8.1与三角形有关的边和角同步强化练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 8.1与三角形有关的边和角同步强化练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 14:48:09 | ||
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文档简介
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8.1与三角形有关的边和角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
3．如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．如图，在中，于点D，则是（ ）
A．边上的高 B．边上的高 C．边上的高 D．以上都不对
6．在中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知于点B，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，垂足为H，那么与互余的角有（ ）
A． B． C．和 D．和
10．如图，AD是的中线，CE是的中线，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102° B．132° C．100° D．112°
二、填空题
13．如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ．
14．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为 ．
15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．
16．如图，直线，， ，则 ．
17．如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)求的度数．
19．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
20．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在的边上任取一点B，过点B作于点C，并作的垂线，连接是上一点，并且，
请你证明．
21．[分类讨论]如图，BD为的角平分线，若，，E为线段上一点，当为直角三角形时，求的度数．
22．如图，，点分别在射线上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点，的大小是否发生变化？如果保持不变，请证明；如果随点的移动发生变化，请求出变化范围．
23．如图所示，为的边上中线，的周长比的周长大，，求边的长．
24．如图，中，，，是边上一点，交的延长线，交于点，．求的大小．
《8.1与三角形有关的边和角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B D A D D A
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°，
∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了翻折，三角形的外角，根据翻折得，根据三角形的外角得，，可得，即可得；掌握翻折，三角形的外角是解题的关键．
【详解】解：如图所示，直线m交于点F，交于点E，
∵在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴，
∵，，
∴
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可．
【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
5．B
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形高的画法，是解题的关键．根据三角形高的定义进行判断即可．
【详解】解：是中边上的高，故B正确．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了三角形的高，经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得到答案．
【详解】解：A．是边上的高，故A选项不符合题意；
B．作的不是的高，故B选项不符合题意；
C．是边上的高，故C选项不符合题意；
D．是边上的高，故D选项符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】根据垂直的定义得出，根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，同位角相等”可得．
本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
．
又，
，
，
．
故选A．
8．D
【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可．
【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查余角的定义，利用余角的定义解题即可，解题的关键是掌握和为的两个角互为余角．
【详解】解：∵，，
∴，
∴与互余的角有和，
故选D．
10．A
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积平分来解题即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，
∴S△ADC＝S△ABC，S△ACE＝S△ADC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ACE＝S△ABC＝×24＝6．
故选：A．
【点睛】考查三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分．
11．C
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【详解】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
又，，
∴
＝（AB＋AD＋BD） （AC＋AD＋CD）
＝AB＋AD＋BD AC AD CD
＝AB AC
＝8 5
＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
12．D
【分析】根据∠1+∠PCB=∠ACB=68°及∠1=∠2，可由等量代换可知2+∠PCB=68°，然后利用三角形的内角和定理可得出所求角的度数．
【详解】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-68°=112°，
故答案选D．
【点睛】利用等量代换的思想及三角形的内角和定理是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：因为，
所以的边上的高为线段，
因为，
所以边上的高为线段，
因为
所以，
故答案为：，，．
14．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，如图所示，连接，过点作垂直于直线于，根据三角形中线的性质求出，从而求出，再根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，过点作垂直于直线于，
∵分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵垂线段最短，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
15．＜
【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：由题意，
，
，
∴；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
16．/30度
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
17．/50度
【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键．
（1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论；
（2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：是高，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）解：，
，
、是角平分线，
，
是的外角，
．
19．a+3b
【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．
20．见解析
【分析】根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】证明
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形外角的性质定理，平行线的判定和性质定理是解题的关键．
21．或
【分析】利用分类讨论思想：如图1，时可直接求出；如图2，当时，则．
【详解】解：，BD为的角平分线，
，
当时，如图1，
；
当时，如图2，
，
．
【点睛】本题考查的是角平分线定义及三角形内角和定理，理解角平分线定义和掌握三角形内角和定理是解题关键．
22．见解析
【详解】7．的大小保持不变．
证明：平分平分，，即．
又．
故的大小不发生变化，且始终保持．
【易错点分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件；通常情况下，将三角形的外角转化为内角来解决．
23．
【分析】根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，推出
，即可求解．
【详解】解：∵为的边上中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
即，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形一个顶点和对边中点的连线是三角形的中线．
24．115°
【分析】首先根据三角形外角的性质可得，，代入相应数值可得答案．
【详解】解：，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
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8.1与三角形有关的边和角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，则的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
3．如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
5．如图，在中，于点D，则是（ ）
A．边上的高 B．边上的高 C．边上的高 D．以上都不对
6．在中，作BC边上的高（图中虚线），下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，已知于点B，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．小林求的面积时、作了边上的高，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，，垂足为H，那么与互余的角有（ ）
A． B． C．和 D．和
10．如图，AD是的中线，CE是的中线，若，则等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图，，，为中线，则与的周长之差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（ ）．
A．102° B．132° C．100° D．112°
二、填空题
13．如图，在中，，垂足分别为，，，则的边上的高为线段 ，边上的高为线段 ；若，则为 ．
14．如图，点为直线外一动点，，连接，点分别是的中点，连接交于点，当四边形的面积为时，线段的长度最小值为 ．
15．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均在格点上，则 (填“＞”，“＜”或“＝”)．
16．如图，直线，， ，则 ．
17．如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 ．
三、解答题
18．如图，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点，．
(1)若，求的度数；
(2)求的度数．
19．已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|2a+b﹣c|﹣|b﹣2a﹣c|+|﹣a﹣b﹣2c|．
20．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，经过无数人探索，现在已经确信，仅用圆规和直尺是不可能作出的．在探索过程中，我们发现，可以利用一些特殊的图形，把一个角三等分．如图：在的边上任取一点B，过点B作于点C，并作的垂线，连接是上一点，并且，
请你证明．
21．[分类讨论]如图，BD为的角平分线，若，，E为线段上一点，当为直角三角形时，求的度数．
22．如图，，点分别在射线上移动，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点，的大小是否发生变化？如果保持不变，请证明；如果随点的移动发生变化，请求出变化范围．
23．如图所示，为的边上中线，的周长比的周长大，，求边的长．
24．如图，中，，，是边上一点，交的延长线，交于点，．求的大小．
《8.1与三角形有关的边和角》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C B D A D D A
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】利用三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度数，结合角平分线的定义可求得∠OBC+∠OCB的度数，再利用三角形外角的性质可求解．
【详解】解：∵∠A=n°，
∴∠ABC+∠ACB=（180-n）°，
∵BD、CE分别是△ABC的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=（180-n）°=90°-n°，
∴∠COD=∠OBC+∠OCB=90°-n°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，求解∠OBC+∠OCB的度数是解题的关键．
2．B
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴是直角三角形．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了翻折，三角形的外角，根据翻折得，根据三角形的外角得，，可得，即可得；掌握翻折，三角形的外角是解题的关键．
【详解】解：如图所示，直线m交于点F，交于点E，
∵在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，
∴，
∵，，
∴
∴，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可．
【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
5．B
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握三角形高的画法，是解题的关键．根据三角形高的定义进行判断即可．
【详解】解：是中边上的高，故B正确．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了三角形的高，经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得到答案．
【详解】解：A．是边上的高，故A选项不符合题意；
B．作的不是的高，故B选项不符合题意；
C．是边上的高，故C选项不符合题意；
D．是边上的高，故D选项符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】根据垂直的定义得出，根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，同位角相等”可得．
本题主要考查了三角形内角和定理及平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】，
．
又，
，
，
．
故选A．
8．D
【分析】本题主要考查了作三角形的高线，从点B作，交的延长线于点E，确定图形即可．
【详解】过点B作，交的延长线于点E，如图所示．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查余角的定义，利用余角的定义解题即可，解题的关键是掌握和为的两个角互为余角．
【详解】解：∵，，
∴，
∴与互余的角有和，
故选D．
10．A
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积平分来解题即可．
【详解】解：∵AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，
∴S△ADC＝S△ABC，S△ACE＝S△ADC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ACE＝S△ABC＝×24＝6．
故选：A．
【点睛】考查三角形中线与三角形的面积关系，关键是掌握三角形中线把三角形面积平分．
11．C
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【详解】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
又，，
∴
＝（AB＋AD＋BD） （AC＋AD＋CD）
＝AB＋AD＋BD AC AD CD
＝AB AC
＝8 5
＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
12．D
【分析】根据∠1+∠PCB=∠ACB=68°及∠1=∠2，可由等量代换可知2+∠PCB=68°，然后利用三角形的内角和定理可得出所求角的度数．
【详解】∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°-68°=112°，
故答案选D．
【点睛】利用等量代换的思想及三角形的内角和定理是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了三角形的高线的定义；根据三角形高的定义以及三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：因为，
所以的边上的高为线段，
因为，
所以边上的高为线段，
因为
所以，
故答案为：，，．
14．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短，如图所示，连接，过点作垂直于直线于，根据三角形中线的性质求出，从而求出，再根据垂线段最短即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，连接，过点作垂直于直线于，
∵分别是的中点，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
又∵垂线段最短，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
15．＜
【分析】分别求出的面积和的面积，即可求解．
【详解】解：由题意，
，
，
∴；
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．
16．/30度
【分析】根据平行线的性质可得，再由三角形外角的性质，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．
17．/50度
【分析】由折叠的性质得：．先求出的度数，可得的值，再根据直角三角形两直角互余求解即可．
【详解】解：由折叠的性质得：．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查图形折叠的性质、邻补角的定义、直角三角形两锐角互余，熟练掌握图形折叠的性质是解决本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是是解题的关键．
（1）先根据是高，得出的度数，再由得出的度数，由是的平分线得出的度数，由即可得出结论；
（2）由得出的度数，再由、是角平分线可得出的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：是高，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）解：，
，
、是角平分线，
，
是的外角，
．
19．a+3b
【分析】根据三角形三边关系得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c 是三角形的三边，
∴由a+b﹣c＞0得2a+b﹣c＞0，
由b﹣（a+c）＜0得b﹣2a﹣c＜0，
由﹣a﹣b﹣c＜0得﹣a﹣b﹣2c＜0，
∴原式＝（2a+b﹣c）+（b﹣2a﹣c）+（a+b+2c）
＝a+3b．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到2a+b﹣c＞0，b﹣2a﹣c＜0，﹣a﹣b﹣2c＜0．
20．见解析
【分析】根据，可得，从而得到，进而得到，即可求证．
【详解】证明
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形外角的性质定理，平行线的判定和性质定理是解题的关键．
21．或
【分析】利用分类讨论思想：如图1，时可直接求出；如图2，当时，则．
【详解】解：，BD为的角平分线，
，
当时，如图1，
；
当时，如图2，
，
．
【点睛】本题考查的是角平分线定义及三角形内角和定理，理解角平分线定义和掌握三角形内角和定理是解题关键．
22．见解析
【详解】7．的大小保持不变．
证明：平分平分，，即．
又．
故的大小不发生变化，且始终保持．
【易错点分析】本题考查的是三角形内角与外角的关系，解答此题目要注意：求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件；通常情况下，将三角形的外角转化为内角来解决．
23．
【分析】根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，推出
，即可求解．
【详解】解：∵为的边上中线，
∴，
∵的周长比的周长大，
∴，
即，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形中线的定义，解题的关键是掌握三角形一个顶点和对边中点的连线是三角形的中线．
24．115°
【分析】首先根据三角形外角的性质可得，，代入相应数值可得答案．
【详解】解：，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
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