3.2圆的对称性同步强化练习（含解析）

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3.2圆的对称性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，弧BE是半径为6的圆D的圆周，C点是上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（　　）
A．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18＋6 D．12＜P≤12＋6
2．如图，已知在中，是直径，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．到、的距离相等
3．已知锐角，如图，
（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点；
（3）连接．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的个数为的（ ）
①；②若．则；③；④；⑤；
A．1个 B．2个 C．3 D．4个
4．下列命题中的假命题是（ ）
A．三点确定一个圆 B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D．同圆中，相等的弧所对的弦相等
5．若和的度数相等，则下列命题中正确的是（ ）
A．=
B．和的长度相等
C．所对的弦和所对的弦相等
D．所对的圆心角与所对的圆心角相等
6．如图，是的直径，分别是的中点，在上．下列结论：①；②；③四边形是正方形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法中，不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
8．如图A、、是上的三点，是劣弧的中点，，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
9．在同圆中，圆心角，则两条弧与关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
10．在⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是( )
A．AB＞2AM B．AB＝2AM
C．AB＜2AM D．AB与2AM的大小不能确定
11．如图，AB是⊙O的直径，弦MN∥AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝AB；④若M为的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
12．在半径为1的⊙O中，若弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角的度数为（　　）
A．90° B．60° C．30° D．15°
二、填空题
13．一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ．
14．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，则AC BD（填“＞”“＜”或“=”）
15．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
16．弦AB把⊙O分成两条弧，它们的度数的比是4：5，则这两条弧的度数分别为 ．
17．如图，⊙O1的半径是⊙O2的直径，⊙O1的半径O1C交⊙O2于B，若的度数是48°，那么的度数是 ．
三、解答题
18．在锐角中，，为边上的高，为中点．
（1）如图1，过点作于点，连接．若，求的度数；
（2）若为线段上的动点（点与点不重合），过点作于点，射线，交于点．
①依题意将图2补全；
②探究与的数量关系，并证明．
19．如图，在中，，求证：
(1)；
(2)．
20．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数．
21．已知：如图，在⊙O中，弦AB和CD相交，连接AC、BD，且AC＝BD．求证：AB＝CD．
22．如图，在梯形ABCD中，CDAB，AB＝10，以AB为直径的⊙O经过点C、D，且点C、D三等分弧AB．
（1）求CD的长；
（2）已知点E是劣弧DC的中点，联结OE交边CD于点F，求EF的长．
23．如图，在中，D、E分别为半径上的点，且．C为弧上一点，连接，且．求证：C为 的中点．
24．已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，且，求证：AC=BD．

《3.2圆的对称性》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A D C C C A C
题号 11 12
答案 B B
1．C
【详解】∵△ABD是等边三角形，
∴AB+AD+CD=18，得P＞18，
∵BC的最大值为当点C与E重合的时刻，BE==6，
∴P的取值范围是18＜P≤18+6．
故选C．
2．A
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
【详解】在中，弦弦，则其所对圆心角相等，即，所对优弧和劣弧分别相等，所以有，故B项和C项结论正确，
∵，AO=DO=BO=CO
∴（SSS）
可得出点到弦，的距离相等，故D项结论正确；
而由题意不能推出，故A项结论错误．
故选：A
【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的关键是熟知圆心角、弧、弦之间的关系．
3．C
【分析】由作图知，OM=OC=OD，再利用对称的性质逐一判断可得．
【详解】由作图知CM=CD=DN，
∴∠COM=∠COD，故①正确；
∵OM=ON=MN，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠MON=60°，
∵CM=CD=DN，
∴∠MOA=∠AOB=∠BON=∠MON=20°，故②正确；
∵所对的圆心角是，所对的圆周角是
∴，故③不正确；
∵∠MOA=∠AOB=∠BON，
∴∠OCD=∠OCM=
∴∠MCD=180°-∠COD，
又∠CMN=∠AON=∠COD，
∴∠MCD+∠CMN=180°，
∴MN∥CD，故④正确；
∵MC+CD+DN＞MN，且CM=CD=DN，
∴3CD＞MN，故⑤错误；
①②④正确
故选C
【点睛】本题考查作图-复杂作图，弧、圆心角和弦之间的关系，平行线的判定，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．A
【分析】根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B、三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C、同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D、同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．
故选A．
【点睛】本题主要考查了确定圆的条件，一定要注意是不在同一直线上的三点确定一个圆，还考查了圆心角、弧、弦的关系，需要熟练掌握．
5．D
【分析】画出两个同心圆，弧AB和弧CD的度数相等，再逐个判断即可．
【详解】如图，与的度数相等，
A、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误；
B、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误；
C、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误；
D、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间关系的应用，主要考查学生对定理的理解能力和判断能力．
6．C
【分析】根据题意连结OM、ON，易得，利用含30度的直角三角形三边关系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以，则可对①进行判断；再计算出∠MOC=∠NOD=60°，则∠MON=60°，于是根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形MCDN为平行四边形，加上∠MCO=90°，则可判断四边形MCDN为矩形，由于则，于是可对③进行判断；由四边形MCDN为矩形得到MN=CD，则，则可对④进行判断．
【详解】解：如图，连接．
分别是的中点，
．
，
，故①正确．
，故②正确．
，
∴四边形为平行四边形．
，
∴四边形为矩形．
，
∴四边形不是正方形，故③错误．
∵四边形为矩形，
,
，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
7．C
【分析】根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可．
【详解】A、圆是轴对称图形，正确；
B、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确；
C、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误；
D、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确，
故选：C．
【点睛】本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段．
8．C
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，再由圆心角、弧、弦的关系求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
∵点B是劣弧的中点，
，
，
，
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对应的弧相等．在同圆中，圆心角，则．
【详解】解：∵在同圆中，圆心角，
∴．
故选A．
10．C
【分析】根据题意可画出示意图，连接AM、BM，根据三角形两边之和大于第三边可得出结论.
【详解】根据题意可画出示意图，连接AM、BM.
∵点M是的中点，
∴=，
∴AM=BM.
∵在△ABM中，AB＜AM+BM，
∴AB＜2AM.
故选C.
【点睛】本题考查圆中弧与弦的关系以及三角形三边关系，作出示意图分析是解决此问题的好办法.
11．B
【分析】连接OM，ON，BN，先证明四边形CMND是矩形，得到CM=DN，然后证明Rt△OCM≌Rt△ODN得到OC=OD，∠COM=∠DON，即可判断①②；当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，则CM=2OC，，，即可判断③；若M是的中点，可得∠AOM=∠MON=∠BON=60°，则△ONB是等边三角形，即可判断④．
【详解】解：如图所示，连接OM，ON，BN，
∵MC⊥AB，ND⊥AB，
∴∠OCM=∠ODN=90°，
∵MN∥AB，
∴∠CMN+∠MCD=180°，
∴∠CMN=90°，
∴四边形CMND是矩形，
∴CM=DN，
又∵OM=ON，
∴Rt△OCM≌Rt△ODN（HL），
∴OC=OD，∠COM=∠DON，
∴OA-OC=OB-OD即AC=BD， ，故①②正确；
当四边形MCDN是正方形时，MC=CD，
∵OC=OD，
∴CM=2OC，
∴，
∴，故③错误；
若M是的中点，
∴∠AOM=∠MON=∠BON=60°，
∵ON=OB，
∴△ONB是等边三角形，
∵ND⊥OB，
∴OD=BD，故④正确，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，等弧所对的圆心角相等，正方形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
12．B
【分析】由题意可得为等边三角形，从而可求得弦所对的圆心角的度数．
【详解】解：在半径为1的中，弦的长为1，如下图：
，
为等边三角形，
弦所对的圆心角的度数为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关性质及定理．
13．一半
【解析】略
14．=
【分析】根据弧AB=弧CD，即有弧AB+弧BC=弧BC+弧CD，即弧AC=弧BD，因此AC与BD相等．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴AC=BD，
故答案为：=．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．在圆中经常利用此结论把圆心角、弧、弦之间进行转化．
15．8cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，
∴，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．
故答案为：8πcm．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
16．160°，200°
【分析】根据“同圆或等圆中，弧的度数等于弧所对的圆心角的度数”， 再结合弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，而整个圆周的度数为360°，即可解答.
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为4:5的两条弧，整个圆周的度数为360°，
∴劣弧的度数为360°×=160°，优弧的度数为360°-160°=200°.
即这两条弧的度数分别为160,200.
故答案为160°，200°.
【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握弧的度数的定义.
17．24°
【分析】连接，得到等腰，结合已知条件求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接
的度数是48°，
的度数是
故答案是：
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，掌握以上知识点是解题的关键．
18．（1）∠AFE =40°．（2）①图形见解析；②∠APE=2∠MAD．
【分析】（1）先求出∠BAC，再利用直角三角形的性质判断出EF=EA=AC即可得出结论；
（2）分点P在边AB和AB的延长线上时，两种情况补全图形即可判断；
【详解】（1）如图1中，
∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E为AC中点，
∴EF=EA=AC．
∴∠AFE=∠BAC=40°．
（2）①Ⅰ、当点P在边AB上时，补全图形如图2，
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，补全图形如图3，
②Ⅰ、当点P在边AB上时，结论：∠APE=2∠MAD．
理由：如图2，连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE
∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴AE=DE=CE=AC．
同理可证AE=NE=CE=AC．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时，结论：∠APE=2∠MAD
理由：如图3，连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，
∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE．
∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴AE=DE=CE=AC．
同理可证AE=NE=CE=AC．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．
∴∠PED=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同角或等角的余角相等，解（2）的关键是根据题意补全图形，解（3）的关键是判断出∠PED=∠APE，是一道很好的中考常考题．
19．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，解答本题用到的知识点为：同弧所对的圆心角相等，等腰三角形两底角相等等．
（1）由，可知，得到；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系由，得到，然后利用等腰三角形底角相等即可得到结论．
【详解】（1）证明：，
；
（2）证明：，
，
又，
，
即．
20．．
【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解．
【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，，
∴，即，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键．
21．见解析
【分析】要证明两条弦AB＝CD，可以转化为证明就可以．已知AC=BD可以证明得到，进而得到．
【详解】证明：∵AC＝BD，
∴．
∴
∴．
∴AB＝CD．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系.在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦其中有一组量相等，那么其它两组量也相等．
22．（1）5；（2）
【分析】（1）通过点C、D三等分弧AB，可得∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°，所以，△COD为等边三角形，CD可求；
（2）由点E是劣弧DC的中点，根据垂径定理的推论可得OF⊥CD，CF＝CD；解直角三角形△ODF，得出OF长度，通过OE﹣OF＝EF得出答案．
【详解】解：（1）联结OC,OD,
∵AB为直径，点C、D三等分弧AB,
∴.
∴∠AOD＝∠COD＝∠BOC＝60°．
∵OC＝OD,
∴△OCD为等边三角形．
∴CD＝OD＝AB＝5．
（2）联结OE,交DC于点F,
∵点E是劣弧DC的中点，
∴OF⊥CD,DF=FC=CD.
∵OC＝OD，
∴∠DOF＝∠DOC＝30°．
在Rt△ODF中，cos∠FOD＝．
∴OF＝OD cos∠FOD＝5×＝．
∵OE＝OD＝5,
∴EF＝OE﹣OF＝5﹣．
【点睛】本题考查圆的相关定理，熟练掌握在同圆中，等弧所对的弦相等，圆心角相等，以及垂径定理的应用，在题目中看到弧或者弦的中点，要联结圆心的中点，得出垂直.
23．见解析
【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．由证明，得出对应角相等，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即C为的中点．
24．详见解析
【分析】先根据可得，再根据同圆中等弧所对的弦相等即得．
【详解】证明：∵
∴
∴
【点睛】本题考查圆心角定理推论，解题关键是熟知同圆或等圆中，等弧所对的弦相等．
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