2.2二次函数的图像与性质同步强化练习（含解析）

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2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知在二次函数y=-x2+（a-1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是（ ）
A．a=-1 B．a=3 C．a≥-1 D．a≤3
2．已知二次函数y=﹣（x﹣k）2（k为常数），当自变量x的值满足1≤x≤6时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则k的值为（ ）
A．0或5 B．5或7 C．0或7 D．2或5
3．函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
5．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点(，y1)，(，y2)，(1，y3)都在二次函数y=x2﹣3的图象上，则有（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
7．在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ）
A．5 B．9 C．11 D．13
9．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．二次函数y=x2和y=2x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
12．二次函数，的图象如图所示，那么a1与a2的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．一般抛物线 （a≠0） 的顶点是最低（高） 点，当x＝时，二次函数 有最小（大） 值y＝ ．
14．已知关于x的二次函数的图象经过原点，则m= ，当x 时，y随x的增大而增大．
15．y与x之间的函数关系可记为y＝f（x）．例如：函数y＝x2可记为f（x）＝x2．若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），则f（x）是偶函数；若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），则f（x）是奇函数．例如：f（x）＝x2是偶函数，f（x）是奇函数．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函数，则实数a＝ ．
16．已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，可知它的图象与x轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 ．
17．老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数的图像不经过第三象限；乙：函数的图像不过第四象限；丙：当时，随的增大而减小；丁：当时，.已知这四位同学的描述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个二次函数： .
三、解答题
18．已知二次函数
(1)将二次函数的解析式化为的形式．
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
19．已知二次函数的图像为抛物线C．
(1)抛物线C顶点坐标为______；
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，请判断抛物线是否经过点，并说明理由；
(3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
20．二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？
21．已知抛物线y=（b<0）的图像的顶点为M，与y轴交于点A，过点A的直线y=x+c与x轴交于点N，与抛物线另交于点B（6，8）.
（1）求线段AN的长；
（3）平移该抛物线得到一条新抛物线.设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB，求新抛物线对应的函数表达式.
22．如图是二次函数y＝a(x＋1)2＋2的图象的一部分，根据图象回答下列问题：
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ，则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ；
(2)确定a的值；
(3)设抛物线的顶点是P，试求△PAB的面积．
23．确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1)；
(2).
24．如图，二次函数的图象经，，三点．

(1)观察图象，写出，，三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；
(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴；
(3)为何值时，随的增大而增大？为何值时，随的增大而减小？
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D A C C C C C
题号 11 12
答案 D A
1．D
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于a的不等式，可求得答案．
【详解】解：
∵y=-x2+（a-1）x+1，
∴对称轴为x=-，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴≤1，解得a≤3，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于a的不等式是解题的关键．
2．C
【分析】分k＜1、1≤k≤6和k＞6三种情况考虑：
当k＜1时，根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出结论；
当1≤k≤6时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；
当k＞6时，根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．
【详解】解：当k＜1时，有-（1-k）2=-1，
解得：k1=0，k2=2（舍去）；
当1≤k≤6时，y=-（x-k）2的最大值为0，不符合题意；
当k＞6时，有-（6-k）2=-1，
解得：k3=5（舍去），k4=7．
综上所述：k的值为0或7．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分k＜1、1≤k≤6和k＞6三种情况求出k值是解题的关键．
3．C
【分析】假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．
【详解】解：A、根据一次函数图象知道a＜0，与y轴的交点不是（0，1），故选项错误；
B、根据二次函数的图象知道a＜0，同时与y轴的交点是（0，1），但是根据一次函数的图象知道a＞0，故选项错误；
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为（0，1），同时也知道a＞0，故选项正确；
D、根据一次函数图象知道a＜0，根据二次函数的图象知道a＞0，故选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围，然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解．
4．D
【分析】根据二次函数的平移规律求解即可．
【详解】解：A、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
B、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
C、两个抛物线的a不同，不能通过平移得到；
D、两个抛物线的a相同，可以通过平移得到；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律．
5．A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质，解决问题的关键是数形结合．根据图象判断出两个函数的系数的符号，即可求解．
【详解】解：A、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项正确；
B、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
C、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
D、由二次函数知、，由一次函数知、，故该选项错误；
故选：A．
6．C
【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线x=0），图象的开口向上，根据二次函数的性质得出点（1，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y3），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，再比较即可．
【详解】∵二次函数y=x2﹣3的图象的对称轴是y轴（直线x=0），
∴点（1，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣1，y3），图象的开口向上，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∵，
∴y3＞y1＞y2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．C
【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点；
根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案．
【详解】解：由方程组得ax2＝ a，
∵a≠0
∴x2＝ 1，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．
A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；
C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确；
D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错．
故选C．
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上．
8．C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可．
【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，
∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，
∴PE=PF，
∴△PMF的周长=FM+PM+PF，
∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，
∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，
∵M坐标为（3，6），
∴ME=6，
∴PF+PM=6
∵F（0，2），
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11，
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF．
9．C
【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．C
【详解】关于二次函数y=x2和y=2x2，
①它们的图象都是开口向上，正确；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)，正确；③当x>0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大，正确；④它们开口的大小是一样的，错误，开口大小与|a|的绝对值有关，|a|的绝对值越大，开口越小，所以正确的有3个，
故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键.
11．D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
12．A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【详解】解：∵都是开口向上，
∴都是大于0的数，
根据二次函数的图象开口越大，a越小，
∴，
故选择：A.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，正确记忆开口大小与a的关系是解题关键．
13．
【解析】略
14． 1 ＞0
【分析】由二次函数图象经过原点可知＝0，解方程求出m的值，再根据二次项系数不为0可得m＝ 1，二次函数解析式为，再根据解析式确定增减性．
【详解】解：∵二次函数的图象经过原点，
∴＝0，
解得：＝ 1，＝2，
又∵m 2≠0，
∴m≠2，
∴m＝ 1，
∴二次函数解析式为，
∵ 3＜0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x增大而减小．
故答案为： 1，＞0．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，关键是根据已知条件求出m的值，根据二次项系数不为0，舍去不合题意的m的值．
15．5
【分析】由f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，得a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，解得a=5．
【详解】解：∵f（x）=ax2+（a-5）x+1是偶函数，
∴对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），即a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1，
∴（10-2a）x=0，可知10-2a=0，
∴a=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查新定义：偶函数与奇函数，解题的关键是理解偶函数定义，列出a（-x）2+（a-5） （-x）+1=ax2+（a-5）x+1．
16．(3，0)
【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标．
【详解】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝＝1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x的轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点睛】本题考查二次函数对称性质,关键在于理解对称的性质.
17．（答案不唯一）
【分析】当x＜2时，y随x的增大而减小，对称轴可以是x=2，开口向上的二次函数．函数的图象不经过第三象限，经过第一象限，且x＜2时，y＞0，二次函数的顶点可以在x轴上方．顶点式：y=a（x-h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标．
【详解】解：∵当x＜2时，y随x的增大而减小．当x＜2时，y＞0．
∴可以写一个对称轴是x=2，开口向上的二次函数就可以．
∵函数的图象不经过第三象限．
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方，
设顶点是（2，0），并且二次项系数大于0的二次函数，就满足条件．
如y=（x-2）2，即答案不唯一．
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】解决本题的关键是能够根据图象的特点，得到函数应该满足的条件，转化为函数系数的特点．已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．
18．(1)；
(2)开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式即可；
（2）根据二次函数的图象结合顶点式解决问题．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵中，，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是．
【点睛】本题考查了配方法，二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
19．(1)
(2)不经过，说明见解析
(3)
【分析】（1）一般解析式化为顶点式，进行求解即可．
（2）由题意得出平移后的函数表达式，将点横坐标2代入，求纵坐标的值并与3比较，相等则抛物线过该点．
（3）先判断该函数图像开口向上，对称轴在所求自变量的范围内，可求得函数值的最小值，然后将代入解析式求解，取最大的函数值，进而得出取值范围．
【详解】（1）解：化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为：．
（2）解：由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点．
（3）解：∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为．
【点睛】本题考查了二次函数值顶点式，图像的平移，函数值的取值范围等知识．解题的关键在于正确的表示出函数解析式．
20．它们的形状相同，只是位置不同．将二次函数的图象向上平移1个单位长度，就得到函数的图象．
【分析】二次函数的图象与二次函数的图象a的值相同，函数的顶点是，函数的顶点是即可得到它们的关系．
【详解】它们的形状相同，只是位置不同．将二次函数的图象向上平移1个单位长度，就得到函数的图象．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，解题关键是熟练掌握相关知识．
21．（1）.（2）答案见解析.
【分析】（1）根据点的坐标先求出函数解析式，再求出A点和N点（2）根据抛物线的平移先设解析式，求出点的坐标，再求抛物线的解析式.
【详解】解：（1）直线与抛物线y=相交于A点和B点
已知点B（6,8），将点B带入直线解析式中得：
直线解析式为
点坐标（-2,0），点坐标（0,2）
（2）由（1）知，点坐标（0,2），点B（6,8）
带入抛物线解析式中得：
抛物线解析式为y=
当y等于0时得：
顶点M的坐标为（2,0）
设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,，且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB
经过MM’的直线解析式为
设新抛物线函数解析式为
经过MM’的直线解析式为
新抛物线的函数表达式为：或.
【点睛】此题重点考查学生对抛物线的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
22．（1）(－3，0)，(1，0) ；(2) a＝－ ；（3）4．
【分析】（1）由图象可求得A点的坐标，由解析式可求得抛物线的对称轴方程，利用图象的对称性可求得B点坐标；
（2）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值；
（3）由抛物线解析式可求得P点坐标，再结合A、B坐标可求得AB的值，则可求得△PAB的面积．
【详解】解：(1)由图象可知A点坐标为( 3，0)，
∵y=a(x+1)2+2，
∴抛物线对称轴方程为直线x= 1，
∵A、B两点关于对称轴对称，
∴B的坐标为(1，0)，
故答案为( 3，0)；(1，0)；
(2)将(1，0)代入y＝a(x＋1)2＋2，
可得0＝4a＋2，解得a＝－ ；
(3)∵y＝a(x＋1)2＋2，
∴抛物线的顶点坐标是(－1，2)，
∵A(－3，0)，B(1，0)，
∴AB＝1－(－3)＝4，
∴S△PAB＝×4×2＝4．
23．(1)抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；(2)抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.
【分析】（1）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标；
（2）已知抛物线解析式为顶点式，可根据顶点式求抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．
【详解】解：(1)由可知，二次项系数为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为；
(2)由可知，二次项系数为，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.
【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系，根据二次项系数的符号确定开口方向，根据顶点式确定顶点坐标及对称轴．
24．(1)，，，
(2)顶点坐标为，对称轴为直线
(3)当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
【分析】（1）先写出点、点、点的坐标，然后假设一般式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；
（3）根据二次函数的性质求解．
【详解】（1）解：由图可知：，，，
设抛物线解析式为，
根据题意得，解得，
所以抛物线解析式为；
（2），
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）当时，随的增大而增大；时，随的增大而减小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解，也考查了二次函数的性质．
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