第六章平行四边形同步强化练习（含解析）

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第六章平行四边形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，直线和都经过正五边形的一个顶点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：
①线段MN的长；
②△PAB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤
4．如图，点P是内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是、、、，以下结论中正确的是（ ）
①
②若，则
③若，则
④如果P点在对角线BD上，则
⑤若，则P点一定在对角线BD上．
A．①③④ B．②③⑤ C．①④⑤ D．②④⑤
5．如图，为的角平分线，于为中点，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．下列条件中，不能断定四边形是平行四边形的为（ ）．
A． B．
C． D．
7．一个凸多边形除一个内角外，其余各内角的和为2570°，则这个内角的度数等于（ ）
A．90° B．105° C．130° D．120°
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（　　）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥
9．如图，下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（　　）

A． B．
C． D．
10．小华家装修房屋时，用相同边长的几种不同的正多边形砖铺地，顶点连着顶点，为铺满地面而不重叠，瓷砖的形状可能有（ ）
A．正三角形、正六边形 B．正三角形、正五边形、正八边形
C．正六边形、正五边形 D．正八边形、正三角形
11．如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E是BC边的中点,OE=1,则AB的长为（ ）
A．2 B．1
C． D．4
12．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是边的中点，连接．若∠ADC=∠EOC=45°，则的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
13．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点为的中点，的顶点在轴上，顶点在直线上，则的面积为 ．
14．如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，再前进4m到点C处后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 m．
15．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为10，则四边形ABCD的周长是 ．
16．平面直角坐标系中，平行四边形中，，，则点的坐标为 ．
17．已知正多边形的一个外角40°，若从这个正多边形的一个顶点出发，可以作 条对角线．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD的中点，延长BP交AC于点N，求证：AN＝AC．
19．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
20．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点．令，，．
(1)若点P在线段上，如图1所示，且，求的度数．
(2)若点P在边上运动，如图2所示，则，，之间有何关系？猜想并说明理由．
(3)若点P运动到边的延长线上，如图3所示，交于点M，，，之间的关系为__________．
21．如图, 在四边形ABCD中，∠ADB=90°，AD=12，DO=OB=5，AC=26，
(1)求BC的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
22．如图，□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．
（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；
（2）求证：AF=CD+CF．
23．如图，四边形是平行四边形．求：
（1）和的度数；
（2）和的长度．
24．有没有这样的平行四边形，它的两条对角线长分别为和，它的一边长为？为什么？
《第六章平行四边形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C C D C B A A
题号 11 12
答案 A D
1．B
【分析】本题考查正多边形的内角和、平行线的性质、三角形的内角和定理，求得正五边形的一个内角是解答的关键．先根据正多边形的内角和公式求得正五边形的内角，然后根据平行线的性质求得，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵五边形是正五边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，则，
由得，
故选：B．
2．C
【详解】如图所示：
构成的平行四边形有□ACBD，□ABCF，□ABEC，共3个平行四边形，故选C.
3．B
【详解】①、MN= AB，所以MN的长度不变，不符合题意；
②、周长C△PAB=（AB+PA+PB），变化，符合题意；
③、面积S△PMN= S△PAB=×AB·h，其中h为直线l与AB之间的距离，不变;，不符合题意
④、直线NM与AB之间的距离等于直线l与AB之间的距离的一半，所以不变，不符合题意；
⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB的大小在变化，符合题意．
故选B
4．C
【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，再根据三角形得面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据面积公式得，判断④；最后根据已证关系式得出，，判断⑤即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC．
设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是h1，h2，h3，h4，
则，，，．
∵，，
∴，
∴，
故①正确；
根据只能判断，不能判断，即不能判断，
∴②错误；
根据，能得出，不能得出，即不能判断，
∴③错误；
∵，
∴，
此时，
即点P一定在对角线BD上，
∴④正确；
由和，得，，
∴点P在BD上，
故⑤正确．
综上,结论正确的是①④⑤,
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解题的关键．
5．C
【分析】延长BE交AC于点G，可得△ABE≌△AGE，从而E是BG的中点，得到EF是△BCG的中位线，从而EF//GC，可得到∠EFD=∠C，即可求解．
【详解】如图，延长BE交AC于点G，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠GAE，
∵，
∴∠BEA=∠GEA=90°，
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴E是BG的中点，
∵F是BC的中点，
∴EF是△BCG的中位线，
∴EF//GC，
∴∠EFD=∠C=180°-∠BAC-∠ABC，
∵AD平分∠BAC，，
∴∠BAE =40°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=50°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=50°+20°=70°，
∴∠EFD=∠C=180°-80°-70°=30°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形内角和是解题的关键．
6．D
【分析】本题考查了平行四边形的判定理解，掌握平行四边形的几种判定方法是解题的关键．
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断A；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断B；根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形判断C；对于D，四边形可能等腰梯形．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
故不符合题意；
B、∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，故不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，故不符合题意；
D、∵，
∴，
∵，
∴四边形可能为等腰梯形，故不能证明为平行四边形，符合题意，
故选：D．
7．C
【分析】可设这是一个n边形，这个内角的度数为x度，利用多边形的内角和=(n 2) 180°，根据多边形内角x的范围，列出关于n的不等式，求出不等式的解集中的正整数解确定出n的值，从而求出多边形的内角和，减去其余的角即可解决问题．
【详解】解；设这是一个n边形，这个内角的度数为x度．
因为(n 2)180°=2570°+x，
所以x=(n 2)180° 2570°=180°n 2930°，
∵0∴0<180°n 2930°<180°，
解得：16又n为正整数，
∴n=17，
所以多边形的内角和为(17 2)×180 =2700 ，即这个内角的度数是2700 2570 =130 ．
故本题选C．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握相关内容是解题的关键．
8．B
【分析】根据平行四边形的判定方法分别对各个条件分别进行判定，即可得出结论．
【详解】解：①∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确；
②∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故②正确；
③∵AB∥CD，AD=BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故③不正确；
④∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确；
⑤∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AO=CO，
又∵OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，故⑤正确；
∵∠BCD+∠ADC=180°，
∴AD∥BC，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；
⑥∵∠DBA=∠CAB，
∴OA=OB，
∵AB∥CD，
∴∠DBA=∠CDB，∠CAB=∠ACD，
∵∠DBA=∠CAB，
∴∠CDB=∠ACD，
∴OC=OD，
不能得出四边形ABCD是平行四边形，故⑥不正确；
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；常用的平行四边形的判定方法有：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
9．A
【分析】根据平行四边形的判定方法即可求解．
【详解】解：、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”即可判断，可以判定，符合题意；
、，邻边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
、三边相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
、一次邻边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，不可以判定，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
10．A
【详解】A、正六边形和正三角形内角分别为120°、60°，由于120×2+60×2=360，故能铺满；
B、正三角形、正五边形、八边形内角分别为60°、108°、135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
C、正六边形、正五边形内角分别为120°、108°，显然不能构成360°的周角，故能铺满；
D、正八边形、正三角形内角分别为135°、60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满．
故选A．
11．A
【分析】首先证明OE是△BCD的中位线，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵BE=EC，
∴OE= CD，
∵OE=1，
∴AB=CD=2，
故答案为:A
【点睛】此题考查平行四边形的性质，三角形中位线定理，解题关键在于求出OE是△BCD的中位线
12．D
【分析】已知四边形ABCD是平行四边形，是边的中点，得OA=OC，OE∥AD，求得∠OEC=∠ADC=∠EOC=45°，即可得到度数．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
∵是边的中点
∴OE∥AD
∴∠OEC=∠ADC=∠EOC=45°
∴∠OCE=90°
∵AB∥CD
∴=∠OCE=90°
故选：D
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等；三角形中位线性质定理；利用三角形内角和求三角形内角．
13．2
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，根据一次函数解析式求出点的坐标为，得出，根据平行四边形的性质得出轴，求出点的坐标为，得出，根据平行四边形的面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵当时，，
∴点的坐标为，，
点为的中点，
，
四边形为平行四边形，点在轴上，
∴轴，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
，
．
故答案为：2．
14．72
【分析】根据多边形的外角和及每一个外角的度数，可求出多边形的边数，再根据题意求出正多边形的周长即可．
【详解】由题意可知，当她第一次回到出发点A时，所走过的图形是一个正多边形，
由于正多边形的外角和是360°，且每一个外角为20°，
360°÷20°＝18，
所以它是一个正18边形，
因此所走的路程为18×4＝72（m），
故答案为：72．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键．
15．20
【分析】证明，得到：，再利用△ABE的周长为10，证明，即可得到平行四边形ABCD的周长是20．
【详解】解：∵ABCD为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵△ABE的周长为10，
∴，即，
∴平行四边形ABCD的周长是20，
故答案为：20
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是理解平行四边形的性质，证明．
16．
【分析】本题主要考查了坐标平移，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标平移的特点，列出方程．
用平移点的坐标的方法，求点的坐标即可．
【详解】解：设点的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴经过平移可以与重合，
∵，，，
，，
解得：，，
∴点的坐标为；
故答案为：
17．6
【分析】利用多边形的外角和是，正多边形的每个外角都是，即可求出这个正多边形的边数，再根据边形从一个顶点出发可引出条对角线可求答案．
【详解】解：，
．
故这个正多边形从一个顶点出发可以作的对角线条数是6．
故答案为：6．
【点睛】主要考查了多边形的对角线，多边形的外角和定理，解题的关键是：边形从一个顶点出发可引出条对角线．
18．证明见解析.
【详解】试题分析：作DM∥BN交AC于M，根据等腰三角形的三线合一得到BD=DC，根据平行线等分线段定理得到NM=MC，AN=NM，证明结论．
试题解析：作DM∥BN交AC于M，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，又DM∥BN，
∴NM=MC，
∵点P是AD的中点，DM∥BN，
∴AN=NM，
∴AN=NM=MC，即AN=AC．
19．结论：OE=OF．理由见解析.
【详解】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：结论：OE=OF．
理由∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
20．(1)的度数为；
(2)
(3)
【分析】（1）由题意知，，，由，可得，整理得，，将代入，计算求解即可；
（2）由（1）可知，；
（3）由题意知，，，由，可得，整理即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
∵，
∴，整理得，，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，；
（3）解：由题意知，，，
∵，
∴，整理得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
21．(1)12
(2)120
【分析】（1）根据勾股定理求得OA的长，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等就可求得BC的长；
（2）根据平行四边形的面积公式可以求得它的面积．
【详解】（1）解：∵在△AOD中，∠ADO=90°，AD=12，OD=5，
∴，
∴CO=AC-AO=13，
∴OA=OC，
又∵OD=OB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12；
（2）解：由（1）得四边形ABCD是平行四边形，
∵BD=OD+OB=10，
∴
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
22．（1）20°；（2）见解析
【分析】(1)根据平行四边形的性质、平行线的性质证得；然后结合已知条件求得从而求得的度数；
(2)在AF上截取连接利用全等三角形的判定定理SAS证得 ≌，由全等三角形的对应角相等、对应边相等知；然后由中点E的性质平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质求得 最后根据线段间的和差关系证得结论．
【详解】(1)
（三角形内角和定理）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）．
（两直线平行，内错角相等）；
（已知），
（等量代换）．
即
(2)在AF上截取连接
∴ ≌，
又∵E为BC中点，
∵AB∥CD，
又
又
又
23．（1）；（2）25，30
【分析】（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案；
（2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ,
∵
∴
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键．
24．没有，理由见解析．
【分析】结合图形分析可知，，再利用三角形三边关系可知：，，即可解答．
【详解】解：不存在这样的平行四边形，理由如下：如图：
∵的两条对角线长分别为和，
假设，，
∴，，
利用三角形三边关系可知：，，
即，，
∴不存在一边长为的平行四边形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系，解题的关键是掌握平行四边形的性质，三角形三边关系．
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