6.2平行四边形的判定同步强化练习（含解析）

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6.2平行四边形的判定
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若平行四边形相邻两边为，，它们与对边的距离分别为，，那么等于(　　)
A．5∶3 B．3∶5 C．10∶3 D．3∶10
2．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论：①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．其中成立的个数是(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，能判定四边形是平行四边形的是（ ）

A．， B．，
C．， D．，
4．在四边形中，对角线相交于点O，且．如果要使四边形是平行四边形，那么可以添加的条件是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，D为AB的中点，P是边BC上的一个动点，连接PA、PD，且∠BDP＜90°，将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，连接A′B，若A′B＝DP，则线段BP的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，，，的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知四边形ABCD的四边分别有a，b，c，d．其中a，c是对边且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则四边形是（ ）
A．平行四边形
B．对角线相等的四边形
C．任意四边形
D．对角线互相垂直的四边形
9．如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，且，则（ ）
A．80° B．100° C．105° D．120°
11．如图，过 ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的 AEMG的面积S1与 HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1=S2 B．S1>S2 C．S112．在如图所示的4个四边形中，能根据图中标出的条件判定四边形是平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在中，，分别是，上的点，请添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则添加的条件是 （答案不唯一）．
14．如图，E为平行四边形外一点，且满足，，，．若点M，N分别在线段，上，连接，当时，连接，，则的最小值为 ．
15．如图所示，在中，，是上的一点，且，，则 ．

16．如图，在中，，点E从点D出发沿DA边运动到点A，点F从点B出发沿边向点C运动，点E运动速度为，点F的运动速度为，它们同时出发，同时停止运动，经过 s时，．
17．如图，AB=BC=CD，AB⊥BC，∠BCD=30°，则∠BAD= °．
三、解答题
18．如图，田村有一口四边形的池塘，在它的四角A、B、C、D处均有一棵大桃树、田村准备开挖养鱼，想使池塘的面积扩大一倍，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，请问田村能否实现这一设想 若能，画出图形，说明理由．
19．在①AD＝BC，②，③∠BAD＝∠BCD这三个条件中选择其中一个你认为合适的，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，_______（请填序号），求证：四边形ABCD为平行四边形．
20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，过点A作AD∥BC，且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE=2，连结PE，设点P的运动时间为t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的长；
（2）请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB
外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
22．如图，等腰Rt△ABD中，AB＝AD，点M 为边AD上一动点，点E在DA的延长线上，且AM＝AE，以BE为直角边，向外作等腰Rt△BEG，MG交AB于N，连NE、DN．
（1）求证：∠BEN＝∠BGN．
（2）求的值．
（3）当M在AD上运动时，探究四边形BDNG的形状，并证明之．
23．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形？为什么？
24．如图，在中，，M、N分别是的中点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的长．
《6.2平行四边形的判定》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C C D B B A B B
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】根据平行四边形的面积求解方法即可求得．根据题意可得，将，代入即可求得的值．
【详解】解：∵，
∴
故选：A
【点睛】本题考查的是利用面积法求图形中边的长度，用两种不同方法表示同一平面图形的面积构建方程是解题的关键．
2．D
【分析】根据六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=60°，平行线的判定，平行四边形的判定，中心对称图形的定义一一判断即可．
【详解】∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴∠EFA=∠FED=∠FAB=∠ABC=120°．
∵∠DAB=60°，
∴∠DAF=60°，
∴∠EFA+∠DAF=180°，∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD∥EF∥CB，故②正确，
∴∠FED+∠EDA=180°，
∴∠EDA=∠ADC=60°，
∴∠EDA=∠DAB，
∴AB∥DE，故①正确．
∵∠FAD=∠EDA，∠CDA=∠BAD，EF∥AD∥BC，
∴四边形EFAD，四边形BCDA是等腰梯形，
∴AF=DE，AB=CD．
∵AB=DE，
∴AF=CD，故③正确，
连接CF与AD交于点O，连接DF、AE、DB、BE．
∵∠CDA=∠DAF，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，故④正确，
同法可证四边形AEDB是平行四边形，
∴AD与CF，AD与BE互相平分，
∴OF=OC，OE=OB，OA=OD，
∴六边形ABCDEF是中心对称图形，且是轴对称，故⑤正确．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、平行线的判定和性质、轴对称图形、中心对称图形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
3．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．
【详解】解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
B、由，不能判定四边形是平行四边形，例如等腰梯形符合此条件，不符合题意；
C、由，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意；
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，根据选项，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案．
【详解】解：根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可知添加的条件为，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟记平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，由D为AB的中点，得到AD＝BD＝AB＝，，由△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，则A'D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，，从而＝，点与点B到DP的距离相等，得到A′B//DP，四边形A'BPD是平行四边形，得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，
∴AC＝1，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，
，
∵D为AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝，，
∵将△ADP沿直线DP折叠，得到△DPA′，
∴A′D＝AD＝，△ADP≌△A′DP，
∴，
∴＝
∴点与点B到DP的距离相等，
∴ A′B//DP
∵A′B＝DP，
∴四边形A'BPD是平行四边形
∴BP＝A'D＝，
故选：B
【点睛】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及平行四边形判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．
7．B
【分析】先判断四边形为平行四边形得到，则，再利用得到点和点到的距离相等，设点到的距离为，利用的面积为可计算出，然后根据平行四边形的面积公式计算四边形的面积．
【详解】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质以及三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了平行线的性质．
8．A
【分析】将条件式变形为（a-c）2+（b-d）2=0，由非负性质可得a=c，b=d，即可判定．
【详解】∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，
∴（a-c）2+（b-d）2=0，
∴a=c，b=d，
∵a，b，c，d分别为四边形ABCD的四边，
即两组对边分别相等，
∴其为平行四边形．
故选A．
9．B
【分析】根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可．
【详解】∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分．
10．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可．
【详解】解：作，，与交于点，连接，
则四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
11．A
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD都是平行四边形，
在△ABD和△CDB中
∵，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
12．A
【解析】略
13．
【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解．
【详解】解：添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
故答案为．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
14．
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，轴对称与最短路径，的直角三角形的性质，勾股定理，利用轴对称作辅助线是解题的关键．
作点E关于的对称点，连接，构造平行四边形，连接，作于点H，确定的最小值为EG的长，再利用的直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接，构造平行四边形，连接，
则，且点G为定点，
∴，即的最小值为EG的长．
作于点H，
∵点E与关于AB对称，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，即的最小值为．
故答案为：．
15．
【分析】首先根据两组对边互相平行的四边形是平行四边形判定出四边形是平行四边形，进而得到，然后证明，即可得到，从而得解．
【详解】∵，，
四边形是平行四边形，
，
又∵，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
16．/
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及平行四边形的判定与性质．当运动时间为时，，，先得出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：当运动时间为时，，，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
17．15
【分析】把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，可得△CDE是等边三角形，从而得到DE=CD=CE，∠DEC=60°，再由∠BCD=30°，可得BC⊥DE，然后根据AB=BC=CD，可得BC=CE，AB=DE，从而得到，进而得到∠BED=15°，再证得四边形ABED是平行四边形，即可求解．
【详解】解：如图，把CD绕着点C逆时针旋转60°到达CE的位置，连接CE，DE，BE，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE=CD=CE，∠DEC=60°，
∵∠BCD=30°，
∴∠BCE=30°，
∴∠BCD=∠BCE，
∴BC⊥DE，
∵AB=BC=CD，
∴BC=CE，AB=DE，
∴，
∴∠BED=∠BEC-∠DEC=15°，
∵AB⊥BC，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BAD=∠BED=15°．
故答案为：15
【点睛】本题主要考查了图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握图形的旋转，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】连接AC、BD，分别过A、B、C、D作BD、AC的两条平行线，相交于E、F、G、H，平行四边形EFGH即为所求．
【详解】解：能，如图所示，平行四边形EFGH即为所求：
理由如下：
∵EH∥BD，FG∥BD，
∴EH∥FG，
∵EF∥AC，HG∥AC，
∴EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
四边形EBDH和BFGD都是平行四边形，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理和性质定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
19．②，证明见解析
【详解】解：补充条件②，
∵，
∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
又∵OA=OC，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
条件①③无法证明四边形ABCD是平行四边形
故答案为：②.
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定条件是解题的关键．
20．(1) BQ= ；（2）存在，t=4或12，详见解析.
【分析】(1)作AM⊥BC于M，PE交AC于点N，则△APN和△CEN是等腰直角三角形，把CE的长在PE上和在CM上用关于t的式子表示，即可得到关于t的方程，从而求解；
(2)根据AP=BE，列出关于t的方程求解.
【详解】解：（1）作AM⊥BC于M，如图所示：

∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5，
∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，∴5-t=2t-2，
解得：t=，BQ=BC-CQ=10-2× = ；
（2）存在，t=4或12；理由如下：
若以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，
则AP=BE，
∴t=10-2t+2，或t=2t-2-10解得：t=4或12∴存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或12．
21．（1）见解析；（2）OG=1.
【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可．
【详解】解：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO="DA" ．
∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ．
又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE．
∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB．
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x．
在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=．
在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即，解得，．
∴OG=1．
22．（1）详见解析；（2）；（3）四边形BDNG是平行四边形，证明详见解析.
【分析】（1）连接BM，推出BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，根据SAS证△BMN≌△BEN，推出∠BMN＝∠BEN，证出∠BMN＝∠BGN即可；
（2）过G作GH⊥AB，垂足为H，证△BGH≌△ABE，推出BH＝AE＝AN，求出NG＝GH＝AB，代入求出即可；
（3）根据ADN≌△BAE，推出BG⊥BE，BG＝BE，得出BG∥DN，BG＝DN，根据平行四边形的判定判断即可．
【详解】（1）证明：连BM，
∵∠BAD＝90°，
∴BA⊥EM，
∵AE＝AM，
∴BE＝BM，∠EBA＝∠MBA，
在△BEN和△BMN中
，
∴△BMN≌△BEN，
∴∠BMN＝∠BEN，
∵BE＝BG＝BM，
∴∠BMN＝∠BGN，
∴∠BEN＝∠BGN．
（2）解：由（1）得，∠GBE＝∠GNE＝90°，
∴△NME等腰直角三角形，
∴AE＝AN，
过G作GH⊥AB，垂足为H，
∴∠H＝∠BAE＝∠GBE＝90°，
∴∠HGB+∠HBG＝90°，∠HBG+∠ABE＝90°，
∴∠HGB＝∠EBA，
在△BGH和△ABE中
，
∴△BGH≌△ABE，
∴BH＝AE＝AN，
HN＝AB＝GH，NG＝GH＝AB，
∴．
（3）解：四边形BDNG是平行四边形，
理由是：∵∠DAN＝∠BAE＝90°，AN＝AE，AB＝AD，
∴△ADN≌△BAE，
∴DN⊥BE，DN＝BE＝BG，
又∵BG⊥BE，BG＝BE，
∴BG∥DN，BG＝DN
∴四边形BDNG为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题型较好，但有一定的难度．
23．6个，两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】根据平行四边形的判定定理求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵六个三角形是全等的正三角形，
∴OA=EF，AF=OE，
∵两组对边分别相等，
∴四边形AOEF为平行四边形；
同理可证，四边形ABOF，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形DEFO均为平行四边形，
∴共有6个平行四边形，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，理解并熟练运用平行四边形的判定方法是解题关键．
24．(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得、，根据M、N分别是AD、BC的中点可得，然后根据平行四边形的判定定理即可证明结论；
（2）如图：连接ND，先说明是等边三角形的判定与性质，可得、，再根据三角形外角的性质，可得，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵是平行四边形，
∴，．
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图：连接ND，
∵是平行四边形，
∴．
∵N是BC的中点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，证得是等边三角形是解题的关键．
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