1.4解直角三角形同步强化练习（含解析）

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1.4解直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，，于点 ．若，，则的长为(　　)
A．12 B．10 C．6 D．5
2．等腰三角形的两条边长分别是4 cm、9 cm，则等腰三角形的底角的余弦值是( )
A． B． C． D．
3．如图，矩形的两对角线相交于点，若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
4．如图，一块矩形木板斜靠在墙边（，点，，，，在同一平面内），已知，，，则点到的距离等于（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，则的长为（ ）

A． B． C．4 D．5
7．在菱形ABCD中，记∠ABC=∠α（0°＜∠α＜90°），菱形的面积记作S，菱形的周长记作C，若AD=2，则（　　）
A．C与∠α的大小有关
B．当∠α=45°时，S=
C．A，B，C，D四个点可以在同一个圆上
D．S随∠α的增大而增大
8．已知在中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕O点逆时针方向旋转90°到△A′OB′位置，则A′坐标是（　 　）
A．（﹣1，） B．（﹣，1） C．（，﹣1） D．（1，﹣）
10．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　）
A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）
C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）
11．如图，小亮为了测量校园里教学楼的高度，将测角仪竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为，测得教学楼的顶部处的仰角为，则教学楼的高度是( )
A． B． C． D．
12．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接，如果，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为 ．

14．如图，在矩形中，，，是的边上的动点，沿直线将折叠．当点的落点恰好落在矩形的对称轴上时， ；恰好落在矩形的对称轴上时， ．
15．如图，在矩形中，，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．当线段的长度最小时，的面积为 ．
16．如图，把面积为1的正方形纸片放在平面直角坐标系中，点B、C在x轴上，A、D和B、C关于y轴对称将C点折叠到y轴上的处，折痕为，现有一反比例函数的图象经过P点，则该反比例函数的解析式为 ．

17．如图，是等边三角形，直线经过它们的顶点，点在x轴上，则点的横坐标是 .
三、解答题
18．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．
19．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点，，一艘轮船从处出发沿东偏北方向航行至处，在，处分别测得，，求轮船航行的路程．（参考数据：，，，，结果保留整数）
20．如图，在梯形中，，交边于点．
（1）当点与恰好重合时（如图1），求的长；
（2）问：是否可能使、与都相似？若能，请求出此时的长；若不能，请说明理由（如图2）．
21．如图，已知四边形中，，的延长线与的延长线交于点E．
(1)若，求的长；
(2)若，求的长．（计算过程和结果均保留根号）
22．在中，，为锐角且，．
(1)求的度数．
(2)求的长．
23．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DEBC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG∠BDE．
（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；
（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．

24．一条渔船距对岸4km，以2km/h速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
《1.4解直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D C D D D B B
题号 11 12
答案 C A
1．D
【分析】先利用等腰三角形三线合一得出BD=12，再根据求出AB=13，再用勾股定理即可解出AD的长.
【详解】在中，，于点 ，
∴BD=BC=12，
∵，∴AB=13，
故AD===5.
【点睛】此题主要考查三角函数的应用.
2．C
【分析】等腰三角形两边的长为4cm和9cm，题目没有明确说明哪条是底边，哪条是腰，因此要分两种情况讨论；
对每一种情况，还需利用三角形三边关系验证能否构成三角形，若能构成三角形，再根据等腰三角形的性质以及余弦的定义进一步解答即可得到答案.
【详解】①当腰长为4cm时，则另外两边长分别为4cm和9cm，
4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，即此三角形不存在；
②当腰长为9cm时，则另外两边长分别为9cm和4cm，满足三角形三边关系，如图，
过A作AD⊥BC,垂足为D.
∵ AB=AC AD⊥BC，
∴ BD=DC (三线合一)，
∵ BD=DC ，BC=4，
∴ DC=2，
∵ AD⊥BC DC=2， AC=9，
∴ cos∠BCA= =，即等腰三角形的底角的余弦值是 .
故选C.
【点睛】本题考查等腰三角形和三角函数的知识，解答本题需掌握等腰三角形三线合一的性质以及余弦的定义.
3．B
【分析】根据矩形的性质求出AB的长和∠DAB的度数，然后利用tan∠ADB=即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AB=CD=1，
在Rt△ABD中，
tan∠ADB==，
∴∠ADB=30°．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及锐角三角函数，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
4．D
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出点到的距离，本题得以解决．
【详解】解：作于点，作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形是矩形，，，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴点到的距离等于．
故选：D．
【点睛】本题考查解矩形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，锐角三角函数等知识点．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．C
【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；
先求解，可得，再进一步探究即可；
【详解】解：∵12个相似的直角三角形，
∴，
，
∵，
∴，
，
，
∴，
故选：C
6．D
【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可．
【详解】如下图，作于，

在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．
7．D
【分析】根据菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义、共圆的条件判断即可．
【详解】A、错误．菱形的周长=8，与∠α 的大小无关；
B、错误，∠α=45°时，菱形的面积=2×2×sin45°=2；
C、错误，∵0°＜∠α＜90°，∴对角不互补，∴A，B，C，D四个点不在同一个圆上；
D、正确．∵0°＜α＜90°，S=菱形的面积=2×2×sinα，
∴菱形的面积S随α的增大而增大．
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的周长公式、菱形的面积公式、锐角三角函数的定义、共圆的条件，熟练掌握有关知识点是解答本题的关键.
8．D
【分析】根据正弦三角函数的定义，设，则，，再根据正切三角函数的定义，即可求解．
【详解】
∵在中，，，
∴，
设，则，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，根据三角函数的定义，用未知数表示出直角三角形的各边长，是解题的关键．
9．B
【分析】过点A′作A′C⊥x轴于C，根据点B的坐标求出等边三角形的边长，再求出∠A′OC＝30 ，然后求出OC、A′C，再根据点A′在第二象限写出点A′的坐标即可．
【详解】如图，过点A′作A′C⊥x轴于C，
∵B（2，0），
∴等边△AOB的边长为2，
又∵∠A′OC＝90 60 ＝30 ，
∴OC＝2×cos30 =2×＝，A′C＝2×＝1，
∵点A′在第二象限，
∴点A′（﹣，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化 旋转，等边三角形的性质，根据旋转的性质求出∠A′OC＝30，然后解直角三角形求出点A′的横坐标与纵坐标的长度是解题的关键．
10．B
【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可．
【详解】
解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，
∴AD=csinα，OD=ccosα，
则A的坐标为（ccosα，csinα），
故选B．
【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
11．C
【分析】过作交于，得到DE，在中，，求出AE，从而求出AB
【详解】过作交于，
在中，
故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
12．A
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，勾肌定理，解直角三角形．熟练掌握线段垂直平分线的性质、解直角三角形是解题的关键．
首先利用线段垂直平分线的性质得出，求出；根据求出长即可求解．
【详解】
解：垂直平分，
，
，
，
，
，
，
在中，．
故选：A．
13．．
【详解】解：如图连接AC、BD交于点O，以B为圆心BC为半径画圆交BD于P．此时△PBC是等腰三角形，线段PD最短，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=60°，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴BO=DO=×2=，∴BD=2BO=，
∴PD最小值=BD﹣BP=．
故答案为．

【点睛】本题考查菱形的性质；等腰三角形的判定；等边三角形的性质；最值问题．
14． /
【分析】过点作，交、于点E、F，根据折叠可知：，，求出，得出，求出，再求出此时即可；当点在上时，先求出，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后求出正切值即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，，
过点作，交、于点E、F，如图所示：
∵m为矩形的对称轴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
根据折叠可知：，，
在中，
∴，
∴，
∴；
如图，当点在上时，
∵n为矩形的对称轴，
∴，，
根据折叠可知：，，
根据勾股定理得：，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
15．/
【分析】如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，得到，证明，得，再由当时，有最小值，求出，得，继而得到，过点作于点，求出，最后根据三角形面积公式计算可得结论．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转，点落在点，连接，设交于点，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在矩形中，，
∴，，
∴，
∵当时，有最小值，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，
∴，
∴当线段的长度最小时，的面积为．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，垂线段最短等知识点，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
16．
【分析】先设再根据的几何意义求出值即可．
【详解】解：依题意知，，
的纵坐标为，，
为等边三角形，
所以，
，
，，
设该反比例函数的解析式为，
则，
．
故答案为：．
【点睛】主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式和反比例函数系数的几何意义．反比例函数系数的几何意义为：反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，同时也是该点到两坐标轴的垂线段与两坐标轴围成的矩形面积．本题综合性强，考查知识面广，能较全面考查学生综合应用知识的能力．
17．
【分析】如图，设直线与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA＝2，OC＝，然后解直角三角形求出∠ACO＝30°，可得，，然后求出，，，…，进而可得，再求出即可．
【详解】解：如图，设直线与x轴交于点C，
在中，当x＝0时，y＝2；
当y＝0时，即，解得：，
∴A（0，2），C（，0），
∴OA＝2，OC＝，
∴tan∠ACO＝，
∴∠ACO＝30°，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝，
∵AO⊥，
∴，
∴，
同理可得：，，…，
∴，
∴，
∴点的横坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质，等边三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，通过解直角三角形求出∠ACO＝30°是解题的关键．
18．（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．
∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．
∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，
∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．
∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，
∴AT＝，
∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，
∴AE＝AD＝FT，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19．．
【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出轮船航行的距离．
【详解】解：如图，过点作于点，
在中，，
，
，
在中，，
∴，
，
，
，
解得，
在中，，
，
即．
答：轮船航行的路程约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的应用，熟悉相关性质是解题的关键．
20．（1）2；（2）AD =2.
【分析】（1）由∠DCA=∠CAB，∠ADC=∠ACB，证得△ACD∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长；
（2）分别从使△ABE、△CDE与△BCE都相似分析，利用相似三角形的性质，即可求得AD的长．
【详解】解：（1）当点E与A重合时，∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，且∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC=2，
∴AD=．
（2）若能使△ABE、△CDE与△BCE都相似，
∴∠EBC=∠A=∠D=90°，∠DEC=∠BEC=∠AEB，
∵∠DEC+∠BEC+∠AEB=180，
∴∠DEC=∠BEC=∠AEB=60°.
在Rt△DEC中，tan∠DEC=，
∴DE=.
在Rt△ABE中，tan∠AEB=，
∴EA=，
∴AD=DE+AE=2.
【点睛】此题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识．熟练运用相似三角形的性质解决问题是本题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE和CE的长，根据BC=BE﹣CE即可求得BC的长；
（2）根据三角函数的性质求出AE，DE即可求解．
【详解】（1）（1）∵，，AB=6，，
∴，，
∵∠CDE=90°，CD=4，，，
∴CE=8，
∴BC=BE﹣CE=；
（2）∵，，
∴，
∵
∴，
∴
解得，
．
【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键．
（1）根据函数值直接得到的度数．
（2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长．
【详解】（1）解：∵为锐角且，
∴；
（2）解：过点A作于H，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
即，
解得，
∴．
23．（1）4；（2）FG=BF+EG，见解析；（3）FG=BF-EG
【分析】（1）解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴∠BDE+∠ABC=180°，
∵∠BDE=120°，
∴∠ABC=60°，
∵DF⊥BF，
∴∠BFD=90°，
∴DF=BF tan60°，
∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，
∴CF=DF tan60°，
∴BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG．
理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∵∠FDG∠BDE，
∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=EG+HE=EG+BF，
∴FG=BF+EG；
（3）如图3中，结论：FG=BF-EG．
理由：在射线EA上截取EH，使得EH=BF．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠DEH=∠B，
在△DBF和△DEH中，
，
∴△DBF≌△DEH（SAS），
∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，
∵∠FDG∠BDE∠FDH，
∴∠GDF=∠GDH，
在△DGF和△DGH中，
，
∴△DGF≌△DGH（SAS），
∴FG=HG，
∵HG=HE-GE=BF-EG，
∴FG=BF=-EG．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．
【分析】由题意知，由勾股定理求出水流的距离，然后求解河水的流速.
【详解】解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，
则由，就是渔船实际航行的速度，
航行的时间为
在中，，
【点睛】本题主要考查了向量在物理中的应用，直角三角形以及勾股定理模型的应用，数形结合是解答本题的关键.
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