第一章直角三角形的边角关系同步强化练习（含解析）

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第一章直角三角形的边角关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，，，，则tan∠的值是( )
A． B．2 C． D．
3．如图，某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，则滑梯的长AB为（　　）
A．100米 B．110米 C．120米 D．130米
4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1：，坝外斜坡的坡度i=1：1，则两个坡角的和为（　　）
A．90° B．60° C．75° D．105°
5．如图，王亮为了测量一条河流的宽度，他在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽（的长）可以表示为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不一定成立的是（　　）
A．b=atanB B．a=ccosB C．c＝ D．a=bcosA
7．如图，延长等腰斜边到，使，连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．
8．如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高度为（ ）
A．h B．h C．h D．h
9．如图，已知的边，直线的方程为，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是斜边边上的高，，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图，嘉淇一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法：①地在地的北偏西方向；②地在地的南偏西方向上；③；④．
其中错误的是（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
12．已知＞，那么锐角a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AB，BC上，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，连接DF，EF，若，则 ．（结果用含n的代数式表示）
14．在中，，则的值为
15．计算：cos245°＋tan30°·sin60°－sin245°＝ ．
16．用教材中的计算器按下列顺序依次按键：，屏幕上显示 ．
17．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，AB的长 ．
三、解答题
18．在△ABC中，已知∠A＝60°，∠B为锐角，且tanA，cosB恰为一元二次方程2x2－3mx＋3＝0的两个实数根．求m的值并判断△ABC的形状．
19．图1是一商场的推拉门，已知门的宽度米，且两扇门的大小相同（即），将左边的门绕门轴向里面旋转，将右边的门绕门轴向外面旋转，其示意图如图2，求此时与之间的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：，，）

20．周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动．已知小红家B在小宇家A的北偏西方向上，．两人到达劳动基地C处后，发现小宇家A在劳动基地C的南偏西方向上，小红家B在劳动基地C的南偏西方向上．求小宇家A到劳动基地C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：，，，）
21．计算：
(1)；
(2)．
22．如图，在中，，，于点D．
(1)求的值；
(2)求的长．
23．根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝.
24．如图，是等腰三角形，你能根据图中所给数据求出吗？
《第一章直角三角形的边角关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D C A D A A A B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
2．B
【详解】解：设则
又因为在菱形ABCD中，
所以
，
由勾股定理知，
故答案为：B．
3．D
【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，再利用勾股定理得出AB的长．
【详解】解：∵某游乐场山顶滑梯的高BC为50米，滑梯的坡比为5：12，
∴＝，
则＝，
解得：AC＝120米，
故AB＝＝＝130（米）．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡比的定义是解题关键．
4．C
【详解】解：如图所示，
∵ED：AE＝1：，
∴∠A＝30°．
∵CF：BF＝1：1，
∴∠B＝45°．
∴∠A＋∠B＝30°＋45°＝75°．
故选C．
【点睛】在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是这一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
5．A
【分析】在中，利用的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得的长．
【详解】解：在中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：A．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用－方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
6．D
【详解】∵∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴A.tanB= ，则b=atanB，故本选项正确，
B.cosB= ，故本选项正确，
C.sinA= ，故本选项正确，
D.cosA= ，故本选项错误，
故选D．
7．A
【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得．
【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
设AC=BC=a，
∵AC⊥BC，AC=BC=a，
∴，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，
∴∠ABC=∠BAC=45°，，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，
∴DE=，BE=，
∴CE=BC+BE=3a，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】作CE⊥AB，根据∠DAB可以求得CE的长，根据CE即可求得AE的长，根据CD=BE=AB-AE即可解题．
【详解】解：作CE⊥AB，
∵∠DAB=90°-60°=30°，tan30°=
∴CE=BD=
∵∠ACE=30°，
∴AE=CEtan30°=
∴CD=BE=AB-AE==
故答案为．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了直角三角形中三角函数的运用，本题中求得BD的长是解题的关键
9．A
【分析】本题考查了三角函数的定义和一次函数、勾股定理的知识，利用等角的代换，体现了思维的灵活性．根据一次函数的性质，求出点A、B的坐标，得到、的长度，再根据三角函数的定义即可求出的值．
【详解】直线的方程为
当时，；当时，，
∴，
∴
，
∵，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查求锐角三角函数，勾股定理，
根据勾股定理先求出，再证明，进而即可求解
【详解】解：在中，
∵在和中，
，
故选B.
11．C
【分析】根据方位角及锐角三角函数的知识可以解得正确答案．
【详解】解：由题意可得如下标有角度的方位图，
∴B地在C地的北偏西 50°方向，①正确；A地在B地的南偏西 60°方向，②错误；
cos∠BAC=，③正确；∠ACB=90°-50°=40°，④错误；
故选C．
【点睛】本题考查方位角的有关计算，正确理解方位角的有关概念及特殊角的余弦值是解题关键．
12．A
【分析】根据特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性进行判断即可．
【详解】解：∵＝，＞，正弦值随着角度的增大而增大，
∴
∵α为锐角，
∴
故选：A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊锐角三角函数值以及锐角三角函数的增减性是关键．
13．
【分析】过点D作DG⊥AF于点G，设，，运用，，，得出AD，DG的长，再通过翻折的性质及勾股定理，用n的代数式表示x，最后证明，通过相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：如图，过点D作DG⊥AF于点G，设，，
∵△ABC为等边三角形，DG⊥AF，
∴，，
∵，
∴，．
∵，，
∴，，
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∵，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，
∴．
．
在中，
∵，
∴，
即，
化简得．
∵△ABC为等边三角形，
∴，
∵将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上的点F处，
∴，
∴．
∵，
∴在中，有，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定及性质，综合性比较强，其中大胆设未知量是解题关键．
14．
【分析】根据正弦函数是对边比斜边，可得答案．
【详解】解：由题意作图如下：
由勾股定理可得AB===10，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角函数，利用正弦函数是对边比斜边是解题关键．
15．/0.5
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．
【详解】解：
= .
故答案为．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
16．
【分析】本题考查了计算器的基础知识，解题的关键是分析出按键中所求的问题．根据按键的显示，求的是余弦是的角的度数，按余弦的值写出度数即可．
【详解】解：∵余弦是的角的度数是，
故答案为：．
17．5
【分析】作CD⊥AB于D，据含30度的直角三角形三边的关系得到CD=，AD=3，再在Rt△BCD中根据正切的定义可计算出BD，然后把AD与BD相加即可．
【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，
在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝AC＝，AD＝CD＝3，
在Rt△BCD中，tanB＝，
∴，
∴BD＝2，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5.
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
18．m＝；△ABC是直角三角形．
【分析】先求出一元二次方程的解，再根据特殊角的三角函数值求出各角的度数，判断三角形的形状．
【详解】解：∵∠A＝60°，
∴tanA＝.
把x＝代入方程2x2－3mx＋3＝0，得2()2－3m＋3＝0，解得m＝.
把m＝代入方程2x2－3mx＋3＝0得2x2－3mx＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
∴cosB＝，即∠B＝30°.
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
即△ABC是直角三角形．
【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和判断三角形，解题关键是熟记特殊三角函数值.
19．1.4米.
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，则EM=BC，在Rt△ABE、Rt△CDF中可求出AE、BE、DF、FC的长度，进而可得出EF的长度，再在Rt△MEF中利用勾股定理即可求出EM的长，此题得解．
【详解】过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE=CM，如图所示，
∵AB=CD，AB+CD=AD=2，
∴AB=CD=1，
在Rt△ABE中，AB=1，∠A=37°，
∴BE=AB sin∠A≈0.6，AE=AB cos∠A≈0.8，
在Rt△CDF中，CD=1，∠D=45°，
∴CF=CD sin∠D≈0.7，DF=CD cos∠D≈0.7，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴BE∥CM，
又∵BE=CM，
∴四边形BEMC为平行四边形，
∴BC=EM，CM=BE．
在Rt△MEF中，EF=AD﹣AE﹣DF=0.5，FM=CF+CM=1.3，
∴EM=≈1.4，
∴B与C之间的距离约为1.4米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
20．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用即方向角问题，根据题目的已知条件，过点B作，垂足为D，根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：过点B作，垂足为D，如下图：
由题意得： ，
，
在中，，
∴
在中：
；
∴
∴小宇家A到劳动基地C的距离约为：．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，立方根和零指数幂：
（1）先计算特殊角三角函数值，立方根，再根据有理数四则混合计算法则求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，零指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
22．(1)
(2)
【分析】（1）过点A作交于点E，由等腰三角形的性质得到，由勾股定理得到，由锐角三角函数的定义即可得到答案；
（2）过点A作交于点E，由，进一步即可得到的长．
【详解】（1）解：如图，过点A作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．．
在中，
∵，
∴．
（2）解：如图，同（1），过点A作交于点E，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
又∵由（1）求得，
∴．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
23．(1)∠A＝30°，c＝16，b＝8；(2)∠B＝45°，a＝，c＝2.
【详解】分析：
这是一组在直角三角形中，由已知边、角求未知边、角的题目，由已知条件根据直角三角形中边角间的关系进行分析解答即可.
详解：
（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°，
∴∠A=90°-60°=30°，，；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，b＝，
∴∠B=45°，，
∴.
点睛：这是一组在直角三角形中，由已知边、角求未知边、角的题目，熟悉“直角三角形中边、角间的关系”是正确解答这类题的关键.
24．
【分析】由是等腰三角形，求解 再利用锐角的正切的定义求解即可.
【详解】解： 是等腰三角形，
而
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，锐角的正切的定义，掌握锐角的正切的定义是解题的关键.
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