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2.2二次函数的图像与性质
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知在二次函数y=-x2+(a-1)x+1,当x>1时,y随x的增大而减小,则a的取值范围是( )
A.a=-1 B.a=3 C.a≥-1 D.a≤3
2.已知二次函数y=﹣(x﹣k)2(k为常数),当自变量x的值满足1≤x≤6时,与其对应的函数值y的最大值为﹣1,则k的值为( )
A.0或5 B.5或7 C.0或7 D.2或5
3.函数y=ax+1与y=ax2+bx+1(a≠0)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
5.一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.若点(,y1),(,y2),(1,y3)都在二次函数y=x2﹣3的图象上,则有( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2
7.在同一坐标系中,二次函数与一次函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
8.已知抛物线具有如下性质:抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,点M的坐标为(3,6),P是抛物线上一动点,则△PMF周长的最小值是( )
A.5 B.9 C.11 D.13
9.如图,顶点坐标为的抛物线经过点,与轴的交点在,之间(含端点),则下列结论:①;②;③对于任意实数,总成立;④关于的方程有两个不相等的实数根.其中结论正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.二次函数y=x2和y=2x2,以下说法:①它们的图象都是开口向上;②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0);③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大;④它们开口的大小是一样的.其中正确的说法有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象和反比例函数y=的图象在同一坐标系中大致为( )
A. B. C. D.
12.二次函数,的图象如图所示,那么a1与a2的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.一般抛物线 (a≠0) 的顶点是最低(高) 点,当x=时,二次函数 有最小(大) 值y= .
14.已知关于x的二次函数的图象经过原点,则m= ,当x 时,y随x的增大而增大.
15.y与x之间的函数关系可记为y=f(x).例如:函数y=x2可记为f(x)=x2.若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(﹣x)=f(x),则f(x)是偶函数;若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(﹣x)=﹣f(x),则f(x)是奇函数.例如:f(x)=x2是偶函数,f(x)是奇函数.若f(x)=ax2+(a﹣5)x+1是偶函数,则实数a= .
16.已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,可知它的图象与x轴有两个交点,其中一个交点是(﹣1,0)那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是 .
17.老师给出一个函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质,甲:函数的图像不经过第三象限;乙:函数的图像不过第四象限;丙:当时,随的增大而减小;丁:当时,.已知这四位同学的描述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个二次函数: .
三、解答题
18.已知二次函数
(1)将二次函数的解析式化为的形式.
(2)写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
19.已知二次函数的图像为抛物线C.
(1)抛物线C顶点坐标为______;
(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线,请判断抛物线是否经过点,并说明理由;
(3)当时,求该二次函数的函数值y的取值范围.
20.二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系?
21.已知抛物线y=(b<0)的图像的顶点为M,与y轴交于点A,过点A的直线y=x+c与x轴交于点N,与抛物线另交于点B(6,8).
(1)求线段AN的长;
(3)平移该抛物线得到一条新抛物线.设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,,且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB,求新抛物线对应的函数表达式.
22.如图是二次函数y=a(x+1)2+2的图象的一部分,根据图象回答下列问题:
(1)抛物线与x轴的一个交点A的坐标是 ,则抛物线与x轴的另一个交点B的坐标是 ;
(2)确定a的值;
(3)设抛物线的顶点是P,试求△PAB的面积.
23.确定下列函数图像的开口方向、对称轴及顶点坐标.
(1);
(2).
24.如图,二次函数的图象经,,三点.
(1)观察图象,写出,,三点的坐标,并求出此二次函数的解析式;
(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3)为何值时,随的增大而增大?为何值时,随的增大而减小?
《2.2二次函数的图像与性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C D A C C C C C
题号 11 12
答案 D A
1.D
【分析】可先求得抛物线的对称轴,再由条件可求得关于a的不等式,可求得答案.
【详解】解:
∵y=-x2+(a-1)x+1,
∴对称轴为x=-,
∵-1<0,
∴抛物线开口向下,
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大,
∵当x>1时,y随x的增大而减小,
∴≤1,解得a≤3,
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,由函数的增减性得到关于a的不等式是解题的关键.
2.C
【分析】分k<1、1≤k≤6和k>6三种情况考虑:
当k<1时,根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出结论;
当1≤k≤6时,由此时函数的最大值为0与题意不符,可得出该情况不存在;
当k>6时,根据二次函数的性质可得出关于k的一元二次方程,解之即可得出结论.综上即可得出结论.
【详解】解:当k<1时,有-(1-k)2=-1,
解得:k1=0,k2=2(舍去);
当1≤k≤6时,y=-(x-k)2的最大值为0,不符合题意;
当k>6时,有-(6-k)2=-1,
解得:k3=5(舍去),k4=7.
综上所述:k的值为0或7.
故选:C.
【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质,分k<1、1≤k≤6和k>6三种情况求出k值是解题的关键.
3.C
【分析】假设其中一个图象正确,然后根据图象得到系数的取值范围,然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置,看是否和图象相符即可求解.
【详解】解:A、根据一次函数图象知道a<0,与y轴的交点不是(0,1),故选项错误;
B、根据二次函数的图象知道a<0,同时与y轴的交点是(0,1),但是根据一次函数的图象知道a>0,故选项错误;
C、根据图象知道两个函数图象与y轴的交点坐标为(0,1),同时也知道a>0,故选项正确;
D、根据一次函数图象知道a<0,根据二次函数的图象知道a>0,故选项错误.
故选:C.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系,首先根据一次函数的图象得到系数的取值范围,然后利用系数的取值范围确定函数图象的大致位置即可求解.
4.D
【分析】根据二次函数的平移规律求解即可.
【详解】解:A、两个抛物线的a不同,不能通过平移得到;
B、两个抛物线的a不同,不能通过平移得到;
C、两个抛物线的a不同,不能通过平移得到;
D、两个抛物线的a相同,可以通过平移得到;
故选:D.
【点睛】此题考查了二次函数的平移,解题的关键是熟练掌握二次函数的平移规律.
5.A
【分析】本题考查二次函数和一次函数的图像与性质,解决问题的关键是数形结合.根据图象判断出两个函数的系数的符号,即可求解.
【详解】解:A、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项正确;
B、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误;
C、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误;
D、由二次函数知、,由一次函数知、,故该选项错误;
故选:A.
6.C
【分析】根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴(直线x=0),图象的开口向上,根据二次函数的性质得出点(1,y3)关于对称轴的对称点的坐标是(﹣1,y3),在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,再比较即可.
【详解】∵二次函数y=x2﹣3的图象的对称轴是y轴(直线x=0),
∴点(1,y3)关于对称轴的对称点的坐标是(﹣1,y3),图象的开口向上,
∴在对称轴的左侧,y随x的增大而减小,
∵,
∴y3>y1>y2,
故选:C.
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.
7.C
【分析】直线与抛物线联立解方程组,若有解,则图象有交点,若无解,则图象无交点;
根据二次函数的对称轴在y左侧,a,b同号,对称轴在y轴右侧a,b异号,以及当a大于0时开口向上,当a小于0时开口向下,来分析二次函数;同时在假定二次函数图象正确的前提下,根据一次函数的一次项系数为正,图象从左向右逐渐上升,一次项系数为负,图象从左向右逐渐下降;一次函数的常数项为正,交y轴于正半轴,常数项为负,交y轴于负半轴.如此分析下来,二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案.
【详解】解:由方程组得ax2= a,
∵a≠0
∴x2= 1,该方程无实数根,
故二次函数与一次函数图象无交点,排除B.
A:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;但是一次函数b为一次项系数,图象显示从左向右上升,b>0,两者矛盾,故A错;
C:二次函数开口向上,说明a>0,对称轴在y轴右侧,则b<0;b为一次函数的一次项系数,图象显示从左向右下降,b<0,两者相符,故C正确;
D:二次函数的图象应过原点,此选项不符,故D错.
故选C.
【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题,必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系,a,b的符号与对称轴的位置关系,并结合一次函数的相关性质进行分析,本题中等难度偏上.
8.C
【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E,由抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,得到PE=PF,则△PMF的周长=FM+PM+PF,则要使△PMF周长最小,则PM+PF最小,即PM+PE最小,故当P、M、E三点共线时,PM+PE的值最小,最小为ME,由此求解即可.
【详解】解:如图所示过点P作PE⊥x轴于点E,
∵抛物线上任意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等,
∴PE=PF,
∴△PMF的周长=FM+PM+PF,
∴要使△PMF周长最小,则PM+PF最小,即PM+PE最小,
∴当P、M、E三点共线时,PM+PE的值最小,最小为ME,
∵M坐标为(3,6),
∴ME=6,
∴PF+PM=6
∵F(0,2),
∴
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11,
故选C.
【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题,两点距离公式,解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF.
9.C
【分析】利用抛物线开口方向得到a<0,再由抛物线的对称轴方程得到b=﹣2a,则3a+b=a,于是可对①进行判断;利用2≤c≤3和c=﹣3a可对②进行判断;利用二次函数的性质可对③进行判断;根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点可对④进行判断.
【详解】解:∵抛物线开口向下,
∴a<0,
而抛物线的对称轴为直线x=﹣=1,即b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,所以①错误;
∵2≤c≤3,
而c=﹣3a,
∴2≤﹣3a≤3,
∴﹣1≤a≤﹣,所以②正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴x=1时,二次函数值有最大值n,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
即a+b≥am2+bm,所以③正确;
∵抛物线的顶点坐标(1,n),
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n﹣1有两个交点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根,所以④正确.
故选:C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时,对称轴在y轴左;当a与b异号时,对称轴在y轴右.常数项c决定抛物线与y轴交点:抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定:b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
10.C
【详解】关于二次函数y=x2和y=2x2,
①它们的图象都是开口向上,正确;②它们的对称轴都是y轴,顶点坐标都是原点(0,0),正确;③当x>0时,它们的函数值y都是随着x的增大而增大,正确;④它们开口的大小是一样的,错误,开口大小与|a|的绝对值有关,|a|的绝对值越大,开口越小,所以正确的有3个,
故选C.
【点睛】本题主要考查二次函数的性质,熟记二次函数的性质是解题的关键.
11.D
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负,再利用x=1代入解析式,得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限,即可得出正确选项.
【详解】解:由图像可知:图像开口向下,对称轴位于y轴左侧,与y轴正半轴交于一点,
可得:
又由于当x=1时,
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限,反比例函数的图像位于二、四象限;
故选:D.
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质,解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像,能根据图像确定解析式中各系数的正负,再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限,本题蕴含了数形结合的思想方法等.
12.A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案.
【详解】解:∵都是开口向上,
∴都是大于0的数,
根据二次函数的图象开口越大,a越小,
∴,
故选择:A.
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象,正确记忆开口大小与a的关系是解题关键.
13.
【解析】略
14. 1 >0
【分析】由二次函数图象经过原点可知=0,解方程求出m的值,再根据二次项系数不为0可得m= 1,二次函数解析式为,再根据解析式确定增减性.
【详解】解:∵二次函数的图象经过原点,
∴=0,
解得:= 1,=2,
又∵m 2≠0,
∴m≠2,
∴m= 1,
∴二次函数解析式为,
∵ 3<0,
∴抛物线开口向下,
又∵抛物线对称轴为y轴,
∴当x>0时,y随x增大而减小.
故答案为: 1,>0.
【点睛】本题考查了解一元二次方程,二次函数的图象和性质,关键是根据已知条件求出m的值,根据二次项系数不为0,舍去不合题意的m的值.
15.5
【分析】由f(x)=ax2+(a-5)x+1是偶函数,得a(-x)2+(a-5) (-x)+1=ax2+(a-5)x+1,解得a=5.
【详解】解:∵f(x)=ax2+(a-5)x+1是偶函数,
∴对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),即a(-x)2+(a-5) (-x)+1=ax2+(a-5)x+1,
∴(10-2a)x=0,可知10-2a=0,
∴a=5,
故答案为:5.
【点睛】本题考查新定义:偶函数与奇函数,解题的关键是理解偶函数定义,列出a(-x)2+(a-5) (-x)+1=ax2+(a-5)x+1.
16.(3,0)
【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴,然后根据二次函数具有对称性,可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标.
【详解】解:由表格可知,
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x==1,
∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为(﹣1,0),
∴它与x的轴的另一个交点为(3,0),
故答案为:(3,0).
【点睛】本题考查二次函数对称性质,关键在于理解对称的性质.
17.(答案不唯一)
【分析】当x<2时,y随x的增大而减小,对称轴可以是x=2,开口向上的二次函数.函数的图象不经过第三象限,经过第一象限,且x<2时,y>0,二次函数的顶点可以在x轴上方.顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,a≠0),其中(h,k)为顶点坐标.
【详解】解:∵当x<2时,y随x的增大而减小.当x<2时,y>0.
∴可以写一个对称轴是x=2,开口向上的二次函数就可以.
∵函数的图象不经过第三象限.
∴所写的二次函数的顶点可以在x轴上方,
设顶点是(2,0),并且二次项系数大于0的二次函数,就满足条件.
如y=(x-2)2,即答案不唯一.
故答案为:(答案不唯一)
【点睛】解决本题的关键是能够根据图象的特点,得到函数应该满足的条件,转化为函数系数的特点.已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解.
18.(1);
(2)开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是.
【分析】(1)利用配方法把一般式化为顶点式即可;
(2)根据二次函数的图象结合顶点式解决问题.
【详解】(1)解:;
(2)解:∵中,,
∴二次函数的图象开口向上,对称轴是直线,顶点坐标是.
【点睛】本题考查了配方法,二次函数的顶点式,熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键.
19.(1)
(2)不经过,说明见解析
(3)
【分析】(1)一般解析式化为顶点式,进行求解即可.
(2)由题意得出平移后的函数表达式,将点横坐标2代入,求纵坐标的值并与3比较,相等则抛物线过该点.
(3)先判断该函数图像开口向上,对称轴在所求自变量的范围内,可求得函数值的最小值,然后将代入解析式求解,取最大的函数值,进而得出取值范围.
【详解】(1)解:化成顶点式为
∴顶点坐标为
故答案为:.
(2)解:由题意知抛物线的解析式为
将代入解析式解得
∴不经过点.
(3)解:∵对称轴直线在中
∴最小的函数值
将代入解析式得
将代入解析式得
∵
∴函数值的取值范围为.
【点睛】本题考查了二次函数值顶点式,图像的平移,函数值的取值范围等知识.解题的关键在于正确的表示出函数解析式.
20.它们的形状相同,只是位置不同.将二次函数的图象向上平移1个单位长度,就得到函数的图象.
【分析】二次函数的图象与二次函数的图象a的值相同,函数的顶点是,函数的顶点是即可得到它们的关系.
【详解】它们的形状相同,只是位置不同.将二次函数的图象向上平移1个单位长度,就得到函数的图象.
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换,二次函数的性质,解题关键是熟练掌握相关知识.
21.(1).(2)答案见解析.
【分析】(1)根据点的坐标先求出函数解析式,再求出A点和N点(2)根据抛物线的平移先设解析式,求出点的坐标,再求抛物线的解析式.
【详解】解:(1)直线与抛物线y=相交于A点和B点
已知点B(6,8),将点B带入直线解析式中得:
直线解析式为
点坐标(-2,0),点坐标(0,2)
(2)由(1)知,点坐标(0,2),点B(6,8)
带入抛物线解析式中得:
抛物线解析式为y=
当y等于0时得:
顶点M的坐标为(2,0)
设新抛物线的顶点为M’.若新抛物线经过点N,,且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线MM’平行于直线AB
经过MM’的直线解析式为
设新抛物线函数解析式为
经过MM’的直线解析式为
新抛物线的函数表达式为:或.
【点睛】此题重点考查学生对抛物线的综合应用,熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.
22.(1)(-3,0),(1,0) ;(2) a=- ;(3)4.
【分析】(1)由图象可求得A点的坐标,由解析式可求得抛物线的对称轴方程,利用图象的对称性可求得B点坐标;
(2)把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值;
(3)由抛物线解析式可求得P点坐标,再结合A、B坐标可求得AB的值,则可求得△PAB的面积.
【详解】解:(1)由图象可知A点坐标为( 3,0),
∵y=a(x+1)2+2,
∴抛物线对称轴方程为直线x= 1,
∵A、B两点关于对称轴对称,
∴B的坐标为(1,0),
故答案为( 3,0);(1,0);
(2)将(1,0)代入y=a(x+1)2+2,
可得0=4a+2,解得a=- ;
(3)∵y=a(x+1)2+2,
∴抛物线的顶点坐标是(-1,2),
∵A(-3,0),B(1,0),
∴AB=1-(-3)=4,
∴S△PAB=×4×2=4.
23.(1)抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;(2)抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.
【分析】(1)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标;
(2)已知抛物线解析式为顶点式,可根据顶点式求抛物线的开口方向,对称轴及顶点坐标.
【详解】解:(1)由可知,二次项系数为,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线,顶点坐标为;
(2)由可知,二次项系数为,
∴抛物线开口向下,对称轴为直线,顶点坐标为.
【点睛】本题考查了二次函数解析式的顶点式与其性质的联系,根据二次项系数的符号确定开口方向,根据顶点式确定顶点坐标及对称轴.
24.(1),,,
(2)顶点坐标为,对称轴为直线
(3)当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小
【分析】(1)先写出点、点、点的坐标,然后假设一般式,利用待定系数法求抛物线解析式;
(2)把(1)中的解析式配成顶点式,然后根据二次函数的性质求解;
(3)根据二次函数的性质求解.
【详解】(1)解:由图可知:,,,
设抛物线解析式为,
根据题意得,解得,
所以抛物线解析式为;
(2),
所以抛物线的顶点坐标为,对称轴为直线;
(3)当时,随的增大而增大;时,随的增大而减小.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解,也考查了二次函数的性质.
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