第二章二次函数同步强化练习（含解析）

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第二章二次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
2．已知P（，）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知二次函数y=x2+ x 1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（　　）
A．4 个 B．3个 C．2个 D．1个
4．若二次函数，当时，，则a的值是（　　）
A．1 B． C． D．﹣1
5．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（ ）
A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3
6．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．= B．y＝ C．y=k D．y=k2x
7．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（1，2）
8．函数y=ax2（a≠0）的图象与a的符号有关的是（ ）
A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小
9．函数图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如果二次函数图象的形状与的形状相同，且顶点坐标是，那么这个函数的解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
11．抛物线y＝－1＋3x2(　　)
A．开口向上，且有最高点 B．开口向上，且有最低点
C．开口向下，且有最高点 D．开口向下，且有最低点
12．当函数y=（x-1）2-2的函数值y随着x的增大而减小时，x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．x为任意实数
二、填空题
13．抛物线y＝2x2﹣1在y轴左侧的部分是 ．（填“上升”或“下降”）
14．抛物线与轴的交点坐标是 ．
15．如图所示，将抛物线C0∶y＝x2－2x向右平移2个单位长度，得到抛物线C1，则抛物线C1的表达式是 ．
16．如图所示二次函数y1＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，6），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是 ．
17．已知二次函数图像经过点和，那么该二次函数图像的对称轴是直线 ．
三、解答题
18．已知二次函数
(1)画出这个函数的图象；
(2)根据图象，求出当时，x的取值范围？
(3)请直接写出与该函数图象关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式______．
19．已知二次函数，解答下列问题：
(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）．
(2)判断点是否在这个函数图象上，说明理由．
(3)求当时对应的函数图象上的点的坐标．
20．已知二次函数．
(1)该二次函数图象的对称轴是___________；
(2)若该二次函数的图象开口向下，当时，y的最大值是2，求当时，y的最小值：
(3)若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，请结合图象，直接写出t的最大值．
21．为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：
(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？
22．已知函数y=（a+1） +（a﹣2）x（a为常数），求a的值：
(1)函数为二次函数；
(2)函数为一次函数．
23．已知二次函数y= -（x-1）2
（1）画出这个函数的图象；
（2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___．
24．已知块边长为的正方形草地．

(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少，再将另一边增加，设变化后的草地的面积为，则　　　　　（填“是“或“不是”）关于x的函数．
(2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加，设扩充后的草地的面积为，
①写出y与x之间的函数关系式，
②当时，求y的值．
《第二章二次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D B A D C A B
题号 11 12
答案 B B
1．D
【分析】
根据a的符号变化判断反比例函数和二次函数所在象限即可得出答案．
【详解】解：当时，的图像开口向上，过一、二象限；的图像位于一、三象限，可知，D正确；
当时，的图像开口向下，过三、四象限；的图像位于二、四象限，无此选．
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的图像，理解函数表达式中的系数与函数图像的关系是解题的关键．
2．B
【分析】由题意得，，然后消去m得到y与x关系式即可．
【详解】解：∵P（，）是平面直角坐标系中的点，
∴，，
∴，
∴
则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是，
故选：B．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，用含m的式子表示出x是解答本题的关键．
3．C
【分析】先确定A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），再分类讨论．
【详解】依题意可得A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1,0），C的坐标为（0，-1）,
点P在抛物线上，而且S△APC=2，那么符合条件的有
（1）当点P和点B重合，其面积即为4×1÷2=2，
（2）假设动点P在y轴的左侧上，则S△APC=，解得，把代入y=x2+ x 1，得（舍去），
所以点P（-4，）.
在y轴的右侧上找不到适合的点，由此只有两个点．
故选：C
点评：该题分析较为复杂，主要考查学生对二次函数与直角坐标系各坐标交点以及线上动点与固定点所形成图形面积的计算应用．
4．D
【分析】由二次函数的顶点式可得函数的最大值，进而依题意可求得a的值．
【详解】解：∵
∴二次函数的顶点坐标为
∵
∴二次函数在时取得最大值3-9a
∴依题意有，解得
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
5．B
【分析】根据函数的对称轴为：x=h和的位置关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】解：函数的对称轴为：x=h，
①当时，x=3时，函数取得最小值1，即，
解得h=4或h=2（舍去）；
②当时，x=1时，函数取得最小值1，即，
解得h=0或h=2（舍去）；
③当时，x=h时，函数取得最小值1，不成立，
综上，h=4或h=0，
故选：B．
【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．
6．A
【详解】试题分析：A、一定是二次函数；
B、自变量x在分母上，不是二次函数；
C、当k＝0时不是二次函数；
D、当k≠0时是正比例函数，当k＝0时是常函数．
故选A．
点睛：本题考查二次函数的定义，形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）是二次函数．
7．D
【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选：D．
8．C
【详解】解：二次函数图象中a的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
9．A
【分析】根据二次函数的顶点式即可得．
【详解】解：函数图象的顶点坐标是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握求解二次函数的顶点坐标的方法是解题关键．
10．B
【分析】根据二次函数图象的形状与的形状相同，可得到所求函数解析式的二次项系数为 ，再根据顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：∵二次函数图象的形状与的形状相同，即二次项系数 相同，
∴所求函数解析式的二次项系数为 ，
∵顶点坐标是，
∴这个函数的解析式为或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意得到二次项系数 相同是解题的关键．
11．B
【分析】抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，因而抛物线的开口一定向上，则函数一定有最小值，图象存在最低点．
【详解】解：∵抛物线y=-1+3x2的二次项系数是3＞0，
∴抛物线y=-1+3x2开口向上，且有最低点．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x=，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
12．B
【分析】利用二次函数的增减性求解即可，画出图形，可直接看出答案．
【详解】解：对称轴是：x=1，且开口向上，如图所示，
∴当x＜1时，函数值y随着x的增大而减小；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟记二次函数的性质．
13．下降
【分析】抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，所以在y轴左侧的部分y随x的增加而减小．
【详解】解：抛物线y＝2x2﹣1的对称轴x＝0，抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增加而减小，
故答案为：下降．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
14．
【分析】把代入抛物线，即得抛物线与 轴的交点坐标．
【详解】解：由题意得，当时，抛物线与 轴相交，
把代入，得，
∴抛物线与 y轴的交点坐标为，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，理解题意令解一元二次方程是解题的关键．
15．y＝x2－6x＋8．
【详解】∵抛物线C0：与轴交于点（0，0）、（2，0），
∴将抛物线C0向右平移两个单位长度后所得新抛物线C1与轴交于点（2，0）、（4，0），
又∵平移不改变抛物线的形状，
∴新抛物线的表达式为：C1：，即.
点睛：（1）将抛物线向左或右平移不改变表达式中“”的值；（2）将抛物线向左（或右）移动若干个单位长度，则其与轴的交点向相应方向移动相同的单位长度.
16．
【分析】根据﹤y2，则二次函数的图象在一次函数图象的下方，再由A、B点的坐标即可解答．
【详解】解： ∵﹤y2，则二次函数的图象在一次函数图象的下方，
∴的取值范围在两交点之间，
∵（﹣1，3），B（4，6）
∴由图象可知：的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，解题的关键是理解二次函数与不等式的关系，并会通过观察图象确定x的取值范围．
17．x=5
【分析】根据抛物线的对称性可知：点和关于抛物线的对称轴对称，从而求出结论．
【详解】解：∵二次函数图像经过点和，
∴该二次函数图像的对称轴是直线x==5
故答案为：x=5．
【点睛】此题考查的是抛物线对称性的应用，掌握利用抛物线上两点关于抛物线的对称轴对称，求抛物线对称轴是解题关键．
18．(1)见解析
(2)或
(3)
【分析】（1）根据函数解析式确定图象顶点坐标及图象与x、y轴交点坐标即可画出图象，
（2）根据函数图象直接写出x的取值范围即可求解；
（3）先求得原抛物线的顶点关于原点的对称点，进而根据中心对称的性质，开口大小不变，方向改变，即可求解．
【详解】（1）解：∵
二次函数的顶点坐标为：，
图象如图：
（2）根据函数图象可知，当时，或；
（3）∵，
二次函数的顶点坐标为：，关于原点对称的坐标为，
∵关于原点成中心对称的抛物线，开口大小不变，只改变方向，
∴关于原点成中心对称的抛物线的函数关系式为，
即．
【点睛】本题考查了画二次函数图象，中心对称的性质，将二次函数一般式化为顶点式，根据图象求不等式的解集；掌握以上知识是解题的关键．
19．(1)见解析；
(2)点不在这个函数图像上；
(3)和．
【分析】（1）根据对称性可直接画出图象；
（2）代入横坐标或纵坐标都可判断；
（3）代入即可求出坐标．
【详解】（1）如图所示，
（2）当时，
，
∴点不在这个函数图象上；
（3）当时，
，
∴，
∴时，对应的函数图象上的点的坐标为：和．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题关键是运用好数形结合的思想．
20．(1)2
(2)
(3)4
【分析】（1）利用对称轴公式计算即可；
（2）构建方程求出的值即可解决问题；
（3）当，时，均满足，推出当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件，可得，由此即可解决问题；
【详解】（1）解：对称轴．
（2）解：该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线，
当时，取到在上的最大值为2．
．
，，
当时，随的增大而增大，
当时，取到在上的最小值0．
当时，随的增大而减小，
当时，取到在上的最小值．
当时，的最小值为．
（3）解：当，时，均满足，
当抛物线开口向下，点在点左边或重合时，满足条件，
且
，
的最大值为4．
【点睛】本题考查二次函数的性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21．(1)，
(2)将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润=销售量×（批发价－成本价），列出销售利润w（元）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】（1）解：根据题意得，
所以每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，
自变量x的取值范围是
（2）解：设每天获得的利润为w千元，根据题意得
，
∵，
∴当，W随x的增大而增大．
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为，
∴将批发价定为每吨5.5千元时，每天获得的利润最大，最大利润是31.5千元．
【点睛】本题考查二次函数应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
22．(1)a=1
(2)a=0或﹣1
【分析】（1）直接利用二次函数的定义得出a2+1=2，a+1≠0得出即可；
（2）利用一次函数的定义分别求出即可．
【详解】（1）当 时，函数为二次函数，
解得：a=±1，a≠-1，
∴a=1；
（2）当 时，函数为一次函数，
解得：a=0，
当a+1=0，即a=﹣1时，函数为一次函数，
所以，当函数为二次函数时，a=1，当函数为一次函数时，a=0或﹣1．
【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
23．（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0．
【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点．
【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可；
（2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小；
当时，，即当时，y有最大值，最大值为0，
故答案为：；1；大；0．
【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键．
24．(1)是；
(2)①；②；
【分析】（1）根据题意结合面积公式列出关系式判断即可得到答案；
（2）①根据正方形面积公式直接求解即可得到答案；
②将代入解析式求解即可得到答案；
【详解】（1）解：变化后草地的一边长为，另一边长为，
则，
∴S是关于x的函数，
故答案为：是；
（2）解：①由题意知，扩充后的草地的边长均为，
则，
∴y与x之间的函数关系式是；
②当时，；
【点睛】本题考查二次函数几何问题，解题的关键是根据面积公式列等式．
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