1.2直角三角形同步强化练习（含解析）

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1.2直角三角形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，与相交于点P，则的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．下面四组数中是勾股数的一组是（　　）
A．4，5，6 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26
5．若三角形的三边是①1、、2；②，；；③32，42，52；④9，40，41；⑤(m＋n)2－1，2(m＋n)，(m＋n)2＋1，则构成的是直角三角形的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．如图，，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的（ ）

A．北偏东40° B．北偏东50° C．东偏北60° D．东偏北70°
8．如图，直线于点 D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
10．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为（ ）．
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，BC=BD，DE⊥AB交AC于点E，△ABC的周长为12，△ADE的周长为6，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．甲，乙两艘客轮同时从港口出发，甲客轮沿北偏东的方向航行到达点处，乙客轮在同一时刻到达距离港口的点处，若，两点间的距离为，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东 B．南偏西 C．北偏西 D．南偏西
二、填空题
13．如图，在正方形网格中，若小方格的边长均为，则是 三角形．

14．在某港口有甲乙两艘渔船，若甲沿北偏东60°方向以每小时8海里的速度前进，同时，乙船沿南偏东角度以每小时15海里速度前进，2小时后，甲乙两船相距34海里，那么，乙船航行的方向是南偏东 度．
15．已知两条线段的长为和，当第三条线段的长为 时，这三条线段能组成一个直角三角形.
16．将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．
17．如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是 ．
三、解答题
18．已知中，是角平分线，他们相交于P，于P交的延长线于F，交于H．
(1)求的度数；
(2)求证：；
(3)连接，是否存在数m，使得？若存在，求出m；若不存在，说明理由．
19．龙梅和玉荣是草原上的好朋友，可是有一次经过一场争吵之后，两人不欢而散，龙梅的速度是米/秒，4分钟后她停了下来，觉得有点后悔了，玉荣走的方向好像是和龙梅成直角，她的速度是米/秒，如果她和龙梅同时停下来，而这时候她俩正好相距200米，那么她走的方向是否成直角？如果她们现在想讲和，那么原来的速度相向而行，多长时间后能相遇？.
20．如图，在中，，于E，，，点F在边上，连接．
(1)若，试说明．
(2)在（1）的条件下，若，求的长（用含m，n的代数式表示）．
21．根据下列条件，判断以为边的三角形是不是直角三角形．
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
22．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)直接写出线段、的长度；
(2)在图中画线段，使得；
(3)请判断、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
23．已知，中，，，．
(1)如图1，若点D是AB的中点，且，求的度数；
(2)如图2，若点E是AB边上的动点，求线段CE的最小值．
24．如图所示，在中，已知于D，于E，，，求的大小．

《1.2直角三角形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D B B B B D B C
题号 11 12
答案 A A
1．C
【分析】根据各类三角形的概念即可解答.
【详解】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系．
故选C．
【点睛】本题考查各种三角形的定义，要明白等边三角形一定是等腰三角形，等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形.
2．D
【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答．
【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图
符合条件的格点C的个数是6个
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
3．D
【分析】取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，先证得，求得，再根据题意证得即可求解．
【详解】解：取格点，连接、，设网格中每个小正方形的边长为1，
则，，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
由题意知，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了网格问题中解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．
4．B
【详解】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数解答可得：
A、42+52≠62，不能构成勾股数，故错误；
B、62+82=102能构成勾股数，故正确误；
C、52+112≠122不能构成勾股数，故错误；
D、102+202≠262不能构成勾股数，故错误；
故选B．
5．B
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）首先求得每条边的长的平方，判断是否满足两个的和等于第三边的和即可判断．
【详解】解：（1））∵12+（）2=22，
∴构成直角三角形；
（2）∵（）2+（）2≠（）2，
∴不能构成直角三角形；
（3）∵（22）2+（42）2≠（52）2，
∴不能构成直角三角形；
（4）∵92+402=412，
∴三角形是直角三角形；
（5）∵[（m+n）2-1]2+[2（m+n）]2=[（m+n）2+1]2，
∴三角形是直角三角形．
故构成直角三角形的有（1）（4）（5）共3个．
故选B．
【点睛】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．B
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．
【详解】解：，
，
为直角三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形．
7．B
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出40°的余角即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
由题意得：，
∴点B在点O的北偏东50°方向，
故选：B．
【点睛】本题考查勾股定理逆定理，与方向角有关的计算．解题的关键是利用勾股定理逆定理得到．
8．D
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据再根据垂直的定义得，求得，再根据平行线的性质得，则有，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出．
【详解】解：延长，与交于点，

∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】连接，先利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再由的面积减去的面积就是所求的面积，即可．
【详解】解：如图，连接．
在中，∵，
∴，
又∵，
∴是直角三角形，
∴这块地的面积 ．
故答案为：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形是解题的关键．
11．A
【分析】先根据角平分线的性质得到ED＝EC，再证明Rt△BED≌Rt△BEC得到DE＝CE，接着利用三角形周长和等线段代换得到AD＋AC＋2BC＝12和AD＋AC＝6，所以6＋2BC＝12，从而得到BC的长．
【详解】解：连接BE，
∵DE⊥AB
∴∠BDE=90°，
在Rt△BED和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BED≌Rt△BEC（HL），
∴DE＝CE，
∵△ABC的周长为12，
∴AB＋AC＋BC＝12，
即AD＋AC＋2BC＝12，
∵△ADE的周长为6，
∴AD＋DE＋AE＝6，
即AD＋EC＋AE＝6，
∴AD＋AC＝6，
∴6＋2BC＝12，
∴BC＝3．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握HL证明全等是解答此题的关键．
12．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，根据题意可得，，再利用勾股定理的逆定理证明△AOB是直角三角形，从而求出∠，然后分两种情况，画出图形，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得，，，
，，
，
，
分两种情况：
如图1，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东，
如图2，
，
乙客轮离开港口时航行的方向是：北偏西 ，
综上所述：乙客轮离开港口时航行的方向是：南偏东或北偏西，
故选：A．
13．直角
【分析】根据勾股定理和结合正方形网格分别求出、、的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状．
【详解】解：依题意，根据勾股定理得，
，
，
；
∵
∴，
∴，
∴是直角三角形．
故答案为：直角
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，充分利用网格是解题的关键．
14．30
【分析】首先根据速度和时间计算出AO、BO的路程，再根据勾股定理逆定理证明∠AOB=90°，进而可得答案．
【详解】解：由题意得：
甲船的路程：AO=8×2=16，
乙船的路程：BO=15×2=30，
∵302+162=342，
∴∠AOB=90°，
∵AO是北偏东60°方向，
∴BO是南偏东30°．
故答案为：30．
【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及方向角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
15．13或
【分析】已知直角三角形的二边求第三边时，一定区分所求边是直角三角形的斜边和直角边二种情况下的结果，然后根据勾股定理解答．
【详解】解：根据勾股定理，当12为直角边时，第三条线段长为=13；
当12为斜边时，第三条线段长为=；
故答案为13或．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并正确运用勾股定理逆定理是解题的关键，注意要分两种情况讨论．
16．25°
【分析】先根据等边对等角算出∠ACB=∠B=45°，再根据直角三角形中两个锐角互余算出∠F=60°，最后根据外角的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠ACB=∠B=45°．
∵∠EDF=90°，∠E=30°，
∴∠F=90°﹣∠E=60°．
∵∠ACE=∠CDF+∠F，∠BCE=40°，
∴∠CDF=∠ACE﹣∠F=∠BCE+∠ACB﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及外角的性质，解题的关键是要合理的运用外角和计算的时候要细致认真．
17．15
【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积．
【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE=AB=5，∠BAD=∠E，
∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13，
∴CE2+AE2=AC2，
∴∠E=90°，
∴∠BAD=90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积=AD AB=15．
故答案为15．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形．
18．(1)
(2)见解析
(3)存在．．理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的性质以及角平分线的定义，求解即可；
（2）通过证明和，即可求证；
（3）连接，通过全等三角形的性质，找到面积之间的关系即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
又∵、分别平分、，
∴，
∴
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴
（3）解：存在．．
理由：连接
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及三角形面积，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
19．她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．
【分析】首先分别计算出龙梅和玉荣走的路程，进而计算得出她们走的路程长度、她们之间的距离满足勾股定理，所以她们走的方向成直角，要计算她们相遇的时间，用总路程除以她们的速度和即可．
【详解】解：龙梅走的路程：×4×60=120（米），
玉荣走的路程：×4×60=160（米），
∵1202+1602=2002，
∴她们走的方向成直角，
以原来的速度相向而行相遇的时间：200÷（+）=200÷ = =171（秒）；
答：她们走的方向成直角，如果她们想讲和，按原来的速度相向而行，171秒后能相遇．
【点睛】本题考查勾股定理的逆运用，熟练掌握相关定理是解题关键．
20．(1)见解析
(2)的长为．
【分析】（1）由“”可证，可得，即可求解；
（2）由可知：，设，利用列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．(1)是直角三角形
(2)不是直角三角形
(3)是直角三角形
【分析】（1）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（2）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
（3）直接利用勾股定理逆定理进行判断即可；
【详解】（1）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形；
（2）∵，即较小的两边的平方和不等于最长的边的平方，
∴以a，b，c为边的三角形不是直角三角形；
（3）∵，
∴以a，b，c为边的三角形是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是牢记“如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”．
22．(1)；
(2)见解析
(3)能，理由见解析
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，利用网格的性质解题是关键．
（1）结合网格的特点，利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理画出；
（3）利用勾股定理得逆定理，即可判断三角形．
【详解】（1）解：由网格可知，，；
（2）解：如图，，即即为所求作；
（3）解：以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下：
，，，且，
，
以、、三条线段能构成直角三角形．
23．(1)；
(2)线段的最小值为4.8．
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而得出，再利用直角三角形的两个锐角互余可得求出的度数，最后根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等腰三角形的性质即可解答；
（2）直接利用面积法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
的度数为；
（2）解：如图：当时，线段最小，
的面积，
，
，
，
线段的最小值为4.8．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理，以及垂线段最短．
24．
【分析】利用垂线的定义，可得出，再求出的度数，在中，结合，可得出的度数，再根据平角定义即可得答案．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及邻补角，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
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