8.3用正多边形铺设地面同步强化练习（含解析）
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| 名称 | 8.3用正多边形铺设地面同步强化练习（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 855.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 14:51:02 | ||
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文档简介
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8.3用正多边形铺设地面
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．应县木塔是世界上现存最高、最古老的纯木结构楼阁式建筑，其横截面可看作正八边形．下列各图为正八边形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
4．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
5．下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是（ ）
A．正方形和正三角形 B．正方形和正八边形
C．正三角形和正十二边形 D．正方形和正六边形
6．下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形
7．若一个正多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，一束平行太阳光照射到正五边形上，若，则的度数为（ ）
A．108° B．46° C．26° D．25°
9．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
10．下列组合不能密铺平面的是（ ）
A．正三角形、正方形和正六边形 B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正八边形、正六边形和正十二边形 D．正方形、正六边形和正十二边形
11．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．在数学活动课中，我们学面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种 B．3种 C．4种
D．5种
二、填空题
13．选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
14．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是 ．
15．若用规格相同的正三角形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为 ．
16．用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为 ．
17．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则 °．
三、解答题
18．（1）【探究】观察下列算式，并完成填空：
；
______．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；
②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
19．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．
(1)试分别确定A，B是什么正多边形？
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．
20．某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．
21．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
22．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，求n的值．
23．数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计．
24．活动1 用多边形镶嵌平面
【描述定义】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面．
【活动目的】通过用多边形镶嵌平面的图案的过程，进一步理解平面镶嵌，掌握多边形的镶嵌的条件．
【理论支撑】在每个公共顶点处，各角的和是．
【进程跟踪】小组成员在掌握正多边形内角的基础上，通过观察与计算，利用方程思想求得正整数解，从而用理论支撑进行镶嵌操作.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①_____________，整理得②____________，
我们可以找到方程的正整数解为③____________．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④__________个正方形和⑤_________个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
《8.3用正多边形铺设地面》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D B A C C C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
2．D
【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形各边相等，各角相等是解题的关键；
根据正多边形的定义求解即可
【详解】解：根据正多边形的定义，可知正八边形有八条边；
故选：D
3．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．C
【分析】过点D作交AB于点H，根据平行线的性质先求出，然后求出，最后利用平行线的性质求得即可．
【详解】解：过点D作交AB于点H，
，
，
在正五边形ABCDE中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，平行线的判定和性质，构造辅助线是解决本题的关键．
5．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A、正方形和正三角形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
B、正方形和正八边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
C、正三角形和正十二边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
D、正方形和正六边形内角分别为，，不能构成的周角，故不能镶嵌，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6．B
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：A选项，正方形的每个内角等于90°，90°×2+60°×3=360°，故该选项不符合题意；
B选项，正八边形的每个内角等于135°，与正三角形不能铺满地面，故该选项符合题意；
C选项，正十二边形的每个内角等于150°，150°×2+60°=360°，故该选项不符合题意；
D选项，正六边形的每个内角等于120°，120°×2+60°×2=360°，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握“判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能”是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意
，
解得．
故选：A．
8．C
【分析】先求出正五边形的一个内角，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【详解】解：如图：
∵该五边形为正五边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，平行线的性质，解题的关键是掌握求正多边形内角的方法，以及平行线的性质．
9．C
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的条件判断，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
根据平面图形镶嵌的条件判断即可，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
只用上面正五边形，不能进行平面镶嵌．
故选：C．
10．C
【分析】此题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：正三角形的每一个内角为，正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，正十二边形的每一个内角为．
A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
11．A
【分析】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识．利用正多边形的性质求出，再根据三角形的内角和可得．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故选：A．
12．B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
设围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，用个正三角形、个正六边形，则
；采用列举法求解，从来讨论求值：
∴①当时，有两种图案，具体是或；
②当时，有一种图案，具体是；
故选：B．
【点睛】考查了平面镶嵌（铺满）问题，记住几个常用正多边形的内角并能够用两种正多边形镶嵌的几个组合是解决问题的关键．
13．①②③
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．18
【分析】多边形的内角和为（n﹣2） 180°，多边形的每一个内角都等于160°，得内角和为160°n，由此得出多边形的边数．
【详解】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2） 180°＝160°n，
解得n＝18，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及顶点数和内角个数之间的关系，找到等量关系是解决问题的关键.
15．6
【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺．
正三边形的每个内角为，看围绕一点拼在一起的正三边形地砖的内角和是否为，并以此为依据进行求解．
【详解】因为正三边形的每个内角为，
所以，
即每一个顶点周围的正三边形的个数为6．
故答案为：6．
16．10/十
【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是的正多边形即可解答．
【详解】解：正五方形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个外角度数为，
∴第三个正多边形的边数为．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
17．12
【分析】正多边形的每个内角度数为：，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：
正六边形的每个内角度数为：，即
正五边形的每个内角度数为：，即
∴
故答案为：12
【点睛】本题考查多边形的内角和度数．熟记相关结论是解题关键．
18．（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由见解析
【分析】（1）观察算式找出规律即可；
（2）①观察图形数出正方形和正三角形块数；②根据前三层正方形和正三角形块数找出规律；
（3）分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案．
【详解】解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵第一层包括6块正方形和6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，
第三层包括6块正方形和30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，
∴第n层包括6块正方形和6（2n-1）块正三角形地板砖．
故答案为：6，6（2n-1）；
（3）铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
理由如下：
∵150÷6=25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设25层需要正三角形地板砖的数量为：
6[1+3+5+ +（2n-1）]=6n2，
∴当n=25时，
6n2=6×252=3750，
∴铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，代数式的求值，正确找出其变化规律是解题的关键．
19．(1)A为正四边形，B为正三边形
(2)见解析
【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键．
（1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据（1）所求答案画出图形即可．
【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为，
∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺，
∴，
解得：，
∴
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
20．能，见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计；
根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可．
【详解】解：能．设计方案图所示．
21．（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或
【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌．
（1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解；
（2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解；
【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为，
正方形的每一个内角的度数为，
正五边形的每一个内角的度数为，
故答案为：，；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是，
②正五边形的每一个内角的度数是，
③正六边形的每一个内角的度数是，
④正七边形的每一个内角的度数是，
⑤正八边形的每一个内角的度数是，
由于，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解，
二元一次方程的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
22．6
【分析】由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【详解】∵正五边形的每个内角为，
∴组成的正多边形的每个内角为，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：．
【点睛】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键．
23．见解析
【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成．
【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，，
∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面．
如图：
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
24．猜想1：①；②；③；④1；⑤2；
猜想2：能；见解析
【分析】猜想1：根据题意列出方程组，整理方程组，求出方程组的正整数解即可；
猜想2：仿照题干中提供的方法，列出方程组，求出方程组的正整数解即可得出答案．
【详解】解：猜想1：
在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：①，
整理得：②，
方程的正整数解为③，
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
故答案为：①；②；③；④1；⑤2．
猜想2：能；验证如下：
设围绕某一个点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得方程：，
整理得：，
∴方程的正整数解为：或，
方案1：在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形；
方案2：在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），二元一次方程组的应用，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
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8.3用正多边形铺设地面
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一个顶点周围用2个正方形和个正三角形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．应县木塔是世界上现存最高、最古老的纯木结构楼阁式建筑，其横截面可看作正八边形．下列各图为正八边形的是（ ）．
A． B． C． D．
3．正六边形和下列边长相同的正多边形地砖组合中，能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正八边形
C．正十二边形 D．正四边形和正十二边形
4．如图，五边形ABCDE是正五边形，F，G是边CD，DE上的点，且BF∥AG．若∠CFB=57°，则∠AGD=（ ）
A．108° B．36° C．129° D．72°
5．下列正多边形的组合中，不能镶嵌的是（ ）
A．正方形和正三角形 B．正方形和正八边形
C．正三角形和正十二边形 D．正方形和正六边形
6．下列正多边形中和正三角形组合，不能铺满地面的是（ ）
A．正方形 B．正八边形 C．正十二边形 D．正六边形
7．若一个正多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
8．如图，一束平行太阳光照射到正五边形上，若，则的度数为（ ）
A．108° B．46° C．26° D．25°
9．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
10．下列组合不能密铺平面的是（ ）
A．正三角形、正方形和正六边形 B．正三角形、正方形和正十二边形
C．正八边形、正六边形和正十二边形 D．正方形、正六边形和正十二边形
11．将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为D，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
12．在数学活动课中，我们学面镶嵌，若给出如图所示的一些边长均为1的正三角形、正六边形卡片，要求必须同时使用这两种卡片，不重叠、无缝隙地围绕某一个顶点拼在一起，形成一个平面图案，则可拼出的不同图案共有（ ）．
A．2种 B．3种 C．4种
D．5种
二、填空题
13．选择边长相等的正多边形铺地面，下列组合能既不留缝隙也不重叠地铺满地面的是 ．
①正三角形和正四边形；②正六边形和正三角形；③正方形和正八边形；④正三角形和正八边形．
14．一个正多边形的每一个内角都等于160°，则这个正多边形的边数是 ．
15．若用规格相同的正三角形地砖铺地板，则围绕在一个顶点处的地砖的块数为 ．
16．用三个正多边形镶嵌，已知其中两个的边数均为5，则第三个正多边形的边数为 ．
17．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则 °．
三、解答题
18．（1）【探究】观察下列算式，并完成填空：
；
______．（n是正整数）
（2）如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案，图案中央是一块正六边形地板砖，周围是正方形和正三角形的地板砖．从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推．
①第3层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖；
②第 n层中分别含有______块正方形和______块正三角形地板砖（用含n的代数式表示）．
（3）【应用】
该市打算在一个新建广场中央，采用如图样式的图案铺设地面，现有1块正六边形、150块正方形地板砖，问：铺设这样的图案，还需要多少块正三角形地板砖？请说明理由．
19．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的．
(1)试分别确定A，B是什么正多边形？
(2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）．
20．某装饰材料加工厂有一批从生产线上下来的正六边形原材料（如图①），现从一个正六边形中剪去一个与其边长相等的等边三角形，将其移到如图②所示的位置．为了不浪费材料，你能利用它们铺满地面吗？若不能，请说明理由；若能，请你给出自己的一种设计．
21．【问题背景】
生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写表中空格：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
（2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．
①正三角形
②正五边形
③正六边形
④正七边形
⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值．
22．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，求n的值．
23．数学上可以说明有些正多边形（一种或多种）组合可以铺满地面，有些则不行．以下精美图案隐含着丰富的数学艺术之美，请你仿照这些图案在网格中利用至少两种正多边形进行铺满地面的图案设计．
24．活动1 用多边形镶嵌平面
【描述定义】用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖、铺砌）平面．
【活动目的】通过用多边形镶嵌平面的图案的过程，进一步理解平面镶嵌，掌握多边形的镶嵌的条件．
【理论支撑】在每个公共顶点处，各角的和是．
【进程跟踪】小组成员在掌握正多边形内角的基础上，通过观察与计算，利用方程思想求得正整数解，从而用理论支撑进行镶嵌操作.我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面，如果我们要同时用两种不同的正多边形铺满地面，可以设计出几种不同的组合方案？
问题解决：猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？
验证1并完成填空：在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意：可得方程①_____________，整理得②____________，
我们可以找到方程的正整数解为③____________．
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着④__________个正方形和⑤_________个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．
《8.3用正多边形铺设地面》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C D B A C C C
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】根据镶嵌的条件可知，在一个顶点处各个内角和为，列式求解即可．
【详解】解：正方形的每个内角是，正三角形的每个内角是，
根据题意得：，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌时在一个顶点处各个内角和为．
2．D
【分析】本题考查正多边形的定义，熟练掌握正多边形各边相等，各角相等是解题的关键；
根据正多边形的定义求解即可
【详解】解：根据正多边形的定义，可知正八边形有八条边；
故选：D
3．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满，反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，A选项不符合题意；
B．正八边形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，B选项不符合题意；
C．正十二形的每个内角是，正六边形的每个内角是，，取任何正整数时，不能得正整数，故不能铺满，C选项不符合题意；
D．正方形的每个内角是，正六边形的每个内角是，正十二形的每个内角是，，故能铺满，D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），解题的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
4．C
【分析】过点D作交AB于点H，根据平行线的性质先求出，然后求出，最后利用平行线的性质求得即可．
【详解】解：过点D作交AB于点H，
，
，
在正五边形ABCDE中，，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了正五边形的性质，平行线的判定和性质，构造辅助线是解决本题的关键．
5．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：A、正方形和正三角形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
B、正方形和正八边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
C、正三角形和正十二边形内角分别为、，，故能镶嵌，不符合题意；
D、正方形和正六边形内角分别为，，不能构成的周角，故不能镶嵌，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
6．B
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：A选项，正方形的每个内角等于90°，90°×2+60°×3=360°，故该选项不符合题意；
B选项，正八边形的每个内角等于135°，与正三角形不能铺满地面，故该选项符合题意；
C选项，正十二边形的每个内角等于150°，150°×2+60°=360°，故该选项不符合题意；
D选项，正六边形的每个内角等于120°，120°×2+60°×2=360°，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握“判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能”是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意
，
解得．
故选：A．
8．C
【分析】先求出正五边形的一个内角，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补即可解答．
【详解】解：如图：
∵该五边形为正五边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，平行线的性质，解题的关键是掌握求正多边形内角的方法，以及平行线的性质．
9．C
【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的条件判断，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
根据平面图形镶嵌的条件判断即可，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，
只用上面正五边形，不能进行平面镶嵌．
故选：C．
10．C
【分析】此题考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：正三角形的每一个内角为，正四边形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，正十二边形的每一个内角为．
A、正三角形、正方形和正六边形，可以密铺平面，比如：2个正方形，一个正六边形，一个正三角形．本选项不符合题意；
B、正三角形、正方形和正十二边形，可以密铺平面，比如：2个正三角形、一个正方形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
C、正三角形、正六边形和正十二边形，不能密铺平面．本选项符合题意；
D、正方形、正六边形和正十二边形．可以密铺平面，比如：一个正方形、一个正六边形、一个正十二边形．本选项不符合题意；
故选：C．
11．A
【分析】本题考查正多边形，三角形内角和定理等知识．利用正多边形的性质求出，再根据三角形的内角和可得．
【详解】解：由题意得：，，
∴，，
∴，
故选：A．
12．B
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【详解】解：∵正三角形的内角为60°，正六边形的内角为120°，
设围绕某一个顶点拼在一起，成一个平面图案，用个正三角形、个正六边形，则
；采用列举法求解，从来讨论求值：
∴①当时，有两种图案，具体是或；
②当时，有一种图案，具体是；
故选：B．
【点睛】考查了平面镶嵌（铺满）问题，记住几个常用正多边形的内角并能够用两种正多边形镶嵌的几个组合是解决问题的关键．
13．①②③
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】①正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°＝360°，能铺满；
②正三角形的每个内角是60°，正六边形每个内角120度，1×120+4×60＝360度，所以能铺满；
③正方形每个内角90度，正八边形每个内角135度，135×2+90＝360度，能铺满；
④正三角形的每个内角是60°，正八边形每个内角135度，135×2+60≠360度，所以不能铺满．
故答案为：①②③．
【点睛】此题考查镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
14．18
【分析】多边形的内角和为（n﹣2） 180°，多边形的每一个内角都等于160°，得内角和为160°n，由此得出多边形的边数．
【详解】解：设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2） 180°＝160°n，
解得n＝18，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和以及顶点数和内角个数之间的关系，找到等量关系是解决问题的关键.
15．6
【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据内角和公式算出每个正多边形的内角的度数，根据内角的度数能组成一个周角就能密铺．
正三边形的每个内角为，看围绕一点拼在一起的正三边形地砖的内角和是否为，并以此为依据进行求解．
【详解】因为正三边形的每个内角为，
所以，
即每一个顶点周围的正三边形的个数为6．
故答案为：6．
16．10/十
【分析】找到一个顶点处三种图形的内角度数加起来是的正多边形即可解答．
【详解】解：正五方形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个内角度数为，
∴需要的多边形的一个外角度数为，
∴第三个正多边形的边数为．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
17．12
【分析】正多边形的每个内角度数为：，据此即可求解．
【详解】解：如图所示：
正六边形的每个内角度数为：，即
正五边形的每个内角度数为：，即
∴
故答案为：12
【点睛】本题考查多边形的内角和度数．熟记相关结论是解题关键．
18．（1）；（2）①6，30；②6，或；（3）3750，理由见解析
【分析】（1）观察算式找出规律即可；
（2）①观察图形数出正方形和正三角形块数；②根据前三层正方形和正三角形块数找出规律；
（3）分别找出所给正方形和正三角形块数各能铺设地面多少层，进而确定答案．
【详解】解：（1）观察算式规律，1+3+5+…+（2n-1）=n2，
故答案为：n2；
（2）①∵第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖，
∴第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖．
故答案为：6，30；
②∵第一层包括6块正方形和6=6×1=6×（2×1-1）块正三角形地板砖，
第二层包括6块正方形和18=6×3=6×（2×2-1）块正三角形地板砖，
第三层包括6块正方形和30=6×5=6×（2×3-1）块正三角形地板砖，
∴第n层包括6块正方形和6（2n-1）块正三角形地板砖．
故答案为：6，6（2n-1）；
（3）铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
理由如下：
∵150÷6=25（层），
∴150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层；
∵铺设25层需要正三角形地板砖的数量为：
6[1+3+5+ +（2n-1）]=6n2，
∴当n=25时，
6n2=6×252=3750，
∴铺设这样的图案，还需要3750块正三角形地板砖．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，代数式的求值，正确找出其变化规律是解题的关键．
19．(1)A为正四边形，B为正三边形
(2)见解析
【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键．
（1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据（1）所求答案画出图形即可．
【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为，
∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺，
∴，
解得：，
∴
∴可确定A为正四边形，B为正三边形．
（2）解：所画图形如下：
20．能，见解析
【分析】本题考查了作图—应用与设计；
根据正六边形可以进行平面镶嵌，类似的将等边三角形填充到剪去的位置即可．
【详解】解：能．设计方案图所示．
21．（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或
【分析】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌．
（1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解；
（2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解；
【详解】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为，
正方形的每一个内角的度数为，
正五边形的每一个内角的度数为，
故答案为：，；
（2）由（1）的方法可求出，
①正三角形的每一个内角的度数是，
②正五边形的每一个内角的度数是，
③正六边形的每一个内角的度数是，
④正七边形的每一个内角的度数是，
⑤正八边形的每一个内角的度数是，
由于，
所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形，
故答案为：①③；
（3）由题意得，x、y满足的正整数解，
二元一次方程的正整数解为或，
答：x和y是值为或．
22．6
【分析】由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可．
【详解】∵正五边形的每个内角为，
∴组成的正多边形的每个内角为，
∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形，
∴形成的正多边形为正n边形，则，
解得：．
【点睛】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键．
23．见解析
【分析】判断几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成．
【详解】∵正方形每个内角是，正三角形的每个内角是，，
∴围绕每个顶点处用2个正方形，3个正三角形形可以铺满底面．
如图：
【点睛】此题考查了平面镶嵌（密铺），几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
24．猜想1：①；②；③；④1；⑤2；
猜想2：能；见解析
【分析】猜想1：根据题意列出方程组，整理方程组，求出方程组的正整数解即可；
猜想2：仿照题干中提供的方法，列出方程组，求出方程组的正整数解即可得出答案．
【详解】解：猜想1：
在铺地面时，设围绕某一个点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：①，
整理得：②，
方程的正整数解为③，
结论1：铺满地面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面．
故答案为：①；②；③；④1；⑤2．
猜想2：能；验证如下：
设围绕某一个点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角，根据题意可得方程：，
整理得：，
∴方程的正整数解为：或，
方案1：在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形；
方案2：在一个顶点周围围绕着4个正三角形和1个正六边形．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），二元一次方程组的应用，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
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