第一章三角的证明同步强化练习（含解析）

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第一章三角的证明
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，已知和都是等腰三角形，，交于点F，连接，下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点．若，，则线段的长为（ ）
A．3 B． C． D．
3．已知在中，，求证：．下面写出了用反证法证明该问题过程中的四个步骤：①所以，这与三角形内角和定理相矛盾；②所以；③假设；④那么由，得，即．这四个步骤正确的顺序是（ ）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①
4．等边三角形的边长为2，则它的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（　　）
A．105° B．115° C．120° D．130°
6．如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（ ）

A． B． C． D．无法确定
7．如图，等腰三角形的底边长为8，面积为24，腰的垂直平分线交边于点E，若D为边的中点，P为线段上一动点，则三角形的周长的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．如图，在直角三角形中，，的角平分线相交于点O，过点O作交的延长线于点F，交于点G，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
9．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：．乙同学：和互余．
丙同学：线段的长为点到直线的距离．
丁同学：直线与直线互相垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．下列三角形，不一定是等边三角形的是（　　）
A．三个角都相等的三角形
B．有两个角等于60°的三角形
C．边上的高也是这边的中线的三角形
D．有一个外角等于120°的等腰三角形
11．如图，在中，，点在边上，点在边上，于点，连接，若，则线段的长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
12．如图，已知：∠MON=30o，点A1、A2、A3在射线ON上，点B1、B2、B3…．．在射线OM上，△A1B1A2. △A2B2A3、△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=l，则△A6B6A7的边长为【 】
A．6 B．12 C．32 D．64
二、填空题
13．如图，在中，点D、E分别、上的点，与交于点O．给出下列三个条件：①；②；③．利用其中两个条件可以证明是等腰三角形，这两个条件可以是 ．
14．如图，已知，，，，则 ．
15．如图，墨汁遮住了三角形的一部分，则这个三角形可能是 ．（填其所有可能性的序号）
直角三角形；②等腰三角形；③钝角三角形；④等边三角形
16．如图，将三角形纸片折叠，使点，都与点A重合，折痕分别为，，已知，，则的度数为 ．
17．在平面直角坐标系中，，，点为轴上一点，则的最小值为 ．
三、解答题
18．如图，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高．标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段．
19．小明向东走后，沿另一方向又走了，再沿第三个方向走回到原地．小明向东走后是向哪个方向走的？
20．综合与实践：
已知点D为等边△ABC 的边AB所在直线上一动点（点D与点A和点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接 AE．
操作发现：
（1）如图1，点D在边AB上，则 AE与BD 有怎样的数量关系？ 说明理由；
类比猜想：
（2）如图2，若点D在边BA延长线上，则 AE与BD有怎样的数量关系？ 说明理由；
拓广探究：
（3）如图3，点D在边AB上，以CD为边分别在CD下方和上方作等边△CDF 和等边△CDE，连接 AE，BF，直接写出AE，BF与 AB的数量关系．
21．如图在△ABC中，，D是BC的中点，，，点E、F分别为垂足．
(1)求证：△DEF是等腰三角形．
(2)当的度数为______时，△DEF是等边三角形．
22．如图，中，，，点O在边上运动（O不与B、C重合），点D在线段上，连结，．点O运动时，始终满足．
(1)当时，判断的形状并说明理由；
(2)当的最小值为2时，此时 ；
(3)在点O的运动过程中，的形状是等腰三角形时，求此时的度数．
23．如图，点P是的外角的平分线上的一点，垂直平分，，求证：．
24．如图所示，点、、、在同一直线上，，，连接、，且，，求证：．
《第一章三角的证明》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C A B A D A C C
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】①证明△BAD≌△CAE,再利用全等三角形的性质即可判断；②由△BAD≌△CAE可得∠ABF=∠ACF，再由∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF证得∠BFC=90°即可判定；③分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE,根据全等三角形面积相等和BD=CE，证得AM=AN,即AF平分∠BFE,即可判定；④由AF平分∠BFE结合即可判定．
【详解】解：∵∠BAC=∠EAD
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD,即∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
AB=AC, ∠BAD=∠CAE,AD=AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
故①正确；
∵△BAD≌△CAE
∴∠ABF=∠ACF
∵∠ABF+∠BGA=90°、∠BGA=∠CGF
∴∠ACF+∠CGF=90°,
∴∠BFC=90°
故②正确；

分别过A作AM⊥BD、AN⊥CE垂足分别为M、N
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE,
∴
∵BD=CE
∴AM=AN
∴平分∠BFE，无法证明AF平分∠CAD．
故③错误；

∵平分∠BFE，
∴
故④正确．
故答案为C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质以及角的和差等知识，其中正确应用角平分线定理是解答本题的关键．
2．A
【分析】由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，过D点作DH⊥AB于H点，根据全等证明出BC=BH,设DC=DH=x则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，在Rt△ADH中，由勾股定理得到 ，由此即可求出x的值．
【详解】解：由尺规作图痕迹可知，BD是∠ABC的角平分线，
过D点作DH⊥AB于H点，
∵∠C=∠DHB=90°，
∴DC=DH，
，
∵∠C=∠DHB=90°，∠HBD=∠CBD，BD=BD
∴△BHD≌△BCD（AAS）
∴ BC=BH
设DC=DH=x，则AD=AC-DC=8-x，BC=BH=6，AH=AB-BH=4，
在Rt△ADH中，由勾股定理：，
代入数据：，解得，故，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，在角的内部角平分线上的点到角两边的距离相等，勾股定理等相关知识点，熟练掌握角平分线的尺规作图是解决本题的关键．
3．C
【分析】由反证法的证明步骤进行判断即可．
【详解】解：反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论；
由反证法的证明步骤可知，用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤应该为：
（1）假设；
（2）那么，由，得，即；
（3）所以，这与三角形内角和定理相矛盾；
（4）所以；
原命题的正确顺序应该为：③④①②．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用反证法证明命题的步骤，反证法的证明步骤：（1）假设；（2）合情推理；（3）导出矛盾；（4）得出结论．掌握反证法的基本步骤是解决问题的关键．
4．A
【分析】过点C作CD⊥AB，根据等腰三角形的三线合一，可得AD=1，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的长，代入三角形面积计算公式即可；
【详解】解：过C点作CD⊥AB于D，
∵△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=2，
∴AD=，
∴在直角△ADC中，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质及勾股定理的应用，根据题意，画出图形可利于解答，体现了数形结合思想．
5．B
【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可．
【详解】解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图：
此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
在△ABG和△AB′G中，
，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G， AB＝AB′，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
在△ABE′和△AB′E′中，
，
∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），
∴∠AE′B＝AE′B′，
∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°，
∴∠AE′B＝115°．
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．
故选B．
【点睛】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．
6．A
【分析】角平分线的性质；过点作于点．根据角平分线的性质可得，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】试题分析：如图，过点作于点．
，
．
．
又，
．
故选：A．
7．D
【分析】连接，则，从而可得的周长等于，根据两点之间线段最短可得的周长的最小值等于，再根据三角形的面积公式、等腰三角形的性质可得，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，
为等腰三角形的底边的中点，且，
，
的面积为24，
，即，
解得，
是的垂直平分线，
，
的周长等于，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，最小，最小值为的长，
则的周长的最小值等于，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
8．A
【分析】根据角平分线的定义、三角形外角的性质与直角三角形性质可以判断①是否正确；延长交于H，通过证明，，利用全等的性质来判断②是否正确；通过证明，利用性质判断③是否正确；根据同高的两个三角形的面积比等于它们的底边长之比，直接判断④是否正确；从而得解．
【详解】解：的角平分线相交于点O，
，，
===
故①正确；
延长交于H，如图所示：
，
又，
，
，
，
，
，，
，
故②正确；
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，
故③错误；
同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，
，
故④正确；
因此正确的有：①②④；
故选A．
【点睛】此题是直角三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、同高的两个三角形面积之比等于底边长之比等知识，熟练运用这些性质进行推理是解题的关键．
9．C
【分析】本题考勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，连接，根据网格特点，结合勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离，以及平行线的性质，进行判断即可．
【详解】解：连接，
由图可知：，故甲同学说法正确；
由勾股定理，得：，
，
∴，
∴不是直角三角形，是直角三角形，
∴和不是互余关系，故乙同学说法错误，
∴，
∴线段的长为点到直线的距离；故丙同学说法正确；
∵，
∴，
∴直线与直线互相垂直；故丁同学说法正确；
∴结论正确的有3个．
故选C．
10．C
【分析】根据等边三角形的性质判断即可；
【详解】三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意；
有两个角等于60°的三角形是等边三角形，故B不符合题意；
边上的高也是这边的中线的三角形有可能是等腰三角形，故C不一定是等边三角形；
有一个外角等于120°的等腰三角形，则是有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．
11．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握其判定的方法和性质是解题的关键．
根据题意，可证，得到，则有，再证，得到，由，即可求解．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：B ．
12．C
【详解】解：如图，∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°．
∴∠2=120°．
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°－120°－30°=30°．
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°－60°－30°=90°．
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1．
∴A2B1=1．
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°．
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3．
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°．
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3．
∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16．
以此类推：A6B6=32B1A2=32，即△A6B6A7的边长为32．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等．
13．①③或②③
【分析】根据全等三角形和等腰三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】当、时
在和中
∴
∴，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即①③可以证明是等腰三角形；
当、时
在和中
∴
∴，，
∵，
∴
在和中
∴
∴是等腰三角形，即②③可以证明是等腰三角形；
故答案为：①③或②③．
【点睛】本题考查了全等三角形、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、等腰三角形的性质，从而完成求解．
14．
【分析】过点A作AE⊥CD交于点E，则根据题意易得△ABC是等边三角形，则有BC=AC，∠BCA=60°，进而可得∠BCD=90°，然后根据30°角的直角三角形的性质及勾股定理可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD交于点E，如图所示：
∵，，
∴△ABC是等边三角形，
∴，∠BCA=60°，
∵，，
∴，
∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90°，
∴∠ACE=30°，
∴，
∴，
∴ED=5，
∴在Rt△AED中，；
故答案为．
【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理及其逆定理，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定及勾股定理及其逆定理是解题的关键．
15．②③
【解析】略
16．60°/60度
【分析】由折叠的性质得出，得出，由等腰三角形的性质得出，证出是等边三角形，得出结果．
【详解】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：60°．
【点睛】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质,根据折叠的性质得出相等的边和角，是解题关键．
17．/
【分析】先确定点C的位置，再根据直角三角形的性质定理和勾股定理分别求出，，最后根据求出答案．
【详解】解：过点A作直线，使，过点B作，与y轴交于点C，可知 最小，最小值为长，
因为，，，
所以，，
∴，则，
∴，
∴，
则，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理等，确定点C的位置是解题的关键．
18．∠B=∠C=45°，∠BAD=∠DAC=45°，AB=AC，AD=BD=CD．
【分析】由等腰直角三角形的性质可分别求得∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，再利用等腰三角形的性质可求得AB=AC、BD=AD=CD．
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=45°，
∴AB=AC，AD=BD=CD．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质和判定，掌握“等边对等角”和“等角对等边”是解题的关键．
19．向北或向南
【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
【详解】解：如图，AB=80m，BC=BD=60m，AC=AD=100m，
根据602+802=1002得：∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后是向北或向南走的．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形，难度中等．
20．（1），理由详见解析；（2），理由详见解析；（3）．
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，再求出，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）证明方法同（1）；
（3）先证明△ACD≌△BCF，所以AD＝BF，由（1）知：AE＝BD，相加可得结论．
【详解】解：（1），理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，．
∴．
即．
在和中，
∴≌（）
∴．
（2），理由如下：
∵和都是等边三角形，
∴，，．
∴．
即．
在和中，
∴≌（）
∴．
（3）．理由是：
∵△ABC和△CDF都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，
∴∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴AD＝BF，
由（1）知：AE＝BD，
∴AB＝BD＋AD＝AE＋BF．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟记等边三角形的性质求出三角形全等的条件是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)120°
【分析】（1）根据题目条件利用AAS证明△BED△CFD，得到ED=FD，即可证明△DEF是等腰三角形．
（2）把△DEF是等边三角形当成已知条件，得到∠EDF=60°，推出∠B+∠C=60°，即可求出∠A的度数．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵，，
∴∠BED=∠DFC=90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED△CFD（AAS），
∴ED=FD，
∴△DEF是等腰三角形．
（2）解：∵△DEF是等边三角形，
∴∠EDF=60°，
∴∠EDB+∠FDC=120°，
∵∠B+∠BED+∠EDB+∠FDC+∠DFC+∠C=360°，
∴∠B+∠C=60°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=120°.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的判定，等边三角形的性质，三角形的内角和．熟练掌握判定方法和性质是解题的关键．
22．(1)直角三角形
(2)3
(3)的度数是60°或105°
【分析】（1）证明即可解答；
（2）根据垂线段最短可知时，的值最小，求出，的值即可解答；
（3）分三种情况，由等腰三角形的性质分别求出的度数即可．
【详解】（1）解：为直角三角形，理由如下，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为直角三角形．
（2）解：当时，的值最小，如图，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
（3）解：的形状可以是等腰三角形，理由如下，
分三种情况：
①时，，
∴；
②时，，
∴；
③时，，
∴，点O与C重合，不合题意，
综上所述，的度数是60°或105°．
【点睛】本题考查三角形综合题，涉及等腰三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
23．见解析
【分析】作于点H，由角平分线的性质得，由线段的垂直平分线的性质得，即可证明得即可．
【详解】证明：如图：作于点H，
∵是的平分线，，
∴，
∵垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等、线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
24．见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，欲证明，只要证明即可，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
【详解】证明：，
，
，，
∴，
在和中
，
，
．
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