第五章分式与分式方程同步强化练习（含解析）

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第五章分式与分式方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．函数中的自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．下列从左到右变形正确的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝x﹣y D．＝
4．某商店销售一种小电器，元月的营业额为元为了扩大销量，在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元，设元月每件小电器的售价为元，则可列方程为
A． B．
C． D．
5．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的方程的解为，则a应取值（ ）
A．4 B．3 C． D．
7．分式有意义的条件是( )
A． B． C． D．
8．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　）
A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5
10．若分式的值为零，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
11．若关于的一元一次不等式组的解集是，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．8 B．9 C．2 D．3
12．下列方程属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．分式的值为1，则=
14．当x 时，分式有意义；当x 时，分式的值为0．
15．在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的 ．
16．若关于x的方程+1=无解,则m= .
17．分式中，当 时，分式有意义．
三、解答题
18．【阅读理解】仔细阅读下面的材料并解答问题：例题：当取何值时，分式的值为正？
解：依题意得，则有①或②，
解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解，故．
所以当时，分式的值为正．
依照上面方法解答问题：
(1)当取何值时，分式的值为负？
(2)当取何值时，分式的值为负？
19．先化简，再求值：，其中x=+1．
20．某地区西瓜喜获丰收，有甲、乙两块面积相同的西瓜园，分别收获西瓜8000kg和10000kg，甲西瓜园比乙西瓜园平均每亩少100kg，问甲西瓜园平均每亩收获西瓜多少千克？
21．若a＞0，M＝，N＝，
(1)当a＝1时，M＝_____，N＝_____；当a＝3时，M＝_____，N＝_____；
(2)猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．
22．阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
【解析】
【详解】
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验：
都是方程的解，
∴当时，，解得；当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
(2)模仿上述换元法解方程：．
23．计算：
(1)；
(2)．
24．华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快销售完，问商厦这笔生意赢利多少元？
《第五章分式与分式方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D D B A B B C C
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了求函数的自变量的取值范围，根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组，解不等式，即可求解．
【详解】解：∵
∴且
故选：D．
3．D
【解析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】A、分式分子分母同时加2，该式左到右的变形不符合分式的基本性质，故本选项不符合题意；
B、分式分子分母同时乘以m，可能m=0，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、因式分解以后分子分母同时除以（x-y），答案应该是x+y，原变形错误，故本选项不符合题意；
D、该式左到右的变形正确，原变形正确，故本选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是正确理解和运用分式的基本性质，本题属于基础题型．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
4．D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元，再根据在月将每件小电器按原价的八折销售，销售量比元月增加了件，营业额比元月增加了元列出方程即可．
【详解】解：设元月每件小电器的售价为元，则2月每件小电器的售价为元，
由题意得，，
故选：D．
5．B
【分析】本题主要考查分式的性质．根据分式的性质进行计算可直接排除选项．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程，根据方程的解的定义，把代入方程，即可得到一个关于a的分式方程，求解检验即可．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：．
经检验是原方程的解，
，
故选：A．
7．B
【分析】根据分式的定义即可判断.
【详解】依题意得0，解得，故选B.
【点睛】此题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是熟知分式的性质.
8．B
【详解】解析：先对分子进行因式分解，然后根据分式乘法法则进行计算．．
答案：B
易错：D
错因：只消去了分母上的b，没有消去分子上的b．
满分备考：解决此类题目时，应先将分子、分母中能够因式分解的部分进行因式分解，然后再约去其中的公因式．
9．C
【分析】根据已知规定，可得；进而可以解决问题．
【详解】∵，，
∴；
∵，，
∴；
，
∴；
则
．
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
10．C
【分析】本题考查分式值为0的条件；先化简分式，然后根据分式值为0，则分子为0且分母不为0得出且，即可求出a的值．
【详解】解：
要使分式的值为零，则，
∴，
故选：C．
11．C
【分析】先解关于x的一元一次不等式组，再根据其解集是x≤a，得a小于5；再解分式方程，根据其有非负整数解，同时考虑增根的情况，得出a的值，再求和即可．
【详解】解：由不等式组
得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程得a-3+2=2y-2，
∴y=，
∵有非负整数解，
∴≥0，
∴-1≤a＜5，
a=1（舍，此时分式方程有增根），a=-1， a=3，（a=0，2，4时，y不是整数），
它们的和为2．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．B
【分析】根据分式方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、是整式方程，故本选项不符合题意；
B、是分式方程，故本选项符合题意；
C、是整式方程，故本选项不符合题意；
D、是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程是分式方程是解题的关键．．
13．
【分析】让所给代数式的值为1,列式求解即可．
【详解】解：=1
解得 x=
经检验：x=是原方程的解
故答案为：
【点睛】本题考查了分式的值，解题的关键是熟练的解分式方程．
14．
【分析】根据分式有意义的条件及分式值为0的计算方法解答．
【详解】解：由题意得，
解得x，
∴当x时，分式有意义；
由题意得，
解得x，
∴当x时，分式的值为0，
故答案为：，．
【点睛】此题考查分式有意义的条件：分式的分母不为0；分式值为0的条件：分子等于0，且分母不等于0，熟记各条件是解题的关键．
15．增根
【解析】略
16．-4
【分析】先把原分式方程去分母，整理得m+x＝﹣2，再根据分母为零，可列关于m的方程，解之即可．
【详解】解：去分母得5+m+x﹣2＝1，
整理得m+x＝﹣2，
∵关于x的方程无解，
∴x﹣2＝0，即x＝2，
∴m+2＝﹣2，
∴m＝﹣4．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的无解的情况，分式方程无解有两种情况：（1）分式方程有增根；（2）分式方程化为整式方程后，而整式方程无解，则分式方程无解，掌握分式方程无解的情况是解决本题的关键．
17．B≠0
【解析】略
18．(1)
(2)且
【分析】（1）由题意分式的值为负，此时要分两种情况讨论，然后再根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集；
（2）由题意分式的值为负，先对分母分解因式，再分两种情况讨论，然后根据求不等式的口诀，分别解出不等式组的解集；
【详解】（1）解：依题意，得，
则有①或②，
解不等式组①得：不等式无解；
解不等式组②得：，
不等式的解集是：，
当时，分式的值为负；
（2）解：，
，
依题意得，
，
则有①，或②，
解不等式组①得且，
解不等式组②得不等式组无解，
故且，
所以当且时，分式的值为负．
【点睛】本题主要考查分式的值为正的条件和解一元一次不等式组，注意分情况讨论．
19．，
【分析】先根据分式的混合运算的顺序，化简分式，再代入x值计算
【详解】解：原式=
当x=+1时，原式=．
【点睛】本题考查了学生对运算顺序的把握，先化简后代入计算是解决此题的关键
20．甲西瓜园平均每亩收获西瓜400千克．
【分析】根据关键描述语是：“两块面积相同的西瓜园”；等量关系为：甲西瓜园的面积=乙西瓜园的面积，设甲西瓜园平均每亩收获西瓜千克，列方程求解即可．
【详解】解：设甲西瓜园平均每亩收获西瓜千克，则乙西瓜园平均每亩收获西瓜千克．
由题意可列
解得
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，且符合实际意义，
答：甲西瓜园平均每亩收获西瓜400千克．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
21．(1)
(2)M【分析】（1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．
【详解】（1）当a=1时，
当a=3时，
故答案为：
（2）M∵
∴
∴
即
∴M【点睛】本题考查了分式的加减法和分式大小比较，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘；对于大小比较问题，方法为：①求商法，②求差法，③平方法等．
22．(1)，，或
(2)
【分析】（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得，根据换元法，可得答案．
【详解】（1）设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以得：，解得：或2，
经检验：和2都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得：．
经检验：和是原分式方程的解，
故答案为：，，或；
（2）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：．
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法，注意将所得的解代入分式方程检验分式方程是否有意义．
23．(1)5
(2)
【分析】（1）先计算乘方，并求绝对值，再计算加减即可；
（2）先运用积的乘方法则计算，再约分，然后运用负整指数幂法则计算．
【详解】（1）解：原式．
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，分式化简，熟练掌握实数的混合运算法则、分式运算法则、负整指数幂法则、零整指数幂法则是解题的关键．
24．商厦这笔生意赢利90260元
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即从上海买衬衫的花费÷件数-苏州买衬衫的花费÷件数=4元，卖出的衬衫的钱数=衬衫的单价×（苏州购进的件数+上海购进的件数-150件）+150件按原价八折买出的钱数，则这笔生意赢利=买出的衬衫的钱数-上海买衬衫的花费-苏州买衬衫的花费．
【详解】设从苏州购进x件衬衫，根据题意，得：
解得：x=2000．
经检验：x=2000是原方程的解．
（2000+4000-150）×58+150×58×0.8-（80000+176000）=90260（元）．
答：这笔生意赢利90260元．
【点睛】考查了分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．其中设那个未知量也是很关键的．
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