第八章三角形同步强化练习（含解析）
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第八章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
2．在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10
4．如图，求作 中 边上的高，其结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．直尺和三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
6．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角等于（ ）
A． B． C． D．
9．正n边形的一个外角为，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知中，三个角的度数之比如下，其中能说明是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列各组数中，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．5，8，8 C．6，7，14 D．2，9，12
12．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形．
14．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
15．如图， 度．
16．如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
17．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点．若直线垂直于的一边，求的度数．
19．如图，E是直线AB，CD内部一点， CD，连接EA，ED．
(1)猜想．
①若∠EAB＝30°，∠EDC＝40°，则∠AED＝______；
②若∠EAB＝20°，∠EDC＝60°，则∠AED＝______；
③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并说明理由；
(2)应用．
如图，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域内的点，直接写出∠PEB，∠PFC，∠EPF之间的数量关系．
20．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．
(1)试说明：；
(2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N．
①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个；
②若，，求的度数．
21．如下图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为．
(1)求三角形的面积；
(2)若点P的坐标为．
①线段的长为_____________（用含m的式子表示）；
②当时，求m的值．
22．在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，．
(1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数；
(2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由．
23．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
24．如图，在中，，，是的平分线，是高．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)如图，若，直接写出、、的关系．
《第八章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C D C C D B B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，
∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；
故选D．
【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
2．A
【分析】设，（），根据三角形中线的定义得到，根据AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，分两种情况列比例式，求出y和x的关系，最后求出AB、BC、AC三边的比值，选出答案．
【详解】设，（），
∵CD是AB边上的中线，
∴，
∵与是中线CD将的周长分为15和6的两部分，
∴当时，，
当时，，不合，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数几何综合应用，三角形中线，三角形的三边，解决问题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形中线的定义，列比例式解方程，三角形三边的关系．
3．A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
4．C
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：选项C中，线段是边上的高．
故选：C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
5．D
【分析】本题考查了直角三角形中的两个锐角互余，根据图形可得与互余．
【详解】解：在图中所标记的角中，与互余的角是，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
7．C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由是的高，可得．
【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；
是角平分线，，，故C说法错误；
是的高，，，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
8．D
【分析】先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的外角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数，即可解答．
【详解】解：设这个多边形边数为n，则
，
解得：，
∴这个多边形是八边形，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为：
．
故选：D
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．
9．B
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：∵正n边形的一个外角为，
∴n的值为．
故选：B．
10．B
【分析】根据三角形内角和定理分别求出的三个内角的度数即可得到答案．
【详解】解：A、∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵中，，
∴，
∴是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
11．B
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，∴能构成三角形，符合题意；
C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据对顶角相等，三角形的内角和为180度，进行求解即可．
【详解】解：∵与是对顶角，与是对顶角，
∴，
∵三角形是直角三角形，
∴，即．
故选B．
13．首尾顺次连接
【分析】根据三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．
故答案为：首尾顺次连接．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，熟知三角形的定义是解题的关键．
14．50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
故答案为：50．
15．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解．
【详解】解：如图：
由三角形内角和定理可得：
，
，
,
，
又∵，，，
∴，
∵，
，
,
∴
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，
则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
18．9°或51°或129°
【分析】分类讨论、、即可求解．
【详解】解：①如图1，当时，
，，
，
平分，
，
；
②如图2，当于时，
，
，，
，
．
③如图3，当时，
，，
．
综上所述，的度数为9°或51°或129°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义等知识点．根据题意进行分类讨论是解题关键．
19．(1)①70°；②80°；③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②③根据①中的方法可得出结论；
（2）点P分别位于①②③④四个区域分别根据平行线的性质进行求解即可得到结论．
【详解】（1）解：①如图①，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∵∠A＝30°，∠D＝40°，
∴∠1＝∠A＝30°，∠2＝∠D＝40°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝70°；
②过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∵∠A＝20°，∠D＝60°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠D＝60°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝80°；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EFCD，
∵ABDC
∴EFAB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）（2）当点P在区域①时，∠EPF＝360°-（∠PEB+∠PFC）；
当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
当点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB-∠PFC；
当点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC-∠PEB．
如下图，当点P在区域①时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ+∠PFC＝180°．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ+∠PEB＝180°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝180°-∠PEB+180°-∠PFC＝360°-（∠PEB+∠PFC）；
如下图，当点P在区域②时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ＝∠PFC．
∵ABCD，
∴ABPQ，∠EPQ＝∠PEB，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠PEB+∠PFC；
如下图，当点P在区域③时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ+∠PFC＝180°．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ+∠PEB＝180°，
∴∠EPF＝∠FPQ-∠EPQ＝180°-∠PFC-（180°-∠PEB）＝∠PEB-∠PFC；
如下图，当点P在区域④时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ＝∠PFC．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ＝∠PEB，
∴∠EPF＝∠FPQ-∠EPQ＝∠PFC-∠PEB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)① 3；4；②
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
（1）根据三角形内角和定理进行解答即可；
（2）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可；
②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：①以线段为边的“8字形”有：
，，，共3个；
以点O为交点的“8字形”有：
，，，，共4个．
②在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴．
21．(1)
(2)①；②或．
【分析】本题主要考查了运用割补法求三角形面积、数轴上两点间距离公式、解绝对值方程等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键。
（1）如图：过点C作轴，垂足为M，过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F，如图所示，则四边形是长方形．然后运用割补法求解即可；
（2）①直接数轴上两点间的距离公式即可解答；②根据列绝对值方程求解即可。
【详解】（1）解：如图：过点C作轴，垂足为M，过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F，如图所示，则四边形是长方形．
，
，
，
．
（2）解：①∵，，
∴.
故答案为：。
②，
，
，
或，
或
22．(1)
(2)由图2可得，由图3可得，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质：
（1）根据三角形的外角的性质得出，，两式相加，即可求解．
（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）解：根据图1可得：，，
∴，
∵，
∴，，
即；
（2）解：由图2得，由图3得，理由如下：
如图2，设交于点，
∵，，
∴；
如图3，设交于点，
∵，，
∴；
23．(1)的三个顶点是点，，，三条边是，，
(2)是，，，的边
【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；
（2）根据三角形的边解答即可．
【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，；
（2）解：是，，，的边．
【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念．
24．(1)
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．
（1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数；
（2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论；
（3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
；
又是的平分线，
；
（2）解：是边上的高，
，
在中，，，
，
由（1）知，，
，即；
（3）解：，理由如下：
且是的平分线，，
，
．
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第八章三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（ ）
A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5
2．在中，，AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，求的三边长分别为（ ）
A．10，10，1 B．4，4，13 C．8，8，5 D．9，9，3
3．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1440°，则原来多边形的边数可能是（ ）
A．9，10，11 B．12，11，10 C．8，9，10 D．9，10
4．如图，求作 中 边上的高，其结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．直尺和三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与互余的角是（ ）
A． B． C． D．
6．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．一个多边形的内角和比四边形的外角和多，并且这个多边形的各内角都相等，则这个多边形的每个内角等于（ ）
A． B． C． D．
9．正n边形的一个外角为，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．已知中，三个角的度数之比如下，其中能说明是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
11．下列各组数中，能构成三角形的是（ ）
A．2，3，5 B．5，8，8 C．6，7，14 D．2，9，12
12．如图，某同学在课桌上随意将一块三角板叠放在直尺上，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．由不在同一条直线上的三条线段 所组成的图形叫做三角形．
14．如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）．
15．如图， 度．
16．如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
17．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为 ．
三、解答题
18．如图，在中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点．若直线垂直于的一边，求的度数．
19．如图，E是直线AB，CD内部一点， CD，连接EA，ED．
(1)猜想．
①若∠EAB＝30°，∠EDC＝40°，则∠AED＝______；
②若∠EAB＝20°，∠EDC＝60°，则∠AED＝______；
③猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并说明理由；
(2)应用．
如图，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，①②③④分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③、④位于直线AB的上方），P是位于以上四个区域内的点，直接写出∠PEB，∠PFC，∠EPF之间的数量关系．
20．如图①，线段、相交于点O，连接、BD，我们把形如这样的图形称为“8字形”．
(1)试说明：；
(2)如图②，和的平分线和相交于点P，且与、分别相交于点M、N．
①以线段为边的“8字形”有________个，以点O为交点的“8字形”有________个；
②若，，求的度数．
21．如下图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为．
(1)求三角形的面积；
(2)若点P的坐标为．
①线段的长为_____________（用含m的式子表示）；
②当时，求m的值．
22．在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，．
(1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数；
(2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由．
23．如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点．
(1)的三个顶点是什么 三条边是什么
(2)是哪些三角形的边
24．如图，在中，，，是的平分线，是高．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)如图，若，直接写出、、的关系．
《第八章三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C D C C D B B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果．
【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，
∴剩下纸片的角的个数为3或4或5；
故选D．
【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论．
2．A
【分析】设，（），根据三角形中线的定义得到，根据AB边上的中线CD将的周长分为15和6两个部分，分两种情况列比例式，求出y和x的关系，最后求出AB、BC、AC三边的比值，选出答案．
【详解】设，（），
∵CD是AB边上的中线，
∴，
∵与是中线CD将的周长分为15和6的两部分，
∴当时，，
当时，，不合，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了代数几何综合应用，三角形中线，三角形的三边，解决问题的关键是分类讨论，熟练掌握三角形中线的定义，列比例式解方程，三角形三边的关系．
3．A
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是则，
解得：．
∵一个多边形截取一个角后，变成的多边形可能比原来少一边，也可能相同，也可能多一边；
∴原来多边形的边数可能是9或10或11
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
4．C
【分析】根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：选项C中，线段是边上的高．
故选：C．
【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中考常考题型．
5．D
【分析】本题考查了直角三角形中的两个锐角互余，根据图形可得与互余．
【详解】解：在图中所标记的角中，与互余的角是，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．
【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形，
故选：C．
7．C
【分析】由中线的性质可得，，由角平分线的定义可得；由是的高，可得．
【详解】解：是中线，，，故A、D说法正确；
是角平分线，，，故C说法错误；
是的高，，，故B说法正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．
8．D
【分析】先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的外角和多720°，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数，即可解答．
【详解】解：设这个多边形边数为n，则
，
解得：，
∴这个多边形是八边形，
∵这个多边形的每个内角都相等，
∴它每一个内角的度数为：
．
故选：D
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据题意列出方程从而解决问题．
9．B
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据正多边形外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：∵正n边形的一个外角为，
∴n的值为．
故选：B．
10．B
【分析】根据三角形内角和定理分别求出的三个内角的度数即可得到答案．
【详解】解：A、∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵中，，
∴，
∴是直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
∵中，，
∴，
∴不是直角三角形，故此选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键．
11．B
【分析】根据构成三角形的条件进行逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵，∴能构成三角形，符合题意；
C、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵，∴不能构成三角形，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
12．B
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据对顶角相等，三角形的内角和为180度，进行求解即可．
【详解】解：∵与是对顶角，与是对顶角，
∴，
∵三角形是直角三角形，
∴，即．
故选B．
13．首尾顺次连接
【分析】根据三角形的定义进行求解即可．
【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形．
故答案为：首尾顺次连接．
【点睛】本题主要考查了三角形的定义，熟知三角形的定义是解题的关键．
14．50
【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．
【详解】解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示．
根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，,
∴，
∴，
故答案为：50．
15．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角可得外围六个角的和等于三个三角形的内角和减去一个三角形的内角和，由此即可求解．
【详解】解：如图：
由三角形内角和定理可得：
，
，
,
，
又∵，，，
∴，
∵，
，
,
∴
故答案为：．
16．
【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F，
则即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
18．9°或51°或129°
【分析】分类讨论、、即可求解．
【详解】解：①如图1，当时，
，，
，
平分，
，
；
②如图2，当于时，
，
，，
，
．
③如图3，当时，
，，
．
综上所述，的度数为9°或51°或129°．
【点睛】本题考查了三角形的内角和、角平分线的定义等知识点．根据题意进行分类讨论是解题关键．
19．(1)①70°；②80°；③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC，理由见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）①过点E作EF∥AB，再由平行线的性质即可得出结论；②③根据①中的方法可得出结论；
（2）点P分别位于①②③④四个区域分别根据平行线的性质进行求解即可得到结论．
【详解】（1）解：①如图①，过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∵∠A＝30°，∠D＝40°，
∴∠1＝∠A＝30°，∠2＝∠D＝40°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝70°；
②过点E作EFAB，
∵ABCD，
∴ABCDEF，
∵∠A＝20°，∠D＝60°，
∴∠1＝∠A＝20°，∠2＝∠D＝60°，
∴∠AED＝∠1+∠2＝80°；
③猜想：∠AED＝∠EAB+∠EDC．
理由：过点E作EFCD，
∵ABDC
∴EFAB（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠1＝∠EAB，∠2＝∠EDC（两直线平行，内错角相等），
∴∠AED＝∠1+∠2＝∠EAB+∠EDC（等量代换）．
（2）（2）当点P在区域①时，∠EPF＝360°-（∠PEB+∠PFC）；
当点P在区域②时，∠EPF＝∠PEB+∠PFC；
当点P在区域③时，∠EPF＝∠PEB-∠PFC；
当点P在区域④时，∠EPF＝∠PFC-∠PEB．
如下图，当点P在区域①时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ+∠PFC＝180°．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ+∠PEB＝180°，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝180°-∠PEB+180°-∠PFC＝360°-（∠PEB+∠PFC）；
如下图，当点P在区域②时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ＝∠PFC．
∵ABCD，
∴ABPQ，∠EPQ＝∠PEB，
∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝∠PEB+∠PFC；
如下图，当点P在区域③时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ+∠PFC＝180°．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ+∠PEB＝180°，
∴∠EPF＝∠FPQ-∠EPQ＝180°-∠PFC-（180°-∠PEB）＝∠PEB-∠PFC；
如下图，当点P在区域④时，过点P作PQCD，
∴∠FPQ＝∠PFC．
∵ABCD，
∴ABPQ，
∴∠EPQ＝∠PEB，
∴∠EPF＝∠FPQ-∠EPQ＝∠PFC-∠PEB．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
20．(1)见解析
(2)① 3；4；②
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为．
（1）根据三角形内角和定理进行解答即可；
（2）①根据“8字形”图形的定义进行解答即可；
②根据解析（1）的结论，得出，，根据角平分线的定义得出：，，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：①以线段为边的“8字形”有：
，，，共3个；
以点O为交点的“8字形”有：
，，，，共4个．
②在和中，，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴．
21．(1)
(2)①；②或．
【分析】本题主要考查了运用割补法求三角形面积、数轴上两点间距离公式、解绝对值方程等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键。
（1）如图：过点C作轴，垂足为M，过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F，如图所示，则四边形是长方形．然后运用割补法求解即可；
（2）①直接数轴上两点间的距离公式即可解答；②根据列绝对值方程求解即可。
【详解】（1）解：如图：过点C作轴，垂足为M，过点B作，交的延长线于点E，过点A作，交的延长线于点F，如图所示，则四边形是长方形．
，
，
，
．
（2）解：①∵，，
∴.
故答案为：。
②，
，
，
或，
或
22．(1)
(2)由图2可得，由图3可得，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质：
（1）根据三角形的外角的性质得出，，两式相加，即可求解．
（2）根据三角形的外角的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）解：根据图1可得：，，
∴，
∵，
∴，，
即；
（2）解：由图2得，由图3得，理由如下：
如图2，设交于点，
∵，，
∴；
如图3，设交于点，
∵，，
∴；
23．(1)的三个顶点是点，，，三条边是，，
(2)是，，，的边
【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；
（2）根据三角形的边解答即可．
【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，；
（2）解：是，，，的边．
【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念．
24．(1)
(2)；
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．
（1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数；
（2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论；
（3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，，，
；
又是的平分线，
；
（2）解：是边上的高，
，
在中，，，
，
由（1）知，，
，即；
（3）解：，理由如下：
且是的平分线，，
，
．
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