1.6利用三角函数测高同步强化练习（含解析）

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1.6利用三角函数测高
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，C、D分别是一个湖的南、北两端A和B正东方向的两个村庄，CD=6km，且D位于C的北偏东30°方向上，则AB的长为（　　）
A．2km B．3km C．km D．3km
2．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点是航拍飞机在某一高度时的位置，是地平线，，，是某大型建筑物的斜面．从点观测点的偏角是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，王师傅在楼顶上A点处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为60°，若水平距离BD＝10 m，楼高AB＝24 m，则树CD高约为( )

A．5 m B．6 m C．7 m D．8 m
5．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．海中有一个小岛A，它的周围a海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东75°方向上，航行12海里到达D点，这是测得小岛A在北偏东60°方向上．若渔船不改变航线继续向东航行而没有触礁危险，则a的最大值为（　　）
A．5 B．6 C．6 D．8
7．有一拦水坝的横截面是等腰梯形，它的上底为米，下底为米，高为米，则此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
8．如图，一个人在距离旗杆底部处仰视旗杆顶部，测得点B关于点D的仰角为，若该人的身高为，则旗杆的高度为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，为一建筑物的最高点，在地面上的投影为，从地面上的点，用测角仪在处测得点的仰角为，测角仪高，若，则建筑物的高可表示为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为( )
A．(40＋40)海里 B．(80)海里
C．(40＋20)海里 D．80海里
11．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝30 m，则信号发射塔顶端到地面的高度(即FG的长)为( )
A．(35＋55)m B．(25＋45)m C．(25＋75)m D．(50＋20)m
12．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼AB的高度，工程师在D得用高2m的测角仪CD，测得楼顶端A的仰角为30°，然后向楼前进30m到达E，又测得楼顶端A的仰角为60°，楼AB的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．某市开展植树造林活动．如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为 米．
14．2024年11月30日第一届河南省科技运动会在郑州举行，某参赛小组制作的“水火箭”成功发射，已知当“水火箭”上升到点时，位于地面的点到点的距离为米，仰角为，则此时“水火箭”距地面的高度可表示为 米．
15．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为 m．
16．如图，晚上，小亮走在大街上，他发现：当他站在大街两边的两盏路灯（AB和EC）之间，并且自己被两边路灯照在地上的两个影子成一直线时，自己右边的影子HN长为3 m，左边的影子FH长为1m．小亮身高GH为1.5m，两盏路灯的高相同，两盏路灯之间的距离BC为16m，则路灯的高为 m；
17．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号）
三、解答题
18．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD，CD的长．
19．如图，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼，已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN=37°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
（1）过点A作MN的垂线，垂足为点H，如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板，当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（参考数据：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75）
20．如图，某登山队沿山坡上山后，再沿山坡CD下山．已知山坡AB的坡度为，山坡BC的坡度为，山坡CD的坡角∠D＝30°，且山顶C点到水平面AD的距离为1000m，B点到水平面AD的距离为200m．
(1)求山坡的长，
(2)已知登山队上山的速度保持不变，且下山速度是上山速度的2倍，若下山比上山少用26分钟，求下山的速度．
21．为了测量某段河面的宽度，秋实同学设计了如图所示的测量方案；先在河的北岸选定一点A，再在河的南岸选定相距am的两点B，C，分别测得，.请你根据秋实同学测得的数据，计算出河宽AD．（结果用含a和α，β的三角函数表示）
22．如图，某校数学兴趣小组为测得校园里旗杆AB的高度，在操场的平地上选择一点C，测得旗杆顶端A的仰角为30 ，再向旗杆的方向前进16米，到达点D处(C，D，B三点在同一直线上)，又测得旗杆顶端A的仰角为45 ，请计算旗杆AB的高度(结果保留根号)．
23．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224 m到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求电视塔的高度AB.( 取1.73，结果精确到0.1 m)
24．如图是小明绘制的在家测量对面一幢楼房高度的示意图．图中点均在同一平面内，小明在家测量时的位置在点处，点到地面的距离m，想要测量高度的楼房是，小明在点处测得地面上一点的俯角是，楼房的最高点的仰角是，图中，，点在上，点到的距离m，请根据以上小明测得的数据，计算出楼房的高度．（结果精确到1m，参考数据：）
《1.6利用三角函数测高》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B B D C C A
题号 11 12
答案 C D
1．B
【详解】试题分析：过点C作CE⊥BD，则∠DCE=30°，根据CD=6km可得：CE=3km，故AB=CE=3km，故选B．
2．C
【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，是俯角的是．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用的仰角俯角问题，熟练掌握俯角的定义是解题的关键．根据俯角的定义即可得到结论．
【详解】∵，是地平线，
∴从点观测点的俯角是，
故选：B．
4．C
【详解】过点C作AB的垂线CE,在Rt△AEC中,CE=BD=10, ∠CAE=30°,因为所以,AE=,
所以CD=BE=AB－AE=24－10故选C.
5．B
【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可．
【详解】解：∵，
∴BC＝CD＝x，
∵AB＝30，
∴AC＝x+30，
∴tan28°＝，
∴x＝（x+30）tan28°，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
6．B
【详解】试题分析：作AC⊥BD于点C， ∠ABD=90°-75°=15°，
∵∠ADC=90°-60°=30°， ∴∠BAD=∠ADC-∠ABD=30°-15°=15°，
∴∠ABD=∠BAD， ∴BD=AD=12（海里），
在直角△ADC中，AC=AD=×12=6（海里）．故选B．
7．D
【分析】过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC，那么ADEF平行四边形，所以BE=（BC-AD），而AE已知，所以坡度和坡角就可以解出．
【详解】解：如图，
过A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BC．
∵ABCD为等腰梯形，
∴BE=（BC-AD）=2．
∴坡度==
∴坡角=∠B=60°
故选D．
【点睛】此题考查了学生对等腰梯形的性质，坡度坡角的计算等知识点的掌握情况．
8．C
【分析】本题主要考查了三角函数中正切函数的应用，通过构建直角三角形，利用正切函数求出相关线段的长度，进而得到旗杆的高度．解题的关键是理解仰角的概念，并能正确运用三角函数关系进行计算．
【详解】过点B，做，交与H，
在直角三角形中，，
根据正切函数的定义，，即，所以，
旗杆的高度等于人的身高加上的长度，即．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点D作于F，利用矩形的判定与性质得出，，利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出的长．
【详解】解：过点D作于F，
由题意知：，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
故选：C．
10．A
【详解】试题分析：根据题意可得：△APC为等腰直角三角形，则AC=PC=40海里，根据Rt△BCP的性质可得：BC=40海里，则AB=AC+BC=(40+40)海里，故选A．
11．C
【详解】设CG=xm,由图可以知道:EF=(x+20) ·,FG=x·,
则(x+20) ·+30= x·,
计算出x=,
则FG= x·==m,
故选C.
12．D
【详解】试题分析：利用60°的正切值可表示出FG长，进而利用∠ACG的正切函数求AG长，加上2m即为这幢教学楼的高度AB．
解：在Rt△AFG中，tan∠AFG=，
∴FG==，
在Rt△ACG中，tan∠ACG=，
∴CG==AG．
又∵CG﹣FG=30m，
即AG﹣=30m，
∴AG=15m，
∴AB=（15+2）m．
故选D．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
13．4
【分析】本题考查坡度问题，以及勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识。利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离．
【详解】解：坡比，，
，即，
解得，
（米），
故答案为：4．
14．
【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：由题意得：
∴千米
故答案为：．
15．20m
【分析】延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．
【详解】解：延长CD交AM于点E，则AE=30．
∴
同理可得
∴（米）
故答案为
【点睛】考查利用解直角三角形知识解决实际问题的能力．
16．7.5；
【详解】试题解析：设路灯的高为x米，
∵GH⊥BC，AB⊥BC，
∴GH∥AB．
∴△NGH∽△NAB．
∴①．
同理△FGH∽△FCE
②．
∴．
∴．
解得NB=15米，代入①得
，
解得x=7.5．
17．40
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离．
【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°，
∴PC＝40海里，
在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB＝40海里，
故答案为40．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式．
18．AD=5+10，CD=10+5．
【详解】试题分析：此题可以过点B作两边的垂线，可得两个30°的直角三角形和一个矩形．根据30°的直角三角形的性质和矩形的性质就可求解．
解：如图所示，过B点分别作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F．
由AD⊥CD知四边形BEDF为矩形．
则ED=BF，FD=BE．在Rt△AEB中，
∠AEB=90°，∠A=30°，AB=10．
∴BE=AB=5，AE=BE=5．
在Rt△CFB中，
∠CFB=90°，∠C=30°，BC=20，
∴BF=BC=10，CF=BF=10．
∴AD=AE+ED=5+10，
∴CD=CF+FD=10+5．
考点：解直角三角形．
19．(1) 36米；(2) 81米．
【详解】试题分析：（1）连接PA．在直角△PAH中利用勾股定理来求PH的长度；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．通过解Rt△ADH、Rt△CDQ分别求得DH、DQ的长度，然后结合图形得到：PQ=PH+DQ﹣DH，把相关线段的长度代入求值即可．
试题解析：（1）如图，连接PA．
由题意知，AP=39m．
在直角△APH中，PH===36（米），
答：此时汽车与点H的距离为36米；
（2）由题意知，隔音板的长度是PQ的长度．
在Rt△ADH中，DH==20（米）．
在Rt△CDQ中，DQ==65（米）．
则PQ=PH+HQ=PH+DQ﹣DH=36+65﹣20=81（米）．
答：高架道路旁安装的隔音板至少需要81米．
考点：解直角三角形的应用．
20．(1)1520m
(2)下山的速度是每分钟40米
【分析】(1)过点C作CE⊥AD于E点，过点B作BF⊥AD于F点，分别解直角三角形即可．
（2）设下山的速度为x m/min，依据题意得，列分式方程求解即可．
【详解】（1）过点C作CE⊥AD于E点，过点B作BF⊥AD于F点，
∴BF＝200，CE＝1000，
∵山坡AB的坡度为，
∴AF＝480，
∴AB＝520，
过B点作BG⊥CE于G点，
∴四边形BFEG是矩形，
∴EG＝BF＝200，
∴，
∵山坡BC的坡度为，
∴BG＝600，
∴BC＝1000，
∴山坡的长为(m) ．
（2）∵∠D＝30°，∠CED＝90°，
∴CD＝2000，
设下山的速度为x m/min，依据题意得，
，
解得，，
经检验，是原方程的根，
∴下山的速度是每分钟40米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的坡比，坡角问题，熟练掌握化斜为直的解题方法是解题的关键．
21．河宽AD为m.
【分析】把△ABC分成两个有公共边的直角三角形，在这两个三角形中已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可建立方程求得AD的长．
【详解】解：设.
在中，，
∴（m）.
在中，，
∴（m）.
∵，
∴，解得.
即河宽AD为：m.
【点睛】这两个直角三角形有公共的直角边，利用公共边的建立方程解决此类题目的基本出发点．
22．旗杆AB的高度是（8+8）米．
【分析】根据锐角三角函数可得（CD+DB）×=BD×1，解得BD，从而可以求得AB的高度．
【详解】，解：由题意可得，
CD=16米，
∵AB=CB tan30°，AB=BD tan45°，
∴CB tan30°=BD tan45°，
∴（CD+DB）×=BD×1，
解得BD=8+8，
∴AB=BD tan45°=（8+8）米，
即旗杆AB的高度是（8+8）米．
23．电视塔的高度AB约为195.3 m.
【详解】试题分析:本题主要考查三角函数,设AG=x,分别在Rt△ACG和Rt△Rt△AFG中
设AG＝x，根据正切三角函数公式,用x表示出CG,FG的长度,根据DE=224m列出方程,解方程可求出x的值,从而求出AB的长.
在Rt△AFG中，∵tan∠AFG＝，∴FG＝，
在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，
∴CG＝＝x，
∴x－＝224，解得x≈193.8，
∴AB＝193.8＋1.5＝195.3(m)，
答：电视塔的高度AB约为195.3 m.
24．
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，含角的直角三角形，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键．过点作于点，可得四边形是矩形，在中，，可得（负值舍去），，在中，运用仰俯角解直角三角形可得的值，由即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴楼房的高度为．
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