1.1锐角三角函数同步强化练习（含解析）

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1.1锐角三角函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（ ）

A． B． C． D．
2．2cos 30°的值等于(　　)
A．1 B． C． D．2
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )
A． B．3 C． D．2
4．如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若的顶点均是格点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，tanB=2，那么AC为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=， 则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
9．在中，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长m为（　　）
A． B． C． D．h﹣sinα
11．在菱形ABCD中，过点A作AE与边BC垂直于点E，将△ABE沿直线AE折叠，若点B恰好落在线段EC上（不与E，C重合），则∠B的度数可以是（　　）
A．36° B．60° C．75° D．100°
12．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在正方形和中，，连结、，则 ．
14．如图，中，，是上一点，连接，将沿翻折，点落在边的点处，连接．若，，则长 ．
15．如图，网格中的每一个正方形的边长都是1，△ABC的每一个顶点都在网格的交点处，则sinC= ．
16．已知在中，，，，那么的值是 ．
17．在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个 .
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣3，4），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．
(1)求a，b的值与点A的坐标；
(2)求证：△CPD∽△AEO；
(3)求sin∠CDB的值．
19．如图所示是某公园“六一”前新增设的一台滑梯．该滑梯的高度AC＝2 m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC＝4m.
(1)求滑梯AB的长(精确到0.1 m)；
(2)若规定滑梯的倾斜角(∠ABC)不超过45°属于安全，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求．
20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=，试求cosA与tanA的值．
21．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
22．在中，，，求、的正切值．
23．分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
24．计算：
(1).
(2).
《1.1锐角三角函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C C D A C A A
题号 11 12
答案 C B
1．B
【分析】连接，利用勾股定理得到，进而得到是直角三角形，从而求解.
【详解】解：连接，如图所示，

由勾股定理可得：，
∴
∴是直角三角形，即
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求角的余弦值，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握在方格中利用勾股定理求边长，同时判断三角形形状是解题的关键．
2．C
【详解】分析：根据30°角的三角函数值代入计算即可.
详解：2cos30°=2×=．
故选C．
点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键.
3．D
【分析】先求出AC，再根据正切的定义求解即可．
【详解】设BC=x，则AB=3x，
由勾股定理得，AC=，
tanB===，
故选：D．
4．C
【分析】根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义即可判断A，B，再在中，利用锐角三角函数的定义即可判断C，最后利用同角的余角相等可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义即可求出，即可判断D．
【详解】解：∵，
∴，
在中，
故A、B不符合题意；
在中，，
故C符合题意；
∵，，
∴，
在中，，
∴，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5．C
【分析】过点C作AB的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点C作AB的垂线交AB于一点D，如图所示，
∵每个小正方形的边长为1，
∴，
设，则，
在中，,
在中，,
∴，
解得，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是能构造出直角三角形．
6．D
【分析】根据正切函数的定义tanB=，即可求得AC的长．
【详解】
∵tanB==2，
∴AC=2BC=2×3=6.
故选D.
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正切函数的定义.
7．A
【分析】根据正弦、余弦定义解答即可．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A是锐角．
∵cosA== ，
∴设AB=25x，
则AC=7x，由勾股定理得：
BC=24x，
∴sinA=．
故选A．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，根据定义解答问题．
8．C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴sinA=，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
9．A
【分析】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键；因此此题可根据三角函数进行求解．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∴；
故选A．
10．A
【分析】根据三角函数的定义即可求解．
【详解】∵，
∴
故选A．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，理解定义是关键．
11．C
【分析】在Rt△ABE中，得BE＝AB cosB，则2BE＝2AB cosB，根据点B恰好落在线段EC上，则有cosB＜，可得60°＜∠B＜90°．
【详解】解：如图：当∠B为锐角时，
在Rt△ABE中，
BE＝AB cosB，
∴2BE＝2AB cosB，
∵点B恰好落在线段EC上，
∴2BE＜BC，
即2AB cosB＜BC，
∴cosB＜，
∴∠B＞60°，
∴60°＜∠B＜90°，
当∠B为钝角时，折叠后B'不可能落在线段EC上，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、翻折的性质、以及三角函数的知识，证明出cosB＜是解题的关键．
12．B
【详解】解：连接BD．
∵E、F分别是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC==
故选B．
13．/0.5
【分析】根据正方形的性质可得，根据题意求得，即可求解．
【详解】连接，如图，
正方形和中，，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求角的正切，证明是解题的关键．
14．
【分析】先利用正弦值、勾股定理求出，再根据翻折的性质、勾股定理求出AD、CD、BD的长，然后根据等面积法求出OC的长，由此即可得出答案．
【详解】如图，设BD与的交点为点O，
在中，，，，
，即，
解得，
，
由翻折的性质得：，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
在中，，
又，
是的垂直平分线，
，
，即，
解得，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键．
15．
【分析】过A作AD垂直于BC，利用勾股定理求出AC的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出sinC的值即可.
【详解】解：过A作AD垂直于BC于D，
则AD=2，AC=，
∴sinC=.
故答案为.
【点睛】本题考查了锐角三角函数定义，牢记锐角三角函数定义是解本题的关键.
16．
【分析】画出图形，直接利用正弦函数值的定义进行求解即可．
【详解】
在中，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角函数值的定义，解题的关键是熟练掌握正弦函数值的定义．正弦函数值等于对边比斜边．
17．固定值
【详解】试题解析：在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比是一个固定值.
故答案为固定值.
18．(1)a＝﹣，b＝﹣9，点A的坐标为（3，﹣4）
(2)见解析
(3)sin∠CDB＝
【分析】（1）将点P（﹣3，4）代入y＝ax，计算出a，将点P（﹣3，4）代入y＝计算出b，最后根据函数的对称性求出点A即可；
（2）先根据菱形的性质证明∠DCP＝∠OAE，再证明∠AEO＝∠CPD＝90°即可证得△CPD∽△AEO；
（3）先计算出AO的长度，再根据△CPD△AEO得到∠CDP＝∠AOE，计算出sin∠AOE即可得到答案．
【详解】（1）解：将点P（﹣3，4）代入y＝ax，得：4＝﹣3a，
解得：a＝﹣，
∴正比例函数解析式为y＝﹣x；
将点P（﹣3，4）代入y＝，得：﹣12＝b﹣3，
解得：b＝﹣9，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
∵正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
∴点A的坐标为（3，﹣4）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，ABCD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（3，﹣4），
∴AE＝4，OE＝3，．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝．
【点睛】本题考查正比例函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的性质，解题的关键是熟练掌握正比函数、反比例函数、相似三角形和三角函数的相关知识．
19．（1）约4.5 m．（2）这架滑梯的倾斜角符合要求．
【分析】（1）Rt△ABC中，已知了两条直角边AC，BC的长，根据勾股定理，可得出AB的长．（2）根据Rt△ABC中已知的两条直角边，可以通过三角函数来求出角度的大小，从而进行判断．
【详解】解：(1)滑梯长AB＝ ＝ ≈4.5(m)．
(2)∵tan ∠ABC＝＝ ，
∴∠ABC≈27°，27°<45°，
∴这架滑梯的倾斜角符合要求．
【点睛】本题考查把实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
20．．
【分析】根据在直角三角形中，正弦、余弦和正切的定义题目中各角的关系进行求值，求 即求∠CAB的正切值.
【详解】解：在Rt△DBC中，∠C=90°，∠DBC=30°，
∴．
∴可设DC=k，BC=k（k＞0）．
在Rt△ABC中，由勾股定理知：．
∴．整理得．∴k=1．
∴BC=，CA=4．∴．
【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，掌握对所求值进行转化为对应角的正切值是解决此题的关键.
21．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论；
（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE CF；
（3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵，，CD是中线，
∴，，
∴．
在与中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∴，即．
（3）如图，过D作于点G，
则，．
当，时，
由，得．
在中，
．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
22．，
【分析】设a=3k b=5k利用正切定义求解
【详解】解：，设a=3k ，b=5k
，
故答案为，
【点睛】本题考查了角的正切值，熟练掌握正切的概念是解题的关键.
23．图（1），，，，，；图（2），，，，，
【分析】根据勾股定理，可得直角三角形的另一边，根据正弦函数是对边比斜边，余弦函数是邻边比斜边，正切函数是对边比邻边，可得答案 ．
【详解】解：（1） 图1由勾股定理得：
，
，，，
，，；
（2）图2 由勾股定理得：
，
，，，
，，．
【点睛】本题考查了锐角三角函数， 利用锐角三角函数的定义是解题关键 ．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据计算解题，注意负号的作用；
（2）先通分，再将分式的除法转化为乘法计算．
【详解】（1）解：
（2）
．
【点睛】本题考查零指数幂与负整指数幂、正切、化简绝对值、分式的加减乘除运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
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