8.2多边形的内角和与外角和同步强化练习（含解析）

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8.2多边形的内角和与外角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，则该多边形对角线一共有（ ）
A．18条 B．14条 C．20条 D．27条
2．下列说法中正确的有（ ）
①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是11
②在时刻8：30时，时钟上的时针与分针的夹角是75°
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短
⑥1°＝3600′
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，这个关系是（ ）
A． B． C． D．
5．已知过多边形的某一个顶点可以作2023条对角线（不是一共有2023条对角线），则这个多边形的边数是（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
6．如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，的度数应是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，则的度数为（　 　 ）

A． B． C． D．
8．一个多边形的内角和是，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
9．下列图形中不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小明从正八边形（各边相等，各内角也相等）草地的一边AB上一点S出发，步行一周回到原处在步行的过程中，小明转过的角度的和是（ ）
A． B． C． D．
11．六边形的对角线共有（　　）条．
A．5 B．9 C．12 D．14
12．如图，六边形的内角都相等，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的3倍还大，则这个正多边形的边数为 ．
14．正十边形的每个外角等于 ．
15．在一个多边形中，除其中一个内角外，其余内角的和为1105°，则这个多边形的边数为 ．
16．已知一个正多边形的每一个内角与其相邻外角的度数比都是7：2，则这个正多边形是 边形，共有 条对角线．
17．已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ．
三、解答题
18．已知一个多边形的边数为．
(1)若，则这个多边形的内角和为______．
(2)若这个多边形的内角和的比一个七边形的外角和多，求的值．
19．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，求这两个多边形的内角和之和的度数．
20．一个零件的形状如图所示，按规定，，质检工人测得，就断定这个零件不合格，这是为什么？
21．若边形的内角和为，求的值．
22．解决几何问题时，不一定能够求出每个角的度数，但依据多边形内角和可以求出它们的和，这时整体代换的思想对于解题的帮助是巨大的，下面看这样一个问题．
(1)如图1，在中，，分别是和的外角平分线，交于一点P，已知，求的度数（用含有的式子表示）．
，；
；
分别是和的外角平分线；
，，
，
　　（三角形内角和为）
　　（用含有的式子表示）
(2)如图2，在四边形中，分别是和的外角平分线，交于一点，已知，求的度数（用含有和的式子表示）．
，四边形；
；
分别是和的外角平分线；
，；
四边形，
　　（用含有和的式子表示）
(3)若（2）中的条件变为，补全图形，并直接写出　　（用含有和的式子表示）．
23．在四边形中，．
(1)如图①，若，求出的度数；
(2)如图②，若的角平分线交于点E，且，求出的度数；
(3)如图③，若和的角平分线交于点E，求出的度数．
24．在四边形中，．
(1)如图1，若，求出的度数；
(2)如图2，若的角平分线交于点，且，求出的度数．
《8.2多边形的内角和与外角和》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D A D B B B C D
题号 11 12
答案 B D
1．D
【分析】先根据从n边形的一个顶点可以画条对角线确定该多边形的边数n，然后再根据一个多边形对角线总共有条解答即可．
【详解】解：∵过一个多边形的一个顶点的对角线有6条，
∴，
∴，
∴则该多边形对角线一共有（条）．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线条数的公式，掌握从n边形的一个顶点可以画条对角线和一个多边形对角线总共有条是解答本题的关键．
2．A
【分析】根据多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算依次判断即可．
【详解】解：①过多边形的一个顶点的所有对角线把这个多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是10，原说法错误；
②在时刻8：30时，时针和分针中间相差2.5个大格，每个大格之间的度数为30°，
∴两针之间的夹角为：30°×2.5=75°，原说法正确；
③线段AB的长度就是A，B两点间的距离，说法正确；
④若点P使AP＝PB，则P是AB的中点，说法错误，缺少条件P、A、B在同一直线上；
⑤把一条弯曲的公路改直，可以缩短行程．这样做的依据是：两点之间线段最短，正确；
⑥1°＝3600”，原说法错误；
所以正确的有3个，
故选：A．
【点睛】题目主要考查多边形的对角线，线段的性质，线段的中点，钟面角及角度的换算，掌握相关定义是解题关键．
3．D
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内外角和定理直接列式求解即可得到答案；
【详解】解：设多边形的边数为，
∵多边形内角和为，多边形外角和为，
∴，
解得：，
故选D；
【点睛】本题考查多边形内角和定理及外角和定理，解题的关键是熟练掌握多边形内角和为，多边形外角和为．
4．A
【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质．
【详解】解： 如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称
则在四边形中，，
∵把纸片沿折叠，
∴，
∵，
则，
∴．
故选：A．
5．D
【分析】根据从n边形的一个顶点出发可以引条对角线进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得，
解得．
答案：D．
【点睛】本题主要考查了多边形对角线问题，熟知从n边形的一个顶点出发可以引条对角线是解题的关键．
6．B
【分析】根据正多边形内角和公式求出正六边形和正五边形的内角和内角的补角，结合三角形内角和定理即可求解；
【详解】解：正六边形的内角为：，内角的补角为：60°；
正五边形的内角为：，内角的补角为：72°；
∴
故选：B
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式，三角形的内角和定理，掌握相关知识并正确求解是解题的关键．
7．B
【分析】连接，由三角形外角的性质可得：，再根据四边形内角和等于求解即可．
【详解】解：如图，连接，

由三角形外角的性质可得：，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角的性质和四边形内角和定理，三角形外角等于不相邻的两个内角之和，四边形内角和等于．
8．B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式解答即可．
【详解】设边数为，根据题意，得
，
解得．
∴这个多边形为六边形，
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查多边形的定义，熟练掌握多边形的定义是解题的关键．根据多边形的定义即可得到答案．
【详解】
解：是三边形，是多边形，故选项A不符合题意；
是四边形，是多边形，故选项B不符合题意；
不是多边形，故选项C符合题意；
是六边形，是多边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】根据正八边形的内角和求出每个内角，再求出每次转过的角度45°，一共转8次，利用45°×8计算即可.
【详解】解：∵ABCDEFGH为正八边形，
∴每个内角为（8-2）×180°÷8=135°，
小明每转一次转过的角为180°-135°=45°，
步行一周回到原处，小明一共转八次所有转过的角度之和为45°×8=360°，
故选:D．
【点睛】本题考查正八边形的内角和、每个内角、外角与外角和，掌握正多边形相关知识是解题关键．
11．B
【分析】根据多边形的对角线有条，即可求解．
【详解】解：六边形的对角线共有条，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形对角线条数，掌握多边形的对角线有条是解题的关键．
12．D
【分析】根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF的内角相等，
∴∠EFA＝∠FAB＝∠B 120°，
∵AD∥EF，
∴∠EFA+∠FAD＝180°，
∴∠FAD＝180°﹣∠EFA＝60°，
∴∠DAB=∠FAB﹣∠FAD＝60°，
∴∠DAB+∠B＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠BCO+∠AOC＝180°，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的内角和、平行线的性质与判定，熟记多边形的内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
13．9
【分析】设正多边形的外角为x度，则可用代数式表示出内角，再由内角与外角互补的关系得到方程，解方程即可求得每一个外角，再根据多边形的外角和为360度即可求得正多边形的边数．
【详解】解：设正多边形的外角为x度，则内角为度，
由题意得：，
解得：，
则正多边形的边数为：，
即这个正多边形的边数为9，
故答案为：9.
【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，关键是运用方程求得正多边形的外角．
14．/36度
【分析】本题考查了正多边形的外角，根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解，掌握正多边形的外角和定理及其性质是解题的关键．
【详解】解：正十边形的每个外角等于，
故答案为：．
15．9
【分析】n边形的内角和为（n-2）×180°，即多边形的内角和为180°的整数倍，用1105°除以180°，所得余数和去掉的一个内角互补．
【详解】解：∵1105°÷180°=6…25°，
∴去掉的内角为180°-25°=155°，
设这个多边形为n边形，
则（n-2）×180°=1105°+155°，
解得n=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．关键是利用多边形的内角和为180°的整数倍，求多边形去掉的一个内角度数．
16． 九/9 27
【分析】设正多边形的内角为，则相邻外角为，依题意得，，解得，，则，由，可知正多边形为九边形，根据，计算对角线的条数即可．
【详解】解：设正多边形的内角为，则相邻外角为，
依题意得，，
解得，，
∴，
∵，
∴正多边形为九边形，
∴有条对角线，
故答案为：九，27．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握：边形，有条对角线．
17．4；
【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案；
【详解】解：∵正八边形的周长是，
∴这个多边形的边长为：，
故答案为：4．
18．(1)；
(2)14．
【分析】本题考查多边形内角和公式及外角和，读懂题意，利用多边形内角和公式求角度、按照题意列方程求解即可得到答案，熟记多边形内角和公式及四边形外角和为是解决问题的关键．
（1）根据多边形的内角和公式，代值求解即可得到答案；
（2）根据多边形内角和公式及七边形外角和为，由题意列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，得，
故答案为；
（2）解：根据题意，得，
解得．
19．或或
【分析】本题考查多边形内角和问题，n边形的内角和，分为直线经过一组邻边、经过一组对边，经过一个角和一条边、经过两条边4种情况讨论．
【详解】解：一条直线将长方形分割成两个多边形，有以下4种情况（如图所示）：

（1）如图①所示，长方形被分割成一个五边形和一个三角形，这时两个多边形的内角和之和是；
（2）如图②所示，长方形被分割成两个四边形，这时两个多边形的内角和之和是；
（3）如图③所示，长方形被分割为一个四边形和一个三角形，这时两个多边形的内角和之和是；
（4）如图④所示，长方形被分割成两个三角形，这时两个多边形的内角和之和是．
综上可得，这两个多边形的内角和之和是或或．
20．见解析
【分析】在五边形DHGFE中利用内角和定理求得∠GFE的度数即可作出判断．
【详解】解：∵四边形ABCD的内角和是：180×（4－2）=360°．
∠H=360°－∠A－∠B－∠C=90°
五边形DHGFE的内角和是180×（5－2）=540°．
则∠GFE =540°－∠FGH －∠EDH－∠H －∠FED =130°．
因为质检工人测得∠GFE=140°
因此这个零件不合格．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确进行角度的计算是关键．
21．13
【分析】本题主要考查多边形内角和公式，掌握多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：根据多边形内角和公式，得
，解得．
22．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理进行角的运算即可求解；
（2）根据角平分线的定义和四角形的内角和为进行角的运算即可求解；
（3）根据角平分线的定义和四角形的内角和为进行角的运算即可求解．
【详解】（1）解：，；
；
分别是和的外角平分线；
，，
，
（三角形内角和为）
，（用含有的式子表示），
故答案为：，；
（2）解：，四边形；
；
分别是和的外角平分线；
，；
四边形，
（用含有α和β的式子表示），
故答案为：；
（3）解：如图3，
，四边形；
；
分别是和的外角平分线；
，；
四边形，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、四边形的内角和，理解题意，能从图形中找到角之间的运算关系是解答的关系．
23．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了四边形的内角和、三角形的内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据四边形的内角和是结合已知条件可得，然后结合即可解答；
（2）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得，再进一步然后根据三角形的内角和定理即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵和的角平分线交于点E，，
∴，，
∴，
∴．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形的内角和为，结合已知条件，即可求解；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】（1）解：在四边形ABCD中，
（2）
，
∴
平分
在中有有．
【点睛】本题考查了多边形内角和，三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义；掌握以上知识是解题的关键．
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