6.4多边形的内角和与外角和同步强化练习（含解析）

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6.4多边形的内角和与外角和
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，小明将几块六边形纸片分别剪掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为720°，则对应的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．正五边形按如图所示的方式叠放在正六边形上，边互相重合，延长交于点，则的度数为（ ）
A．141 B．144 C．147 D．150
3．如图，在五边形ABCDE中，，DP、CP分别平分、，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．正六边形的外角和是（ ）
A． B． C． D．
5．若一个多边形的内角和是它的外角和3倍，则这个多边形是（　　）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
6．已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十二边形
7．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )
A．180° B．360° C．(n-2)·180° D．n180°
8．已知一个多边形的外角和是其内角和的，则下列说法正确的是（ ）
A．过这个多边形一个顶点可做7条对角线
B．它的内角和为1260°
C．如果将它剪掉一个角，则还余下8个角
D．它的每个外角为40°
9．“动感数学”社团教室重新装修，如图是用边长相等的正方形和正边形两种地砖铺满地面后的部分示意图，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
10．下列说法错误的是（ ）
A．正多边形每个内角都相等； B．正多边形都是轴对称图形；
C．正多边形都是中心对称图形； D．正多边形的中心到各边的距离相等.
11．已知一个多边形的每一个内角都等于与它相邻的外角，则这个多边形是（ ）
A．等边三角形 B．菱形 C．矩形 D．正六边形
12．若一个正多边形的每个内角都是120°，则这个正多边形是（ ）
A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形
二、填空题
13．如果正多边形的一个内角等于一个外角的2倍，那么这个多边形的一个外角的度数为 ．
14．一机器人以0.2m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为 s．
15．在一张五边形纸片ABCDE（如图①）中，若∠A＝∠D，AE⊥DE，∠C＝95°，∠B＝110°，将∠A以BE为折痕往下折，点A恰好落在CD上（如图②），再分别以AB，AE为折痕，将∠C与∠D分别往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上（如图③），则图③中∠CAD的度数为 ．
16．如图，在四边形中，，E，F分别是上的点，当的周长最小时，的度数为 ．
17．如图，正五边形FGHIJ的顶点在正五边形ABCDE的边上，若∠AFJ＝20°，则∠CGH＝ °．
三、解答题
18．小玉同学在进行多边形内角和的计算时，求得一个多边形的内角和为，当她发现算错之后进行检查，原来多加了一个外角，你知道她多加的这个外角是多少度吗？
19．已知两个多边形的所有内角的和为1800°，且两个多边形的边数之比为2：5，求这两个多边形的边数．
20．请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
(1)如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且.
请证明：.
(2)如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度．
(3)如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度．
(4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________．
21．（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．
（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．
22．如图，小东在足球场的中间位置，从A点出发，每走6m向左转60°，已知AB=BC=6m．
（1）小东是否能走回A点，若能回到A点，则需走几m，走过的路径是一个什么图形？为什么？（路径A到B到C到…）
（2）求出这个图形的内角和．
23．如果一个多边形的内角和与外角和之比是 13：2，求这个多边形的边数．
24．一个多边形的外角和与它的内角和的比是，求这个多边形的边数．
《6.4多边形的内角和与外角和》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A C C D B B C
题号 11 12
答案 C A
1．B
【分析】根据新多边形的内角和为720°，n边形的内角和公式为（n-2） 180°，由此列方程求n．
【详解】解：设这个新多边形的边数是n，
则（n-2） 180°=720°，
解得：n=6，
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
2．B
【分析】如图，延长交于，正六边形的一个内角和外角分别为、，正五边形的一个内角和外角分别为、，则由题意知，，，在五边形中，，则，在五边形中，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长交于，
∵正五边形的内角和为，正六边形的内角和为，多边形的外角和为，
∴正六边形的一个内角和外角分别为、，正五边形的一个内角和外角分别为、，
∴，，，
在五边形中，，
∴，
在五边形中，，
故选：B．
【点睛】本题考查了五边形、六边形的内角和、外角和．解题的关键在于添加辅助线构造五边形利用内角和求解．
3．A
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【详解】∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=α，
∴∠BCD+∠CDE=540°-α，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=270°-α，
∴∠P=180°-（270°-α）=α-90°．
故选：A．
【点睛】此题考查多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
4．A
【分析】根据多边形的性质：任意多边形的外角和为360°，即可得解.
【详解】根据题意，得正六边形的外角和是，
故答案为A.
【点睛】此题主要考查多边形的外角和的性质，熟练掌握，即可解题.
5．C
【分析】首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【详解】解：设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为，
∴，
解得：．
∴这个多边形是八边形．
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为，n边形的内角和等于．
6．C
【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
【详解】设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10，
故选C.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解．
7．D
【详解】∵n边形的内角和是（n-2） 180°，
∴2n边形的内角和是（2n-2） 180°，
∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n-2） 180°-（n-2） 180°=n180°，
故选D.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，整式的化简，都是需要熟练掌握的内容．
8．B
【分析】设多边形的边数为n，根据多边形的外角和是其内角和的，列出方程，得出n的值，再逐一进行判定．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意得：
×（n-2） 180°=360°，
解得：n=9
过这个多边形一个顶点可做9-3=6条对角线，选项A错误
它的内角和为1260°，选项B正确；
如果将它剪掉一个角，则还余下8个角或9个角或10个角，选项C错误；
它的每个外角不一定都相等，选项D错误；
故选B
【点睛】本题考查了多边形的有关知识，熟练掌握相关的定义和结论是解题的关键
9．B
【分析】由图可知，2个正边形的一个内角的度数加上一个正方形的内角的度数为，进行求解即可．
【详解】解：由题可知2个正边形的一个内角加上一个正方形的内角，和为，
∴正边形的一个内角的度数为，
∴正边形的一个外角的度数为，
∴；
故选B．
【点睛】本题考查正多边形的外角和，以及镶嵌问题．正确的识图，求出正边形的一个外角的度数是解题的关键．
10．C
【分析】根据正多边形的性质分别进行判断得出答案即可．
【详解】A、正多边形每个内角都相等，根据正多边形的定义得出此选项正确，不符合题意；
B、正多边形都是轴对称图形，根据正多边形的性质得出，此选项正确，不符合题意；
C、正多边形都是中心对称图形，当边数为奇数时，正多边形不是中心对称图形，故此选项错误，符合题意；
D、根据正多边形中心为正多边形内切圆与外接圆圆心，故正多边形的中心到各边的距离相等，此选项正确，不符合题意．
故选C．
11．C
【分析】n边形的内角和为：；多边形的外角和恒等于，与边数的多少无关．结合本题，即可根据多边形的内角和与外角和之间的关系，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设此多边形为n边形，
n边形的每个内角都与它相邻的外角相等，
n边形的内角和等于它的外角和，
n边形的内角和为，外角和为360°，
，
解得：n=4，
结合选项可知，此多边形是矩形，
故选C．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和与外角和的相关知识点．
12．A
【分析】设所求正多边形边数为n，根据内角与外角互为邻补角，可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，由60° n=360°，求解即可．
【详解】解：设所求正多边形边数为n，
∵正n边形的每个内角都等于120°，
∴正n边形的每个外角都等于180°-120°=60°．
又因为多边形的外角和为360°，
即60° n=360°，
∴n=6．
所以这个正多边形是正六边形．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形内角和外角和的知识，解答本题的关键在于熟练掌握任何多边形的外角和都是360°．
13．/60度
【分析】正多边形的每个外角都相等，每个内角都相等，一个外角与一个内角的和为180度，由此列方程即可．
【详解】解：设这个正多边形的一个外角是x度，则这个正多边形的一个内角是度．
根据题意得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查正多边形的内角与外角问题，解题的关键是掌握正多边形每个外角都相等，每个内角都相等．
14．240
【详解】根据图示，得出机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周，是解决本题的关键，考察了计算多边形的周长，本题中由于机器人最后必须回到起点，可知此机器人一共转了360°，我们可以计算机器人所转的回数，即360°÷45°=8，则机器人的行走路线是沿着一个正八边形的边长行走一周，故机器人一共行走6×8=48m，根据时间=路程÷速度，即可得出结果.
本题解析： 依据题中的图形，可知机器人一共转了360°，
∵360°÷45°=8，
∴机器人一共行走6×8=48m．
∴该机器人从开始到停止所需时间为48÷0.2=240s．
15．65°
【解析】略
16．/度
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题，四边形内角和定理，三角形外角的性质．首先作点关于，的对称点，，延长到点，根据轴对称的性质可得，，，，由“两点之间线段最短”可知当，，，四点共线时，的周长最小，由四边形内角和为可得，再由三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，进行角的和差计算，即可得到答案．
【详解】解：如图，作点关于，的对称点，，延长到点，
∴，，
∴，，
的周长，
当，，，四点共线时，的周长最小，
，，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
17．52
【分析】先计算出正五边形的各个内角为：540°÷5=108°，再利用平角为180°，三角形的内角和，即可解答．
【详解】解：正五边形的内角均为：540°÷5＝108°，
∴∠BFG＝180°﹣∠AFJ﹣∠GFJ＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
∴∠BGF＝180°﹣∠B﹣∠BFG＝180°﹣108°﹣52°＝20°，
∴∠CGH＝180°﹣∠BGF﹣∠FGH＝180°﹣20°﹣108°＝52°，
故答案为：52．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，以及三角形的内角和，解决本题的关键是计算出正五边形的内角的度数．
18．
【分析】设多边形的边数为，由题意可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：设多边形的边数为，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，
多加外角的度数．
【点睛】本题考查了对变形的内角和公式，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
19．这两个多边形的边数分别是4和10.
【分析】根据题意可设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，再根据多边形的内角和公式列出关于x的方程，然后求解方程即可.
【详解】解：设一个多边形的边数为2x，另一个多边形的边数为5x，
根据题意可得（2x﹣2）·180°+（5x﹣2）·180°=1800°，
解得x=2，
故这两个多边形的边数分别是4和10.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，解此题的关键在于根据题意设出未知数，利用多边形的内角和公式列出方程求解.
20．(1)证明见解析
(2)，
(3)，
(4)所连接的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角.
【分析】（1）利用是正三角形，可得，，又因，所以，，所以；
（2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，，；
（3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，，．
（4）根据（1）（2）（3）的答案，总结归纳出结论即可；
【详解】（1）证明：∵是正三角形，
∴，.
在和中，，
∴.
∴.
又∵，
∴.
又∵，
∴.
（2）解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即；
（3）解：∵五边形是正五边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（4）解：所连接的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角.
【点睛】本题以正多边形为背景，以正三角形为切入点，通过对问题的类比、改造、延伸和拓展来检测分析问题、解决问题的能力.启示我们学习数学要在“做数学”，而不是“背数学”.
21．（1）十二边形；（2）五边形
【分析】（1）n边形的内角和可以表示成（n 2） 180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；
（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）设这个多边形是边形，根据题意得：
，
解得:．
故这个多边形是十二边形；
（2），
多边形的边数是:．
则这个多边形是五边形．
故这个多边形的边数为5．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n 2）×180°．
22．（1）走过的路径是一个边长为6的正六边形；（2）720°．
【详解】试题分析：1）利用外角和为360°计算出多边形的边数即可；
（2）利用内角和公式直接计算即可．
试题解析：（1）从A点出发，每走6m向左转60°，
走过的路径是一个边长为6的正六边形；
（2）正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°．
23．15.
【分析】设这个多边形的边数为，依据多边形的内角和与外角和之比是，即可得到的值．
【详解】解：设这个多边形的边数为，依题意得：
，
解得，
这个多边形的边数为15．
【点睛】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．
24．这个多边形的边数为11
【分析】根据多边形内角和公式和外角和，列式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
多边形的内角和是，
又多边形的外角和是，
，
解得：，是上述方程的解，
这个多边形的边数是11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和、外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和计算公式，外角和．
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