题关键．
4．B
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】解：，，，
，
为直角三角形，且，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义，熟知在一个三角形中，如果两条边长的平方之和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形是解答此题的关键．
5．D
【分析】利用平行线性质得出：∠ABD=∠EAB=60°，进而得出∠ABC=∠BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得出：∠EAC=80°，∠EAB=60°，∠DBC=40°，BC=40×2=80（海里），
∴∠BAC=80°-60°=20°，∠BCA=60°，
∵AE∥BD，
∴∠ABD=∠EAB=60°，
∵∠DBC=40°，
∴∠ABC=60°-40°=20°，
∴∠ABC=∠BAC=20°，
∴BC=AC=80（海里）．
∴C海岛到观测点A的距离是80海里．
故选D
.
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．
6．D
【分析】根据垂径定理得到，设AO＝x，则，在Rt△ACO中根据勾股定理得到，解得x＝5，则OC＝3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE＝90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE＝2OC＝6，然后在Rt△CBE中，由三角函数的定义求出即可．
【详解】连接，如图：
∵，∴，设，则，在中，∵，
∴，解得，
∴，∵是直径，∴，
∵是的中位线，∴，
∴．
故选：D.
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的关键．
7．D
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．
【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
8．D
【详解】∵四边形ABCD是菱形，其周长=20cm，
∴AB=AD=5cm，
∵DE⊥AB于点E，
∴∠AED=90°，
∴cosA=，
∴AE=4cm，
∴BE=AB-AE=1cm，DE=cm，
∴S菱形ABCD=AB·DE=5×3=15cm2.
综上所述，题中所给三个结论都是正确的.
故选D.
9．A
【分析】先求出∠C=30°，再求出的值即可．
【详解】解：△ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105°-45°=30°，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
10．C
【详解】试题分析：由图可分别求得BD=AD=2，AB=2，CD=1，AC=，利用锐角三角函数定义在Rt△ABD和Rt△ACD中计算即可判断．
解：由图可得BD=AD=2，CD=1，
所以AB==2，AC==，
在Rt△ABD中，sinα==，cosα==，tanα==1,
在Rt△ACD中，sinβ==，cosβ==，tanC==2,
则sinα＝cosα，故A正确；tanC＝2，故B正确；sinβ≠cosβ，故C错误；tanα=1，故D正确.
故选C．
11．B
【分析】根据坡度的概念和俯角的概念解答即可．
【详解】解：由题意得，∠EAC＝45°，EC＝100米，
∴AC＝EC＝100米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BC＝3EC＝300米，
∴AB＝300＋100＝400米，
设DF＝x米，
∵BE的坡度为1：3，
∴BD＝3DF＝3x米，
∵∠DAF＝12°，tan12°≈0.2，
∴AD＝5DF＝5x米，
则8x＝400，
解得x＝50，
∴AD＝250米．
故选B．
【点睛】本题考查的是解直角三角形、熟记锐角三角函数的定义、根据题意列出方程是解题的关键．
12．C
【详解】∵，cos45°=，
∴数字，，π，，cos45°，中属于无理数的有：，π，cos45°，共3个．
故选C．
13．3
【分析】根据特殊角的正切函数值、二次根式的乘法即可得．
【详解】，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了特殊角的正切函数值、二次根式的乘法，熟记特殊角的正切值是解题关键．
14．
【分析】由题意得，，有，由，求出的值，由，求出的值即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
解得
∵
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，特殊角的三角函数值．解题的关键在于根据特殊角的三角函数值求线段长．
15．6.5
【分析】直接利用锐角三角函数关系进而得出AB的值．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，BC=2.5，=，
∴，
∴AB=6.5．
故答案为6.5．
【点睛】锐角三角形正弦（sin）等于对边比斜边；=，正确掌握边角关系是解题关键．
16．6
【详解】试题分析：等腰三角形的面积为24，底边为4，设高为h,根据题意可得，h=12
所以,底角的正切值==6，故答案为6．
考点：1．等腰三角形的性质;2．锐角三角形函数
17．
【分析】根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
【详解】tan60°的值为．
故答案为．
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
18．（1）证明详见解析；（2）20.
【详解】试题分析：（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，用全等三角形得出；
（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．
试题解析：（1）证明：方法1：
∵AB∥DC，
∴∠1=∠2．
在△CFO和△AEO中，∠1=∠2，∠FOC=∠EOA，OC=OA，
∴△CFO≌△AEO，
∴OF=OE，
又∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
方法2：证△AEO≌△CFO同方法1，
∴CF=AE，
∵CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵OA=OC，EF⊥AC，
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形．
（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF=4，
∴OE=EF=×4=2．
在Rt△AEO中，
∵tan∠OAE=，
∴OA=5，
∴AC=2AO=2×5=10．
∴=EF AC=×4×10=20．
考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
19．（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.
【分析】（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．
【详解】解：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵，且OC=4，
∴AC=6，∴AB=12，
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OCPC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.
易证，
所以,
解得，
则，
在中，.
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．
20．（1）；（2），
【分析】（1）根据题干中的公式可求．
（2）根据锐角的三角函数值，求AC和BC的值
【详解】解：
（2）中，∵，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，合理利用题干中告知的公式是本题的关键．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）运用切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，题中已知，所以，切于点B，同时切于点，即可求证；
（2）连接，可得，由（1）得，根据各个角之间的关系可得，所以，依据正切定义可得，再根据三角形相似判别及性质，对应边成比例，即可得出答案．
【详解】（1）证明：
∵，
∴，
又∵经过半径的外端点，
∴切于点，
与边相切于点，
∴．
（2）解：连接，∵为的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴（舍去），．
即线段的长为．
【点睛】题目主要考查切线长定理、圆内三角形基本性质、三角函数、相似三角形的判别及性质等知识点，难点在于对定理得熟练掌握理解和对这些知识点的融会贯通．
22．
【分析】根据锐角三角函数值解答．
【详解】解：==．
【点睛】此题考查锐角三角函数值，熟记各角度的三角函数值是解题的关键．
23．（1）；（2）
【分析】结合三角函数值计算即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，属于基础的计算题型，难度不大．解题的关键是掌握特殊的三角函数值即可．
24．（1）（2）（3）
【分析】本题考查了平行线的性质，勾股定理及逆定理，平行四边形的判定，求一般角的三角函数值；
（1）可证，从而可得，可得，由勾股定理、的长，由即可求解；
（2）取格点，连接，，可证，从而可得，由勾股定理、的长，由即可求解；
（3）取格点，连接，，可证，从而可得，判定是直角三角形，由即可求解；
根据题意构建出适合的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：（1）、是正方形小方格的对角线，
，
，
，
由图得：
，
，
，
，
；
故答案：；
（2）如图，取格点，连接，，
由图得：
，
，
，
，
，
；
（3）如图，取格点，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
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