1.3线段的垂直平分线同步强化练习 北师大版数学八年级下册

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1.3线段的垂直平分线
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中真命题有（　　）个．
①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形；
②等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一；
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ABC的周长等于16，△ADC的周长为9，那么线段AE的长等于（ ）.
A．3 B．3.5 C．5 D．7
3．如图，在中，垂直平分，在中，垂直平分，若，，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．18 D．24
4．已知：直线AB和AB上一点C（图3－44）．
作法：作平角ACB的平分线CF．
CF就是所求的垂线．
这个作图是（ ）
A．平分已知角 B．作一个角等于已知角
C．过直线上一点作此直线的垂线 D．过直线外一点作此直线的垂线
5．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△ADC的周长为（　　）
A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm
6．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC=1.6cm,BD=2.3cm,则四边形ABCD的周长是【 】
A．3.9cm B．7.8cm C．4cm D．4.6cm
7．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧相交于点P和点O，作直线交于点E，交于点D，若，，则的周长为（　　）

A．9 B． C．13 D．18
8．如图，已知直线l及直线外一点P，观察图中的尺规作图痕迹，则下列结论不一定成立的是　　
A．PQ为直线l的垂线 B． C． D．
9．如图，在中，DE垂直平分BC，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，如图，中，，，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．12cm
11．如图，∠ABC＝50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是（ ）
A．50° B．25° C．80° D．115°
12．如图，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( )
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题
13．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AB和AC，交BC于点D，E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数= ．
14．如图，，，这个图形叫做“筝形”，数学兴趣小组几名同学探究出关于它的如下结论：

①；②；③；④.其中正确结论的序号是 .
15．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= cm．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于点D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是 cm．
17．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O．若的周长为，的周长为，则点O、A之间的距离为 ．

三、解答题
18．证明定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．已知：如图，A为线段外任意一点，且．求证：点A在的垂直平分线上．
19．如图，△ABC中，AC=10，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点E、D；
（1）如果△BCD的周长为16，求BC的长；
（2）如果BC=8，求△BCD的周长.
20．如图，E为△ABC边BC的中点，DE⊥BC，交△ABC的外角∠BAM的平分线于点D，DF⊥AB于F，且AB＞AC．
(1)求证：CD＝BD；
(2)求证：BF＝AC+AF；
(3)求证：∠MAD＝∠DCB．
21．如图，在中，，．作线段的垂直平分线，与交于点D，与交于点E（保留作图痕迹，不要求写作法）．

22．如图，在中，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，是直线上的动点．
(1)当时，
①若，则点到的距离为________；
②若，，求的周长；
(2)若，且的面积为40，求周长的最小值．
23．如图所示，在中，，，的面积是，的垂直平分线分别交，边于E，F两点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，求周长的最小值．
24．如图所示，村庄，分别在笔直公路的两侧．一辆汽车在公路上行驶，汽车在什么位置时到，两村庄的距离相等？请找出这个点，并说明理由．
《1.3线段的垂直平分线》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C B B C C A B
题号 11 12
答案 D B
1．C
【分析】利用等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题，符合题意；
②等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线三线合一，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，正确，是真命题，符合题意；
④线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，符合题意，
真命题有3个，
故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等边三角形的判定方法、等腰三角形的性质、直角三角形的性质及线段的垂直平分线的性质，难度不大．
2．B
【详解】∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN．
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=BE，
∵△ADC的周长为9，
∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=9，
∵ABC的周长等于16，
∴△A BC的周长为AC+BC+AB=9+ AB =16．
∴AB=7，
∴AE=BE=3.5.
故选B．
点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．
3．C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质及三角形周长定义求解即可，熟练运用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵垂直平分，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴的周长，
故选：C．
4．C
【详解】这个作图题属于基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线．
故选C．
点睛：本题主要考查了作图—基本作图中的过直线上一点作此直线的垂线，问题简单易解．
5．B
【详解】试题解析：∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．
故选B.
6．B
【详解】因为CD是AB的垂直平分线，所以CA=CB，DB=DA.
因为AC=1.6,BD=2.3，所以CB=1.6，DA=2.3.
则四边形ABCD的周长是：AC+CB+BD+DA=2（1.6+2.3）=7.8.
故选B.
7．C
【分析】根据作图过程得到垂直平分，根据垂直平分线的性质得到，再将的周长转化为，代入计算即可．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质以及其基本作图，进而分析得出答案．
【详解】由作图方法可得出PQ是线段AB的垂直平分线，则PQ为直线l的垂线，故选项A正确，不合题意；
CA=CB（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等），故选项B正确，不合题意；
无法得出PO=QO，故选项C错误，符合题意；
可得PA=PB，PQ⊥AB，则∠APO=∠BPO，故选项D正确，不合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了基本作图，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
9．A
【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∴∠BDE=∠CDE=64°，
∴∠ADB=180°-64°-64°=52°，
∵∠A=28°，
∴∠ABD=180°-28°-52°=100°．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．
10．B
【分析】如图：：连接，再求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可解答．
【详解】解：连接，
∵的垂直平分线交于M交于E，的垂直平分线交于点N，交于点F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线性质、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
11．D
【详解】因为AD垂直且平分BC，所以EB=EC，所以∠EBC=∠C.
因为BE平分∠ABC，所以∠ABC=2∠EBC=50°，所以∠EBC=25°，所以∠C=25°.
所以∠AEC=∠C+∠EDC=25°+90°=115°.
故选D.
点睛：本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，直角三角形的两个锐角互余，再结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解.
12．B
【详解】解：∠B=∠DCB=∠BDC=∠CDE=∠ADE=60° 共5个角为60°
故选B．
13．110°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵DM，EN分别垂直平分AB和AC，
∴DA=DB，EA=EC，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∠DAB+∠B+∠EAC+∠C+∠DAE=180°，
则2（∠B+∠C）=140°，
解得，∠B+∠C=70°，
∴∠BAC=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．①②③
【分析】先通过“”判定两三角形全等，再利用线段垂直平分线的判定和性质即可得到正确结论．
【详解】解：在和中，
，
∴，故①正确；
∵，
∴垂直平分，
∴，，
故②③正确；
由已知和图形无法判断，
故④错误；
故答案为：①②③．
【点睛】该题考查了 全等三角形的判定和线段的垂直平分线的判定与性质，解决本题的关键是牢记相关概念，该题较基础，考查了学生对教材基础知识的理解与应用，以及学生的推理分析的能力．
15．16
【分析】首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长-△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可．
【详解】解：DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE；
∵△ABC的周长=AB+AC+BC，
△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，
∴AB=△ABC的周长 △EBC的周长，
∴AB=40 24=16(cm)．
故答案为16．
16．26
【详解】解：如图，连接BD．
∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC，
∵AC=16cm，BC=10cm，
∴△BCD的周长=10+16=26cm．
故答案为26．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
17．5
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得出，结合的周长为，推出，再根据的周长为，得出，最后根据垂直平分线的性质推出，即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，是的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：5．

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两边距离相等．
18．见解析
【分析】作于点D，证明，得到，，进而得到直线是线段的垂直平分线即可得到结论；
【详解】证明：如图，作于点D，
∵，
∴，
在和中，
∴．
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴点A在的垂直平分线上．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质及线段垂直平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．（1）6；（2）18
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质易得AD=BD，结合△BCD的周长为16得到BC+BD+DC=16，于是有BC+AC=16，进而求出BC的长；
（2）根据线段垂直平分线的性质可知AD=BD，于是有BD+DC=AD+DC=AC=10.再根据△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+AC，就能确定△BCD的周长.
【详解】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC +BC=16，
∵AC=10，
∴BC=6；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=10，BC=8，
∴△BCD的周长= BC+BD+DC=BC+AC=10+8=18.
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、三角形的周长计算.
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的性质即可证明；
（2）过点D作DN⊥MC于点N，证明△AFD≌△AND，△BFD≌△CND，即可证明BF＝CN＝AC+AN＝AC+AF
（3）根据△BFD≌△CND，可得∠3＝∠4，根据等边对等角可得∠5＝∠DBC，等量代换可得∠1＝∠5，即∠MAD＝∠DCB．
【详解】（1）证明：∵E为△ABC边BC的中点，DE⊥BC，
∴CD＝BD；
（2）证明：过点D作DN⊥MC于点N，
∵AD为∠BAM角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵DN⊥MC，DF⊥AB，
∴∠AFD＝∠AND，
在△AFD和△AND中，
，
∴△AFD≌△AND（AAS），
∴AF＝AN，DF＝DN，
∵∠BFD＝∠CND＝90°，
在Rt△BFD和Rt△CND中，
，
∴△BFD≌△CND（HL），
∴BF＝CN＝AC+AN＝AC+AF．
∴BF＝AC+AF．
（3）证明：∵△BFD≌△CND，
∴∠3＝∠4，
∵∠1+∠2＝∠ACB+∠ABC＝∠5+∠3+∠ABC，
∴2∠1＝∠5+∠4+∠ABC＝∠5+∠DBC，
∵CD＝BD，
∴∠5＝∠DBC，
∴2∠1＝2∠5，
∴∠1＝∠5，
即∠MAD＝∠DCB．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，等腰三角形的性质与判定，等边对等角，HL证明三角形全等，掌握以上知识是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的作法，按照线段垂直平分线的作法作答即可．
【详解】如图所示，即为所求．

22．(1)，
(2)
【分析】（1）本题主要考查等腰三角形的三线合一性质即等边三角形的判定，根据，是的中点，可以判定，A，M，D三点共线，即平分，根据角平分线的性质，可以求出点到的距离，
其次，可以判定，再根据后，可以判定是等边三角形，进而去求周长．
（2）本题主要考查利用轴对称性求周长最小值，由于为定值，只要满足最小即可，利用垂直平分线，转化成求最小，即，最后求出周长最小值．
【详解】（1）①解：∵，是的中点；
∴处垂直平分；
连接；
∵；
∴，，三点共线；
即平分；
∵，；
∴到的距离为1．
②解：由题可知；
∵；
∴；
∴是等边三角形；
∵；
∴；
∴周长为18．
（2）解：∵；
∴；
∵垂直平分；
连接；
∴；
即;
∵；
∴；
即只需求出长即可；
∵；
∴=10；
∴周长的最小值为．
23．
【分析】本题考查等腰三角形的性质及垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质及面积求出，结合垂直平分线的性质找到最小距离点即可得到答案
【详解】解：如图13-4-12所示，连接，，
∵，
∴是等腰三角形．
又∵点D为边的中点，
∴，，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴．
∴，
∴的长为的最小值，
∴周长的最小值为．
24．位置见解析，理由见解析
【分析】结合题意，根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等的性质分析，即可得到答案．
【详解】如图，连接，作线段的垂直平分线，且交公路与点，点即为所求，
理由：∵点C是线段AB垂直平分线上的点，
∴CA=CB．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，从而完成求解．
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