6.3三角形的中位线同步强化练习（含解析）

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6.3三角形的中位线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，点D是上一动点，作且，连接分别是的中点，连接，则长为（　　）
A．6 B． C． D．
2．如图，在ABC中，AB＝10，BC＝16，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F是线段DE上的一点，连接AF、BF，若∠AFB＝90°，则线段EF的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连接各边中点的三角形的周长为（ ）
A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm
4．如图，在中，，，、是的中位线，则四边形的周长是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
5．如图，在 ABCD中，，，点M、N分别是边AB、BC上的动点，连接DN、MN，点E、F分别为DN、MN的中点，连接EF，则EF的最小值为　　
A．1 B． C． D．
6．如图，在Rt中，，点为边的中点，连接，点E、F分别为、的中点，连接，若，则的面积为（ ）
A．12 B．15 C．60 D．30
7．如图，在中，平分，是的中点，，，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，为测量池塘两端的距离，可先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和，连接，，分别取、的中点，，连接后，量出的长为12米，那么就可以算出，的距离是（ ）
A．36米 B．24米 C．12米 D．6米
10．如图，将腰长为4的等腰直角三角形放在直角坐标系中，顺次连接各边中点得到第1个三角形，再顺次连接各边中点得到第2个三角形……，如此操作下去，那么，第6个三角形的直角顶点坐标为（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣，） D．（﹣，）
11．如图，的两条直角边分别在轴，轴上，C，D分别是边，的中点，连接，已知，将绕点C顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（ ）

A． B． C． D．
12．如图所示，为等边三角形，于R，于S，则四个结论正确的是　　
点P在的平分线上；
②；
③；
．

A．全部正确 B．仅和正确 C．仅正确 D．仅和正确
二、填空题
13．如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= ．
14．如图，在中，平分，于点，延长交于点，是的中点，若，，则 ．
15．如图，已知中，点D、E分别是边、中点，，点F、G分别是、的中点，则 ．
16．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若BC＝10，则DE＝ ．

17．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是 ．
三、解答题
18．如图1，在中，，，点D，E分别在边，上，，连接，点M，P，N分别为，，的中点.
(1)观察猜想：图1中，请判断线段与的数量关系和位置关系，并说明理由.
(2)探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，， ，判断的形状，并说明理由.
19．如图，A，B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法估测出了A，B间的距离：先在外选一点C，然后步测出的中点M，N，并测出的长，如果M，N两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？说明你的理由．
20．（1）回归课本
请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．
（2）回顾证法
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
已知：在中，点分别是的中点．
求证：________________．
证明：过点作，与的延长线交于点．
（3）实践应用
如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点，测得的长度为9米，则两点间的距离为________________．

21．如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论.
22．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形的边的中点，求证：四边形是平行四边形．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，EF∥AB交BC于F，若EF=4，求AB的长.
24．如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，已知P，Q分别是BG，CG的中点．
（1）求证：四边形EFPQ是平行四边形；
（2）请判断BG与GE的数量关系，并证明．
《6.3三角形的中位线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D D B D A B B A
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质；熟练掌握勾股定理，由三角形中位线定理得出是解题的关键．
由勾股定理得出，取中点，连接，证出是的中位线，是的中位线，由三角形中位线定理得出，证出，再由勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，
，
取中点，连接，如图所示：
∵分别是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选：C．
2．B
【分析】根据直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，得到DF=5，由三角形中位线的性质得到DE=8，最后由线段的和差解题即可．
【详解】解：∵∠AFB=90°，点D是AB的中点，
∴DF= AB=5，
∵BC= 16，D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE=BC=8，
∴EF=DE-DF=3，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质和中位线性质，掌握定理是解题的关键．
3．D
【详解】如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，
则DE=AC，DF=BC，EF=AB，
∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm，
故选D．
4．D
【分析】本题考查三角形中位线的性质，根据三角形中位线的性质可得四边形的各边长，进而即可求出周长．
【详解】解：∵、是的中位线，
∴，，
，，
∴．
故选：D
5．B
【分析】由已知可得，EF是三角形DMN的中位线，所以，当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
【详解】连接DM，
因为，E、F分别为DN、MN的中点，
所以，EF是三角形DMN的中位线，
所以，EF=,
当DM⊥AB时，DM最短，此时EF最小.
因为，，
所以，DM=AM,
所以，由勾股定理可得AM=2，此时 EF==.
故选B
【点睛】本题考核知识点：三角形中位线，平行四边形，勾股定理.解题关键点：巧用垂线段最短性质.
6．D
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，中点性质，由三角形中位线的性质可得，又由中点性质可得，再根据三角形的面积公式即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点分别为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∵，,
∴，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．
延长交的延长线于点，证明是等腰三角形，则得的长，点E是的中点，求得的长，从而是中位线，即可求得的长．
【详解】延长交的延长线于点，如图，
，
，
平分，
，
，
是等腰三角形，
，点E是的中点，
，是的中位线，
．
故选：A．
8．B
【分析】由于D、E分别是AB、BC的中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．
【详解】、分别是的边、的中点，
，
同理，，，
．
故选B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．
9．B
【分析】根据题意可知为三角形的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接，
∵、分别为、的中点，
∴为的中位线，
又∵米，
∴米．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线的应用，理解并掌握三角形中位线的性质是解题关键．
10．A
【分析】利用等腰直角三角形的性质及三角形中位线的性质分别求出第1个到第6个三角形的直角顶点坐标即可．
【详解】由题意：第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣2，2）；
第2个三角形的直角顶点坐标：（﹣1，1）；
第3个三角形的第1个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第4个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第5个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
第6个三角形的直角顶点坐标：（﹣）；
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质、中点三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．C
【分析】根据已知条件求出点D的坐标，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】∵
∴
∵C，D分别是边，的中点，
∴，，
∴点D的坐标为，点C的坐标为
∴第1次旋转结束时，点D在C点正下方，且，点D的坐标为，
第2次旋转结束时，点D在C点左边，且，，点D的坐标为，
第3次旋转结束时，点D在C点正上方，且，点D的坐标为，
则第4次旋转结束时，点D的坐标为，

观察可知，4次一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时，点D的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转、规律型-点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．
12．A
【分析】因为为等边三角形，根据已知条件可推出，则，故（2）正确，，所以是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，也是边上的高和中线，即点P是的中点，因为，所以点Q是的中点，所以是边对的中位线，有，故（3）正确，又可推出，故（4）正确．
【详解】∵于R，于S
∴
∵
∴
∴，故（2）正确，
∴是等边三角形的顶角的平分线，故（1）正确；
∴是边上的高和中线，即点P是的中点，
∵，
∴点Q是的中点，
∴是边对的中位线，
∴，故（3）正确；
∵
∴，故（4）正确；
∴全部正确．
故选A．
【点睛】本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质求解．
13．4
【详解】根据三角形的中位线定理，得：DE=BC=4
故答案为4．
14．
【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“”证明，即得出，，从而可得出，点E为中点，从而可判定为的中位线，进而可求出的长．
【详解】∵平分，
∴，．
又∵，
∴，
∴，，
∴，点E为中点．
∵F是的中点，
∴EF为的中位线，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质等知识．掌握三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半是解题关键．
15．
【分析】本题考查了三角形的中位线及梯形的中位线，熟练掌握两个定理是解题的关键．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，再根据梯形的中位线平行于两底边并且等于两底和的一半求解即可．
【详解】解：点D、E分别是边、中点，
是的中位线，
，，
，
，
点F、G分别是、的中点，
是梯形的中位线，
，
故答案为：
16．5
【详解】试题分析：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∵BC=10，∴DE=5．故答案为5．
考点：三角形中位线定理．
17．144°
【分析】根据中位线定理，易证明△EPF是等腰三角形，根据等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，
∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴PF＝ BC，PE＝ AD，
∵AD＝BC，
∴PF＝PE，
∵∠PEF＝18°，
∴∠PEF＝∠PFE＝18°．
∠FPE＝180°-18°-18°=144°．
故答案为：144°．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的性质，解题关键是利用中位线性质证明△EPF是等腰三角形．
18．(1)，，理由见解析；
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，得出，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵点P，N是，的中点，
∴，，，
∵点P，M是，的中点，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰直角三角形，
理由如下：由旋转知，，
在和中，
，
∴，，
∴，，
利用三角形的中位线得，，，，
∴，
∴是等腰三角形，
同（1）的方法得， ，
∴，
同（1）的方法得，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长，解答见详解．
【分析】用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，利用中位线性质可得DE=，MN=，可得AB=2MN=4DE即可．
【详解】解：用步测出CM，CN中点D、E， 只要测量出DE长便可求出AB，
∵点D、E分别为CM，CN的中点，
∴DE=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
又∵点M，N分别为的中点，
∴MN=（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），
∴AB=2MN=4DE．
∴只要测量出DE长便可求AB．
【点睛】本题考查三角形中位线性质在生活中运用，掌握三角形中位线性质是解题关键．
20．（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2），；详见解析；（3）18米
【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；
（2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论；
（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；
（2）求证：，．
证明：∵点分别是的中点，
∴，，
过点作，与的延长线交于点．
∴，
在和中，
．
，．
，．
四边形是平行四边形，
，，
又，
，．
故答案为：，；
（3）∵点分别是的中点，米，
∴，即：米
故答案为：18米．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．
21．3个，证明见解析.
【详解】试题分析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，利用三角形中位线定理分别进行证明即可得.
试题解析：最多可以有3个平行四边形，是四边形FMHN、四边形EMGN、四边形EFGH，证明如下：
在四边形ABCD中F，G，H，E，M，N分别是AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点，
∴FG∥AC，EH∥AC；FG＝AC，EH＝AC，
∴FG∥EH，FG＝EH，
∴四边形FGHE是平行四边形，
MG∥CD，EN∥CD；MG＝CD，EN＝CD，
∴MG∥EN，MG＝EN ，
∴四边形MGNE是平行四边形，
FM∥AD，NH∥AD；FM＝AD，NH＝AD，
∴FM∥NH；FM＝NH，
∴四边形FMHN是平行四边形，
∴最多可以有3个平行四边形.
22．见解析
【分析】连接BD，利用三角形的中位线定理证明得出，从而得到四边形是平行四边形
【详解】解：如图，连接．
∵点E，H分别是线段的中点，
∴是的中位线，
∴EH∥BD，．
同理，．
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理和平行四边形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度不大，解题的关键是正确的添加辅助线，把四边形的问题转化为三角形的问题．
23．8
【详解】试题分析：过D作DG∥AB交BC于G，则可得四边形ABGD是平行四边形，从而有AB=DG，
又由已知可知EF是△CDG的中位线，利用三角形中位线性质定理可得DG=2EF，从而问题得解.
试题解析：过D作DG∥AB交BC于G，∵AD∥BC，AB∥DG，
∴四边形ABGD是平行四边形，∴AB=DG，
∵EF∥AB，∴EF∥DG，∵DE=CE，∴GF=CF，
∴EF是△CDG的中位线，∴EF=DG，
∴DG=2EF=8，即AB=8.
24．（1）证明见解析；（2）BG＝2GE.
【详解】试题分析：（1）根据BE，CF是△ABC的中线可得EF是△ABC的中位线，P，Q分别是BG，CG的中点可得PQ是△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，PQ∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥PQ且EF=PQ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）根据平行四边形的性质可得GE=GP，再根据P是BG的中点可得BG=2PG，利用等量代换可得答案．
试题解析：（1）∵BE、CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF＝BC，
∵P、Q分别是BG、CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，
∴PQ∥BC且PQ＝BC，
∴EF∥PQ且EF＝PQ，
∴四边形EFPQ是平行四边形；
（2）BG＝2GE，
∵四边形EFPQ是平行四边形，∴GP＝GE，
∵P是BG中点，∴BG＝2PG，
∴BG＝2GE.
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