3.3垂径定理同步强化练习（含解析）
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3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为（ ）
A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
5．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
6．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
7．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连接OP交AB于C，且PC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．4 C．5 D．10
9．如图，点D是直径为10的中一点，若长为3，则过点D的所有弦中，最长弦与最短弦的长度差为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．18
10．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二、填空题
13．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为 ．
14．如图，以O为圆心的两个同心圆，过点的直径与外圆交于C，D两点，若CE=8，ED=2，则AB长 时，外圆的弦AB与内圆相切于点E.
15．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2
16．已知的半径为2，弦，是上一点，且，直线与交于点，则的长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC＝6，BC＝8，则AD＝ ．
三、解答题
18．如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.
19．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积．
20．如图是一个管道的横截面，圆心到水面的距离是3，水面宽．
(1)求这个管道横截面的半径．
(2)求的度数．
21．已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC．
求证：AC2=AEAB．
22．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为．居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？
23．如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？
24．如图，在半径为的中，弦长．求：
（1）的度数；
（2）点O到的距离．
《3.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D C D A C A B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题．
【详解】解：为的直径，点为的中点．
，
故选：B．
2．C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
3．D
【分析】连接，根据垂径定理，设直径为寸，利用列方程即可．
【详解】解：连接，
设直径的长为寸，则半径寸，
∵为⊙O的直径，弦于E，寸，
∴ ，
根据勾股定理得，
解得，
(寸)．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
4．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故选C
【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.
6．D
【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：连接OA，
条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC BC＝AB CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
8．C
【详解】解：连接OA，
∵P是劣弧AB中点，
∴OP⊥AB，AC=AB=×8=4，
设⊙O的半径为x，
则OC=OP﹣PC=x﹣2，
在Rt△OAC中，
OA2=OC2+AC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5．
故选C．
9．A
【分析】要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，再用垂径定理和勾股定理求得最短弦，由过点D的所有弦中，最长弦是直径，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是，如图，于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵过点D的所有弦中，最长弦是直径，
∴最长弦与最短弦的长度差为，
故选：A
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握过圆内一点的最长弦和最短弦是解题的关键．
10．B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
11．B
【分析】过点作于点，由垂径定理可得，然后在中由勾股定理即可求出点到的距离．
【详解】解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，
∵的半径为10，即，
∴在中，，
即点到的距离是8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，理解并掌握垂径定理是解题关键．
12．D
【分析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．
【详解】解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC＝BD．
所以共有4组相等的线段．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
13．(6,0)
【详解】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)
14．8
【分析】连接OA,首先求得半径的长,则OE即可求解,然后在直角△OAE中,利用勾股定理即可求得AE的长,则AB即可求解.
【详解】连接OA,则圆的半径OA=,
则OE=5-2=3,
在直角△OAE中,AE=,
∴AB=2AE=8.
【点睛】本题考查了切线的性质以及垂径定理,正确求得AE的长是关键.
15．2
【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
【详解】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
16．1或3
【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得，进而分两种情况讨论即可．
【详解】如图，连接，
，由垂径定理可知，，，
则在中，，
或，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．
17．7.2．
【分析】作CE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理计算．
【详解】解：作CE⊥AB于E，
△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CE，
∴6×8＝10×CE，
解得，CE＝4.8，
由勾股定理得，AE＝＝＝3.6，
∵CE⊥AB，
∴AD＝2AE＝7.2．
故答案为：7.2．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．A(-1,10)，B(9,0)，C(0,3)，D(0,-3)
【分析】先根据点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5结合勾股定理可得点C、点D的坐标，再根据⊙P的半径为5可得AO、PB的长，即可求得点A、点B的坐标.
【详解】解：∵点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5
∴OP=3，CO=DO=4
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（-4，0）
∵⊙P的半径为5
∴AO=2，PB=5
∴点A的坐标为（-2，0），OB=8
∴点B的坐标为（8，0）.
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理以及点的坐标，本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握．
19．289或119
【分析】要求梯形的面积就要先求出梯形的高，然后利用梯形的面积公式计算；求梯形的高，先利用垂径定理和勾股定理求出圆心到梯形两底的距离，进而得到梯形的高，由此结合梯形的面积公式即可得到其面积．
【详解】
解：连接OA、OD，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE==5；同理可得OF=12
分两种情况：如图1．EF=OF+OE=12+5=17
如图2．EF=OF-OE=12-5=7
因此梯形的面积为（AB+CD）EF=（24+10）EF=289或119．
故答案为289或119.
【点睛】本题考查面积计算，勾股定理，垂径定理及推论，注意本题需分情况求解梯形的面积，即分圆心在梯形的内部与外部两种情况求解.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
是等腰直角三角形，
在中，
这个管道横截面的半径为．
（2）解：在等腰直角中，，
在等腰直角中，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
21．见解析
【分析】连接BC,根据垂径定理得到BC=AC,根据等边对等角得到∠CAB=∠CBA，∠CAB=∠ECA，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质得到即可证明.
【详解】连接BC,
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC=AC,
∴∠CAB=∠CBA
又EA=EC,
∴∠CAB=∠ECA
∴∠CBA=∠ECA
∴△AEC∽△ACB
即AC2=AEAB.
【点睛】考查垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
22．居民楼会受到噪声的影响，17.3s
【分析】过点A作AB⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出AB的长与200m相比较即可；过点A作AD=OA=200m，求出OD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：过点A作AB⊥MN，AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方，
∵∠QON=30°，AO=200m，
∴AB=OA=200×=100m＜200m，
∴居民楼会受到噪音的影响；
∵OA=200m，
∴以A为圆心，OA为半径作圆，交MN于D，
则OA=AD=200(m)，
∵AB⊥OD，
∴OB=BD，
∵在Rt△AOB中，OB==100(m)，
∴OD=2BO=200(m)，
∵火车行驶的速度为72km/h=20m/s，
∴≈17.3(s)．
答：居民楼受噪音影响的时间为17.3 s．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．AB=CD.
【分析】过O点分别作AB和CD的垂线，交点分别为E和F，连接AO和DO.由垂径定理可得OE和OF分别是AB和CD的垂直平分线；证明△PEO≌△PFO得OE=OF，再证△AEO≌△DFO得AE=DF即可.
【详解】解：AB=CD.
证明：过O点分别作AB和CD的垂线，交点分别为E和F，连接AO和DO，
∵∠OEP=∠OFP=90°，∠APO=∠DPO，PO=PO,
∴△PEO≌△PFO，
∴OE=OF，
∵OE为弦AB的垂线，OF为弦CD的垂线，
∴AE=EB，DF=CF，、
∵AO=DO，
∴△AEO≌△DFO，
∴AE=DF，
∴AB=2AE=2DF=CD，
即AB=CD.
【点睛】本题结合三角形全等综合考察了垂径定理的知识.
24．（1）60°；（2）25mm
【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝＝25（mm），
即点O到AB的距离是25mm．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
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3.3垂径定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图、已知为的直径，点为的中点．则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”.用几何语言可表述为：为的直径，弦于点，寸，寸，则直径的长为（ ）
A．12.5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AD，若AB＝10，CD＝8，则AD的长为（ ）
A．8 B．2 C．3 D．4
5．《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，为的直径，弦于，寸，寸，求直径的长.”则
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
6．如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点E，AE=2，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．垂直平分 D．垂直平分
7．在Rt△ ABC中，∠ C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE=6， 若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，⊙O的弦AB=8，P是劣弧AB中点，连接OP交AB于C，且PC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．8 B．4 C．5 D．10
9．如图，点D是直径为10的中一点，若长为3，则过点D的所有弦中，最长弦与最短弦的长度差为（ ）
A．2 B．6 C．14 D．18
10．往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，已知的半径为10，弦，则点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，两个以O为圆心的同心圆，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．OH⊥AB于H，则图中相等的线段共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
二、填空题
13．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为 ．
14．如图，以O为圆心的两个同心圆，过点的直径与外圆交于C，D两点，若CE=8，ED=2，则AB长 时，外圆的弦AB与内圆相切于点E.
15．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为 cm2
16．已知的半径为2，弦，是上一点，且，直线与交于点，则的长为 ．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC＝6，BC＝8，则AD＝ ．
三、解答题
18．如图,点P的坐标为(4,0),⊙P的半径为5,且⊙P与x轴交于点A、B,与y 轴交于点C、D,试求出点A、B、C、D的坐标.
19．点A、B、C、D在⊙O上，AB∥CD，AB=24，CD=10，⊙O的半径为13，求梯形ABCD的面积．
20．如图是一个管道的横截面，圆心到水面的距离是3，水面宽．
(1)求这个管道横截面的半径．
(2)求的度数．
21．已知，⊙O的弦AB垂直于直径CD，垂足为F，点E在AB上，且EA＝EC．
求证：AC2=AEAB．
22．如图，铁路和公路在点O处交会，，在点A处有一栋居民楼，．如果火车行驶时，周围以内会受到噪声的影响，那么火车在铁路上沿方向行驶时，居民楼是否会受到噪声的影响？如果火车行驶的速度为．居民楼受噪声影响的时间约为多少秒（结果保留小数点后一位）？
23．如图，P是⊙O外一点，PA交⊙O于点B，PD交⊙O于点C，且∠APO=∠DPO. 弦AB与CD相等吗？为什么？
24．如图，在半径为的中，弦长．求：
（1）的度数；
（2）点O到的距离．
《3.3垂径定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D D C D A C A B
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，根据垂径定理中“知二推三”进行推理论证，即可解题．
【详解】解：为的直径，点为的中点．
，
故选：B．
2．C
【分析】连接，根据弦与弧的关系，只要比较弦长即可比较弧长的大小即可求解．
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
【点睛】本题考查了弦与弧的关系，掌握同圆或等圆中，等弦对等弧是解题的关键．
3．D
【分析】连接，根据垂径定理，设直径为寸，利用列方程即可．
【详解】解：连接，
设直径的长为寸，则半径寸，
∵为⊙O的直径，弦于E，寸，
∴ ，
根据勾股定理得，
解得，
(寸)．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
4．D
【分析】如图，连接OD，利用勾股定理求出OE，再利用勾股定理求出AD即可．
【详解】解：如图，连接OD．
∵AB⊥CD，
∴CE＝ED＝4，
∵∠OED＝90°，OD＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴AE＝OA+OE＝8，
∴AD＝＝＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．C
【分析】连接AO，根据垂径定理及勾股定理即可求出半径，即可求出CD的长.
【详解】如图，连接AO，设AO=OD=r，
故OE=r-1，
∵AB=10，∴AE=5，
由AO2=AE2+OE2，即r2=52+( r-1)2，
解得r=13，故CD=2r=26
故选C
【点睛】此题主要考查垂径定理，解题的关键是根据勾股定理进行求解.
6．D
【分析】由垂径定理和勾股定理分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：连接OA，
条件不足，不能求出OE和EC的长，故选项A、B不符合题意；
∵OC⊥AB于点E，
∴OC是线段AB的垂直平分线，故选项D正确，符合题意；
选项C不符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
7．A
【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值．
【详解】解：如图，过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM，
∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，
∴OC＝DE＝3，
∵OM＝3，
∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值，
∴只有C、O、G三点在一条直线上OG最小，
过C作CF⊥AB于F，
∴G和F重合时，MN有最大值，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝＝10，
∵AC BC＝AB CF，
∴CF＝，
∴OG＝CF OC＝，
∴MG＝＝，
∴MN＝2MG＝
故选:A
【点睛】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键．
8．C
【详解】解：连接OA，
∵P是劣弧AB中点，
∴OP⊥AB，AC=AB=×8=4，
设⊙O的半径为x，
则OC=OP﹣PC=x﹣2，
在Rt△OAC中，
OA2=OC2+AC2，
∴x2=42+（x﹣2）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5．
故选C．
9．A
【分析】要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，再用垂径定理和勾股定理求得最短弦，由过点D的所有弦中，最长弦是直径，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可知，要满足最短弦，只需满足垂直于该弦，设该最短弦是，如图，于点D，
∴，，
∴，
∴，
∵过点D的所有弦中，最长弦是直径，
∴最长弦与最短弦的长度差为，
故选：A
【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握过圆内一点的最长弦和最短弦是解题的关键．
10．B
【分析】连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出CD的长．
【详解】解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，
∵OC⊥AB，由垂径定理可知，
∴AC=CB=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，属于基础题，关键是过O点作AB的垂线，由此即可求解．
11．B
【分析】过点作于点，由垂径定理可得，然后在中由勾股定理即可求出点到的距离．
【详解】解：过点作于点，如下图，
∵，，
∴，
∵的半径为10，即，
∴在中，，
即点到的距离是8．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，理解并掌握垂径定理是解题关键．
12．D
【分析】先根据OH⊥AB于点H可知，AH＝BH，CH＝DH，故可得出AC＝BD，AD＝BC，进而可得出结论．
【详解】解：由垂径定理知，点H是AB的中点，也是CD的中点，则有CH＝HD，AH＝HB，所以AD＝BC，AC＝BD．
所以共有4组相等的线段．
故选：D．
【点睛】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键．
13．(6,0)
【详解】解：过点P作PM⊥AB于M，则M的坐标是（4，0）
∴MB=MA=4-2=2，
∴点B的坐标为(6,0)
14．8
【分析】连接OA,首先求得半径的长,则OE即可求解,然后在直角△OAE中,利用勾股定理即可求得AE的长,则AB即可求解.
【详解】连接OA,则圆的半径OA=,
则OE=5-2=3,
在直角△OAE中,AE=,
∴AB=2AE=8.
【点睛】本题考查了切线的性质以及垂径定理,正确求得AE的长是关键.
15．2
【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论．
【详解】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴
∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2，
∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2 cm2
故答案为：2．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解．
16．1或3
【分析】根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得，进而分两种情况讨论即可．
【详解】如图，连接，
，由垂径定理可知，，，
则在中，，
或，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理计算圆周上点到弦得距离，熟练掌握基本定理，准确分类讨论是解题关键．
17．7.2．
【分析】作CE⊥AB于E，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理计算．
【详解】解：作CE⊥AB于E，
△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CE，
∴6×8＝10×CE，
解得，CE＝4.8，
由勾股定理得，AE＝＝＝3.6，
∵CE⊥AB，
∴AD＝2AE＝7.2．
故答案为：7.2．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
18．A(-1,10)，B(9,0)，C(0,3)，D(0,-3)
【分析】先根据点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5结合勾股定理可得点C、点D的坐标，再根据⊙P的半径为5可得AO、PB的长，即可求得点A、点B的坐标.
【详解】解：∵点P的坐标为（3，0），⊙P的半径为5
∴OP=3，CO=DO=4
∴点C的坐标为（4，0），点D的坐标为（-4，0）
∵⊙P的半径为5
∴AO=2，PB=5
∴点A的坐标为（-2，0），OB=8
∴点B的坐标为（8，0）.
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理以及点的坐标，本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握．
19．289或119
【分析】要求梯形的面积就要先求出梯形的高，然后利用梯形的面积公式计算；求梯形的高，先利用垂径定理和勾股定理求出圆心到梯形两底的距离，进而得到梯形的高，由此结合梯形的面积公式即可得到其面积．
【详解】
解：连接OA、OD，作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，在Rt△AOE中，OA=13，AE=12，OE==5；同理可得OF=12
分两种情况：如图1．EF=OF+OE=12+5=17
如图2．EF=OF-OE=12-5=7
因此梯形的面积为（AB+CD）EF=（24+10）EF=289或119．
故答案为289或119.
【点睛】本题考查面积计算，勾股定理，垂径定理及推论，注意本题需分情况求解梯形的面积，即分圆心在梯形的内部与外部两种情况求解.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可解；
（2）根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
是等腰直角三角形，
在中，
这个管道横截面的半径为．
（2）解：在等腰直角中，，
在等腰直角中，，
．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理．
21．见解析
【分析】连接BC,根据垂径定理得到BC=AC,根据等边对等角得到∠CAB=∠CBA，∠CAB=∠ECA，证明△AEC∽△ACB，根据相似三角形的性质得到即可证明.
【详解】连接BC,
∵AB⊥CD，CD为⊙O的直径
∴BC=AC,
∴∠CAB=∠CBA
又EA=EC,
∴∠CAB=∠ECA
∴∠CBA=∠ECA
∴△AEC∽△ACB
即AC2=AEAB.
【点睛】考查垂径定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
22．居民楼会受到噪声的影响，17.3s
【分析】过点A作AB⊥MN，利用锐角三角函数的定义求出AB的长与200m相比较即可；过点A作AD=OA=200m，求出OD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间．
【详解】解：过点A作AB⊥MN，AB是火车在行驶的过程中，距离居民楼最近的地方，
∵∠QON=30°，AO=200m，
∴AB=OA=200×=100m＜200m，
∴居民楼会受到噪音的影响；
∵OA=200m，
∴以A为圆心，OA为半径作圆，交MN于D，
则OA=AD=200(m)，
∵AB⊥OD，
∴OB=BD，
∵在Rt△AOB中，OB==100(m)，
∴OD=2BO=200(m)，
∵火车行驶的速度为72km/h=20m/s，
∴≈17.3(s)．
答：居民楼受噪音影响的时间为17.3 s．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，主要考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．AB=CD.
【分析】过O点分别作AB和CD的垂线，交点分别为E和F，连接AO和DO.由垂径定理可得OE和OF分别是AB和CD的垂直平分线；证明△PEO≌△PFO得OE=OF，再证△AEO≌△DFO得AE=DF即可.
【详解】解：AB=CD.
证明：过O点分别作AB和CD的垂线，交点分别为E和F，连接AO和DO，
∵∠OEP=∠OFP=90°，∠APO=∠DPO，PO=PO,
∴△PEO≌△PFO，
∴OE=OF，
∵OE为弦AB的垂线，OF为弦CD的垂线，
∴AE=EB，DF=CF，、
∵AO=DO，
∴△AEO≌△DFO，
∴AE=DF，
∴AB=2AE=2DF=CD，
即AB=CD.
【点睛】本题结合三角形全等综合考察了垂径定理的知识.
24．（1）60°；（2）25mm
【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
【详解】解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，
由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝＝25（mm），
即点O到AB的距离是25mm．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
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