1.5三角函数的应用同步强化练习（含解析）

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1.5三角函数的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为（ ）
A． B． C． D．
2．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
3．如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔北海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是（ ）
A．海里 B．海里 C．海里 D．海里
4．小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时 刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A．米 B．12米 C．米 D．10米
5．如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A处观测到楼H在北偏东60°方向上，行驶1小时后到达B处，此时观测到楼H在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶（　　）分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置．
A．60 B．30 C．15 D．45
6．“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小朋周末在公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长80米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小朋身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A． B． C． D．
7．某停车场入口栏杆如图，栏杆从水平位置AB绕点O旋转到CD的位置，已知AO＝a，若栏杆的旋转角∠AOD＝41°，则栏杆端点A上升的垂直距离为（ ）
A．asin41° B．acos41° C． D．atan41°
8．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1：2.5，斜坡CD的坡角为30度，则坝底AD的长度为（　　）
A．56米 B．66米 C．（56+20）米 D．（50+20）米
9．某超市从一楼到二楼有一自动扶梯，如图是自动扶梯的侧面示意图，已知自动扶梯AB的坡度为1：2.4，AB的长度为13米，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点，BC⊥MN，在自动扶梯底端A处侧得C点的仰角为 42°，则二楼的层高BC约为（精确到0.1米，，）（ ）
A．10.8米 B．8.9米 C．8.0米 D．5.8米
10．某人沿坡度i＝1：的坡面向上走50米，则此人离地面的高度为(　　)
A．25米 B．50米 C．25米 D．50米
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（ ）
A．2海里 B．2sin55°海里 C．2cos55°海里 D．2tan55°海里
12．在中，若，中线，，则的周长为（ ）．
A． B．
C． D．以上都不对
二、填空题
13．如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点处测得石碑顶点的仰角为，她朝石碑前行5米到达点处，又测得石顶点的仰角为，那么石碑的高度的长 米．（结果保留根号）
14．如图，一幢大楼的顶部竖有一块写有“校训”的宣传牌CD．小明在山坡的底部A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB垂直于视线AD，AB＝20米，AE＝30米，则这块宣传牌CD的高度为 ．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414，≈1.732）．
15．离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为 米（用含的三角函数表示）．
16．某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上，则新教学楼的高度是 米．（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：，，）

17．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B之间的距离，他们设计了如图所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到点E处，再从点E沿着垂直于AE的方向走到点F处，C为AE上一点，其中三位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB.其中能根据所测数据求得A，B两树之间的距离的有 组．
三、解答题
18．如图是引拉线固定电线杆的示意图，已知，，，求拉线的长．
19．某片绿地的形状如图所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．（精确到1m，≈1.732）
20．如图，两座建筑物的水平距离BC为，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角为．求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）．
21．如图，扶梯的坡比为：，滑梯的坡比为：，，．一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，经过的总路程是多少米（要求先化简，再取近似值．结果精确到）？
22．如图，是一垂直于水平面的建筑物，一位同学从建筑物底端出发，沿水平方向向左行走11.6米到达点，再经过一段坡路，米，坡面的坡度（即），然后再沿水平方向向左行走4米到达点，在处测得建筑物顶端的仰角37°．
(1)求点到建筑物的水平距离；
(2)求建筑物的高度．（参考数据：，，，，，，，，均在同一平面内．）
23．求下列直角三角形中字母所表示的值．
24．如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
《1.5三角函数的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A D A B A A C D C
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可．
【详解】解：在中，，
，
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
3．D
【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD和CD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【详解】解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=60．
在Rt△ACD中，cos∠ACD，,
∴CD=AC cos∠ACD=60×=，，
在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD=30，
∴AB=AD+BD=30+30海里．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
4．A
【分析】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质．
【详解】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，
∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB=BD=．
故选：A．
5．B
【分析】过点作，则点距离最近，解直角三角形求出即可．
【详解】：如图，过点作，则点距离最近，
由题意得：，
，
，
设速度为，则，
，
时间，
故行驶时间为时=分钟．
故选B
【点睛】本题考查了解直角三角形以及方向角的应用，从题目中提取数学模型是解题关键．
6．A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，如图，过点A作于C，根据正弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，过点A作于C，
在中，，
则（米），
故选：A．
7．A
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，
则∠DFO=90°，
由题意可知：DO=AO=a，∠AOD=41°，
∵sin∠AOD=，
∴DF=asin41°．
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义．
8．C
【分析】根据题意可得：BE=CF=20米，根据斜坡AB的坡比为1：2.5可得：AE=50米；根据∠D=30°，CF=20可得：DF=米，则AD=AE+EF+DF=(56+)米，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
根据题意得：BE=CF=20米，EF=BC=6米，∠D=30°，
∵斜坡AB的坡度i=1：2.5，
∴，解得：AE=50米，
∵∠D=30°，
∴，
∴米，
∴米．
故选：C
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确构造直角三角形是解题的关键．
9．D
【详解】试题分析：延长CB交PQ于点D．
∵MN∥PQ，BC⊥MN，
∴BC⊥PQ．
∵自动扶梯AB的坡度为1：2.4，
∴．
设BD=5k米，AD=12k米，则AB=13k米．
∵AB=13米，
∴k=1，
∴BD=5米，AD=12米．
在Rt△CDA中，∠CDA=90゜，∠CAD=42°，
∴CD=AD tan∠CAD≈12×0.90≈10.8米，
∴BC≈5.8米．
故选：D．
考点：解直角三角形的应用．
10．C
【分析】根据题意画出图形，由坡度可求出三角形的正切值，从而求出坡度角的度数，最后根据坡度角的度数求出AC即可．
【详解】如图，AB=50米，坡角为∠B=α，已知tanα==．
∴α=30°．
∴高AC=sinB AB=25（米）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用（坡度角问题），熟练地掌握三角函数的定义，特殊角度的三角函数值是解体的关键．
11．C
【详解】试题分析：首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A=∠NPA=55°．然后解Rt△ABP，得出AB=AP cos∠A=2cos55°海里．
解：如图，由题意可知∠NPA=55°，AP=2海里，∠ABP=90°．
∵AB∥NP，
∴∠A=∠NPA=55°．
在Rt△ABP中，∵∠ABP=90°，∠A=55°，AP=2海里，
∴AB=AP cos∠A=2cos55°海里．
故选C．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
12．B
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，进而得出∠B的度数，再利用锐角三角函数关系求出BD的长，进而得出BC的长，即可得出答案.
【详解】
∵AB=AC，中线，
∴AD⊥BC，
∵，
∴∠B=30°，
∴AB=2AD=，
∴BD=×cos30°=3，
∴BC=3×2=6，AB=AC=，
∴△ABC的周长为：6++=6+．
故选B．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形和等腰三角形的性质，根据已知得出AB的长是解题关键.
13．
【分析】先根据已知条件得出△ADC是等腰三角形，再利用AB=sin60°×AD计算即可
【详解】解：由题意可知：∠A=30°，∠ADB=60°
∴∠CAD=30°
∴△ADC是等腰三角形，
∴DA=DC又DC=5米
故AD=5米
在Rt△ADB中，∠ADB=60°
∴AB=sin60°×AD=米
故答案为：
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形，熟练记忆特殊角的锐角三角函数值是关键
14．5.4米．
【详解】过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．
Rt△ABF中，∵∠AFB=90°，∠BAF=180°﹣60°﹣90°=30°，
∴BF=AB=10，AF=BF=，
∴BG=AF+AE=+30．
在Rt△BGC中，∵∠BGC=90°，∠CBG=45°，
∴CG=BG=+30．
Rt△ADE中，∵∠AED=90°，∠DAE=60°，AE=30，
∴DE=AE=，
∴CD=CG+GE﹣DE=+30+10﹣≈5.4．
故答案为5.4米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
15．1.5 +20tan
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．
【详解】根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，
故旗杆的高为(1.5+20tanα)米.
故答案为1.5+20tanα
【点睛】考查解直角三角形的应用，属于仰角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形是解题的关键.
16．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义列出方程，解方程求出．
【详解】解：在中，，
则，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．3
【详解】【分析】（1）可利用∠ACB的正切来求AB的长；（2）可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；（3）设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=.
【详解】此题比较综合，要多方面考虑，
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=；
因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB．
故答案为3
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到解直角三角形即可求出．
18．
【分析】由于CD⊥AB，因此△ADC和△BDC都是直角三角形，在Rt△ACD中，由正弦的定义易得，代入相关数值，借助特殊角的三角函数值计算即可得到答案.
【详解】∵CD⊥AB，∠CAD=60°，
∴在Rt△ACD中，
∴AC=6（m）.
答：拉线AC的长是6m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用. 由题意可知，本题需要借助解直角三角形的应用进行分析，能找出图中的直角三角形，并会利用三角函数列出已知角，已知边，需要的求边的关系式是解决此题的关键.
19．AD的长约为227m，BC的长约为146m．
【分析】延长AD，交BC的延长线于点E，则在与 中，根据三角函数就可求得BE,CE,AE与DE的长，就可求得AD与BC的长．
【详解】如图，延长AD，交BC的延长线于点E，
在Rt△ABE中,由AB=200m,得
在Rt△CDE中，由CD=100m，
得CE=2CD=200m，
答：AD的长约为227m，BC的长约为146m；
20．AB为，CD为．
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形，根据锐角的正切函数，即可求解．
【详解】解：过点D作DE⊥AB，
则四边形BCDE为矩形，
在Rt△ADE中，∠ADE＝=，DE＝BC=，
∴AE＝DEtan∠ADE＝32.6×tan≈23.0m；
在Rt△ABC中，∠ACB＝=，BC=，
∴AB＝BCtan＝32.6×tan≈30.8m；
则DC＝AB AE＝30.83 23.00＝7.8
∴AB为，CD为．
即两座建筑物的高度分别为，．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题，难度一般．
21．
【分析】根据坡比分别求出、的长度，然后根据勾股定理求出、的长度，由求出的长，进而得出结果；
【详解】解：在中，（），
∴（）
∴（）
在中，（），；
∴（）
∴（）
∴（）
∴
（）
答：这个男孩经过的总路程约为
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、二次根式的运算等知识点；熟练根据坡比的定义以及勾股定理解直角三角形是解题的关键．
22．(1)18米；
(2)约为14.5米．
【分析】（1）延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，则四边形BMCN是矩形，首先根据CD的坡度求出CN和ND，进而可得EM的值；
（2）在Rt△AEM中，根据37°的正切可得AM，再根据AB＝AM+BM可得答案．
【详解】（1）解：延长EC交直线AB于M，则EM⊥AB，过C作CN⊥BF于N，
如图所示：
则四边形BMCN是矩形，
在Rt△CDN中，∵tan∠CDF＝，
∴设CN＝5a，则ND＝12a，
∴CD＝＝13a＝2.6，
解得a＝0.2，
∴CN＝1米，ND＝2.4米，
∴EM＝EC+ND+BN＝4+2.4+11.6＝18（米），
答：点E到建筑物AB的水平距离是18米；
（2）解：在Rt△AEM中，
∵AM＝EM tan37°≈18×0.75=13.5（米），
∴AB＝AM+BM＝13.5+1≈14.5（米）．
答：建筑物AB的高度约为14.5米．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（1），；（2），
【分析】(1) 根据特殊角60三角函数关系便可求出a,b
(2) 根据边的关系,边可以找到正切值，从而找到
【详解】(1)cos60
a=
tan60
b=4
(2)tan=
【点睛】抓特殊角的三角函数关系，这样便可以顺利找到答案了.
24．（1）30°；（2）.
【详解】解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，∴∠BDC=90°．
∵D是AC中点，∴BD是AC的垂直平分线．
∴AB=BC．∴∠A=∠C．
∵∠ABC=120°，∴∠A=∠C=30°．即∠ACB=30°．
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，
∴cos30°=．∴CD=．
∵AD=CD，∴AC=．
∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，∴．
∴点A到直线BC的距离为．
（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，从而得出∠A=∠C=30°即可．
（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，从而求出AE的长度即可．
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