2.5二次函数与一元二次方程同步强化练习（含解析）

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2.5二次函数与一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的图象与坐标轴交点的个数是（ ）
A．没有交点 B．只有一个交点
C．有且只有两个交点 D．有且只有三个交点
2．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A(m，n），B(m﹣8，n)，则n的值为（　　）
A．8 B．12 C．15 D．16
3．已知抛物线与轴两交点在轴同侧，它们的距离的平方等于，则的值为（ ）
A．－2 B．12 C．24 D．－2或24
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2a﹣c＞0；④不等式ax2+bx+c＞﹣x+c的解集为0＜x＜x1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
5．抛物线（m是常数）与坐标轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2或3 D．3
6．抛物线与x轴的交点坐标为（　　　）
A． B． C． D．
7．关于二次函数的性质，下列描述错误的是（ ）
A．开口向下 B．与轴交于轴下方
C．与轴有两个交点 D．时随的增大而减小
8．已知二次函数，若，是关于的方程的两个根，则实数，，，的大小关系可能是（ ）
A．＜＜＜ B．＜＜＜
C．＜＜＜ D．＜＜＜
9．抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点情况是（　　）
A．有两个交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法判断
10．设二次函数（，m，k是实数），则（ ）
A．当时，函数y的最小值为
B．当时，函数y的最小值为
C．当时，函数y的最小值为
D．当时，函数y的最小值为
11．抛物线与y轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．b2－4ac＞0
C．的两根之和为负 D．的两根之积为正
二、填空题
13．如图，抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，轴，与抛物线交于点C，轴，与射线OA交于点D，OC＝OD，则m＝ ．
14．若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则 ．
15．已知关于x的二次函数y＝ax2+(a2﹣1)x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为(m，0)．若﹣4＜m＜﹣3，则a的取值范围是 ．
16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 …
y … 0 ﹣2 ﹣5 ﹣6 ﹣5 …
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣2的根是 ．
17．如图，已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．若，则m的值是 ．
三、解答题
18．利用二次函数与一次函数的图象，求一元二次方程的近似根．
19．已知y关于x的函数：y＝(k－2)x2－2(k－1)x＋k＋1中满足k≤3.
求证：此函数图象与x轴总有交点．
20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点

（1）求A点和点B的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当MD+MC的值最小时，求点M的坐标．
21．定义：表示不超过实数x的最大整数，如：．函数、的图象如图所示．
(1)探究填空：点是否在函数的图象上__________；
是否在函数的图象上__________；（填“在”或“不在”）
(2)判断：是否是方程的解，并说明原因；
(3)观察函数、的图象，请你求出方程的所有的解．
(4)拓展：对于方程：，请你结合方程、函数及图象的知识继续探究：
①当c为何值时，方程只有一个解，并求出方程的解；
②若方程有两个解，请直接写出c的取值范围__________．
22．已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
(1)求b的值；
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．
①若，且，，求h的值；
②若，求h的最大值．
23．已知二次函数y＝x2－4x＋3.
(1)用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
(2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．
24．在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，其中，设抛物线的对称轴为．

(1)当时，如果，直接写出，的值；
(2)当，时，总有，求t的取值范围．
《2.5二次函数与医院二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C C C B A A A
题号 11 12
答案 D D
1．B
【详解】试题分析：令，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根，即可判断图象与x轴的交点个数，再令，即可判断图象与y轴的交点情况，从而得到结果．
令，得，
，
∴方程无解，即抛物线的图象与x轴没有交点，
令，则，即抛物线的图象与y轴的交点坐标为（0，-1），
综上，抛物线的图象与坐标轴交点的个数是一个，
故选B.
考点：本题考查的是抛物线与x轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x轴有两个交点时，b2-4ac＞0，与x轴有一个交点时，b2-4ac=0，与x轴没有交点时，b2-4ac＜0．
2．D
【分析】由题意b2﹣4c＝0，得b2＝4c，又抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），可知A、B关于直线x＝对称，所以A（+4，n），B（﹣4，n），把点A坐标代入y＝x2+bx+c，化简整理即可解决问题．
【详解】解：由题意b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），
∴A、B关于直线x＝对称，
∴A（+4，n），B（﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，
n＝（+4）2+b（+4）+c＝b2+16+c，
∵b2＝4c，
∴n＝16．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质,关键在于熟悉性质,灵活运用.
3．C
【分析】根据根与系数之间的关系，列关系式求解．
【详解】两个交点的距离就等于两点横坐标之差，
即（x1-x2）2=，根据系数与根的关系x1+x2＝ ＝ ①，x1x2=＝ ②，
∵（x1-x2）2=x12+x22-2x1x2③，
将①式平方=x12+x22+2x1x2，
∴x12+x22=④，
将②④式代入③式得m=24或-2（不合题意舍去）．
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质以及根与系数之间的关系，关键是掌握：.
4．C
【分析】根据函数图象可得出a，b，c的符号即可判断①，当x＝1时，y＜0即可判断②；根据对称轴为，a＞0可判断③；y1＝ax2+bx+c，数形结合即可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于两点（x1，0）、（2，0），其中0＜x1＜1，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
，
，
∴2a﹣c＞0，
∴③正确；
如图：

设y1＝ax2+bx+c，，
由图值，y1＞y2时，x＜0或x＞x1，
故④错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．
5．C
【分析】先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，再讨论是否有重合的点，可得结果．
【详解】解：令，
则，
∴抛物线与x轴有2个公共点，
∵x=0时，y=，
若m=±1，则抛物线与y轴交于原点，
此时抛物线与坐标轴有2个交点，
若m≠±1，则抛物线与y轴交于（0，），
此时抛物线与坐标轴有3个交点，
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点，同时也考查了抛物线与y轴的交点．
6．C
【分析】通过解方程即可得到抛物线的与x轴交点的坐标．
【详解】解：当y=0时，，
解得x1=-1，x2=3，
所以抛物线的与x轴交点的坐标是（-1，0），（3，0）．
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
7．B
【分析】根据二次函数的开口方向、与y轴交点位置、与x轴交点个数、y随x的变化情况逐项进行分析即可得到答案．
【详解】解：A．∵二次函数，，
∴开口向下，故选项正确，不符合题意；
B．当时，，即二次函数与y轴交点为，与轴交于轴上方，故选项错误，符合题意；
C．当时，，即，
∵，
∴二次函数与轴有两个交点，故选项正确，不符合题意；
D．∵，
∴开口向下，对称轴为直线，
∴当时随的增大而减小
故选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数解析式进行正确的判断是解题的关键．
8．A
【分析】根据二次函数图象性质和一元二次方程的知识结合已知条件，可以得到结论：、一定是一个最大、一个最小，而、一定介于、之间，从而解答本题．
【详解】解：∵二次函数的解析式是
∴
∴该二次函数的抛物线开口向上
∵、是关于的方程的两个根
∴当或时，
∵当或时，
∴、一定是一个最大、一个最小，而、一定介于、之间．
故选：A
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点情况和一元二次方程根的关系、二次函数图象性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的图象性质解答．
9．A
【分析】根据题目中的函数解析式，可以求得该抛物线与x轴的交点坐标，从而可以解答本题．
【详解】∵y＝x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），
∴当y＝0时，x＝2或x＝3，
即抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），
故抛物线y＝x2﹣5x+6与x轴有两个交点，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题要明白函数y＝x2﹣5x+6与x轴的交点的坐标为y=0时方程x2﹣5x+6＝0的两个根．
10．A
【详解】解法一（特殊值法）：令，则二次函数解析式为，∵，∴y有最小值，最小值为，当时，最小值为；当时，最小值为．
解法二：令，则，∵，∴，，．∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是，，∴二次函数的图象的对称轴是直线，∵，当时，y有最小值，即，当时，函数y的最小值为；当时，函数y的最小值为．
11．D
【分析】依据题意，将代入解析式即可得解．
【详解】解：由题意，将代入函数解析式，得，
抛物线与y轴的交点坐标是，
故选：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点，解题时要熟练掌握并理解坐标特点是关键．
12．D
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故A正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，故B正确．
由图象可知，一根为正，一根为负，且负根的绝对值大于正根的绝对值，∴两根之和为负，两根之积为负，故C正确，D错误．
故选D．
13．
【分析】把x＝0代入得，即点B坐标为（0，m），把抛物线化为顶点式可得抛物线对称轴为直线x＝1，顶点A坐标为（1，m﹣1），即点C坐标为（2，m），根据轴，OC＝OD得点D坐标为（2，-m），根据点A横坐标为1，点D横坐标为2得点A为OD中点，即，进行计算即可得．
【详解】解：把x＝0代入得，
∴点B坐标为（0，m），
∵，
∴抛物线对称轴为直线x＝1，顶点A坐标为（1，m﹣1），
∴点C坐标为（2，m），
∵轴，OC＝OD，
∴点D坐标为（2，-m），
∵点A横坐标为1，点D横坐标为2，
∴点A为OD中点，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意掌握二次函数的图像与性质．
14．
【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴ ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当 时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当 时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当 时，二次函数的图象与x轴没有交点．
15．或
【详解】分析：首先将函数转化为交点式，从而得出函数与x轴的交点坐标，最后根据m的取值范围求出a的取值范围．
详解：∵，
∴函数与x轴的交点坐标为(－a，0)或(，0)， ∴或，
解得：或．
点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等难度题型．将二次函数转化为交点式是解题的关键．
16．x1＝0，x2＝﹣4
【分析】从表格看，函数的对称轴为x＝ 2，根据函数的对称性，当x＝0时和x＝ 2时，y均为 2，即可求解．
【详解】解：从表格看，函数二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为x＝ 2，
根据函数的对称性，当x＝0时和x＝ 2时，y均为 2．
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 2的根x＝0或 4．　
故答案为：x1＝0，x2＝ 4．
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，确定函数的对称轴是解题的关键．
17．4
【分析】根据抛物线的解析式和抛物线的对称性质，得点A、B关于y轴对称，设B(p,0)(x>)，则A（-p,0），所以OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，p,-p为方程-x2+m=0的两根，根据地一元二次方程根与系数关系，得p2=m，又因为OC=AB，所以C(0,2P)，代入解析式得2p=m，则可求出m值．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数图象的对称轴为y轴，
又∵函数图像与x轴交于A、B两点，
∴点A、B关于y轴对称，
设B(p,0)(P>0)，则A（-p，0），
∴OA=OB=p，AB=p-（-p）=2p，x=p，x=-p为方程-x2+m=0的解，
∴-p2=-m，即p2=m，
∴OC=AB=2p，
∴C(0,2P)，
代入函数解析式，得2p=m，
∴p=,
∴，
∵m>0，
∴m=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查抛物线的性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，熟练掌握二次函数的性质，一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
18．．
【分析】在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，它们交点的横坐标的值即为一元二次方程的解．
【详解】解：在同一平面直角坐标系中分别作出函数与的图象，如图所示：
由图形可知，二次函数与一次函数的交点坐标是（ 0.8，1.2），（1.3，3.3），
所以一元二次方程的近似根为．
【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，准确作出函数图象是解题的关键．
19．见解析
【详解】试题分析：本题可将函数分成一次函数和二次函数两种情况讨论：当k=2时，函数为一次函数，与x轴一定有交点；当k≠2时，函数为二次函数，让y=0，根据根与系数的关系以及k的取值范围我们可判断出此时的方程是否有解，如果有解，则必与x轴有交点．
试题解析：分两种情况：
（1）当k=2时，函数为y= -2x+3，图象与x轴有交点．
（2）当k≠2时，△=4（k-1）2-4（k-2）（k+1）= -4k+12；
因为k≤3，所以-4k+12≥0，所以△≥0，此时抛物线与x轴有交点．
因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k-2）x2-2（k-1）x+k+1的图象与x轴总有交点．
20．（1）；（2）△ABC是直角三角形，详见解析；（3）．
【分析】（1）令y=0时进行求解即可；
（2）根据（1）及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，然后求解直线的解析式即可．
【详解】解：（1）当y=0时，，
，
；
（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
，
AB=5，
，
，
，
，
，
△ABC是直角三角形；
（3）作点C关于x轴的对称点，然后连接，与x轴交于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，则点M即为MD+MC的最小值时与x轴的交点，如图所示：

，
，
顶点的坐标为，
设直线的解析式为，则有：
，
，
，
当y=0时，，则，
．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键，注意运用两点距离公式及利用轴对称的性质求解最短路径的问题．
21．(1)在，在
(2)是，见解析
(3)或或
(4)①；②且
【分析】（1）把x=1代入，求出y值与1比较即可判定；
（2）把x=-2代入方程左右两边，求出值比较即可判定；
（3）利用图象法求解即可
（4）①当时，利用图象法求解，
②当1【详解】（1）解：把x=1代入，得y=[1]=1，
把x=1代入y=-x2+2=-12+2=1,
所以点A(1,1)在函数的图象上，在函数的图象上，
故答案为：在，在；
（2）解：把x=-2代入方程，左边=[-2]=-2，右边=-(-2)2+2=-4-2=-2，
∴左边=右边，
∴x=-2是方程的解；
（3）解：由图象可得，当x>0时，方程的解为x=1，
当-2≤x<0时，方程的解为x=-2，
当-2-3=-x2+2，解得x=,
∴方程的解为x=-
当x<-3时，方程无解，
综上，方程的所有解为；x=1或x=-2或x=-；
（4）解：①由图象可知：当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
∴方程只有一个解
则，解得或（舍）
∴方程的解为；
②由图象可知：当1当时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有一个交点，
当0当c=0时，函数y=[x]与函数y=-x2+c有三个交点，
当-1当c<-1时，函数y=[x]与函数y=-x2+c没有交点，
∴方程有两个解，c的取值范围为－1【点睛】本题考查新定义，二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握利用图象法求解一元二次方程的解是解题的关键．
22．(1)；
(2)①；②最大值．
【详解】题干话外音
题干：抛物线的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
提取信息：．
题干：点在抛物线上，点在抛物线上．
提取信息：，．
题干：．提取信息：要求h的值只需求出t的值即可．
题干：．提取信息：可消去式子中的参数，使式子中只含t．
解：（1）∵抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1，
∴，∴；
（2）∵点在抛物线上，∴，
∵在抛物线上，
∴，，
∴．
①∵，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴；
②将代入，
∴，
∵，∴当，即时，h取最大值
23．（1）顶点C的坐标是（2，-1），当x＜2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；（2）A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0)；1.
【分析】（1）配方后求出顶点坐标即可；
（2）求出A、B的坐标，根据坐标求出AB、CD，根据三角形面积公式求出即可．
【详解】(1)y＝x2－4x＋3，
y＝x2－4x＋4－4＋3，
y＝(x－2)2－1，
所以顶点C的坐标是(2，－1)，
因为抛物线开口向上，所以当x≤2时，y随x的增大而减小；
当x＞2时，y随x的增大而增大；
(2)解方程x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1，
即A点的坐标是(1，0)，B点的坐标是(3，0)．
如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵AB＝2，CD＝1，
∴S△ABC＝AB×CD＝×2×1＝1.
24．(1)，；
(2)
【分析】（1）根据题意，当时，，由抛物线的对称轴为，得到关于对称轴对称的点的坐标为，即可写出答案；
（2）首先由，得到图象开口向下，满足，，可得到，求出点关于对称轴对称的点为，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
∵抛物线的对称轴为，
∴关于对称轴对称的点的坐标为，
∵，且，
∴，；
（2）解：根据题意可知，当时，，
∵,
∴图象开口向下，满足，，
∴当时，y随着x的增大而增大，
∴设抛物线对称轴为,
∴
∴点关于对称轴对称的点为，
∵，图象开口向下，,，
∴解得，
∴．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
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