3.2图形的旋转同步强化练习（含解析）

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3.2图形的旋转
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图（1），已知两个全等三角形的直角顶点及一条直角边重合．将△ACB绕点C按顺时针方向旋转到的位置，其中交直线AD于点E，分别交直线AD、AC于点F、G，则在图（2）中，全等三角形共有（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
2．如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ）
A．45 B．60 C．72 D．144
3．平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，4），将线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点的坐标是（ ）
A．（4，－3） B．（－4，3） C．（3，－4） D．（－3，4）
4．如图，将三角形绕点A旋转到三角形，下列说法正确的个数有（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，∠A′B′C′可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（　　）
A．4 B．6 C．3 D．3
6．如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（ ）
A． B．
C． D．
7．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
8．如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
9．下列物体的运动不是旋转的是（ ）
A．坐在摩天轮里的小朋友 B．正在走动的时针
C．骑自行车的人 D．正在转动的风车叶片
10．如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )
A． B． C． D．
11．已知点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．规定：在平面内，将一个图形绕着某一点旋转一定的角度（小于周角）后能和自身重合，则称此图形为旋转对称图形．下列图形是旋转对称图形，且有一个旋转角为60°的是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正十边形
二、填空题
13．如图，在正方形网格中，线段AB绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180）得到线段A'B'，点A与点A'是对应点，点B与点B'是对应点，则α等于 ．
14．填空：如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心是点 ，旋转角是∠ ，点A的对应点是点 .
15．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C的坐标为，点A在x轴正半轴上，且．将绕点C逆时针旋转，则旋转后点A的对应点的坐标为 ．
16．如图，△ABC是等边三角形，D是BC边上的中点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，那么
（1）旋转中心是 ；
（2）点B、D的对应点分别是点 ；
（3）线段AB、BD、DA的对应线段分别是 ；
（4）∠B的对应角是 ；
（5）旋转角度为 ；
（6）△ACE的形状为 ；
17．如图，ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°．将ABC绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边AB上，则的度数是 ．
三、解答题
18．平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，在坐标轴上，点，是射线上一点，将绕点顺时针旋转，得，是点旋转后的对应点．
(1)如图(1)当时，求点的坐标；
(2)如图(2)，设点，的面积为．求与的函数关系式，并写出当取最小值时，点的坐标；
(3)当时，求点的坐标(直接写出结果即可)．
19．如图，是由绕点按逆时针方向旋转得到的．点的对应点是点_________；

线段的对应线段是线段_________，所以_________；
线段的对应线段是线段_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
的对应角是_________，所以_________；
旋转中心是点_________；
旋转的方向是_________；
旋转的角度是_________，写出一个等于此角度的角：_________；
的中点的对应点是_________的中点；
与的关系是_________．
20．将一副三角尺的直角重合放置（，），如图1所示，
（1）图1中的度数为 °；
（2）三角尺的位置保持不动，将三角尺绕其直角顶点顺时针方向旋转：
①当旋转至图2所示位置时，恰好，求此时的大小；
②若将三角尺继续绕旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在其中一边能与平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的的大小；如果不存在，请说明理由．
21．下图中的两个正方形的边长相等，请你指出可以通过绕点O旋转而相互得到的图形并说明旋转的角度.
22．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，连接EF、CF、AF．
(1)如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）
(2)如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；
(3)点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．
23．画出如图所示的四边形关于点成中心对称的四边形．
24．与均为等边三角形，在边上，连接．
(1)如图，若，，求的长；
(2)如图，若，在平面内将图中绕点顺时针旋转，连接、，交于点，连接，在运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
《3.2图形的旋转》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B C C D C B
题号 11 12
答案 D C
1．B
【详解】试题分析：根据旋转的性质和全等三角形的判定，有
≌△ACD，≌△FDC， ≌△ACE，≌△AGF.
共4对．故选B．
2．C
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
故的最小值为．
故选：C
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．B
【分析】根据旋转性质和坐标系内点的坐标特征即可解题.
【详解】见下图.在平面直角坐标系中找到A（3.4）.连接OA.将线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′.读出A′.
【点睛】本题考查了图形的旋转.属于简单题.作图能力是解题关键.
4．C
【分析】图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，根据旋转的性质解答．
【详解】解：据旋转的性质，可知：，故（1）错误；
，故（2）正确；
，故（3）正确；
，故（4）正确．
故选：C．
【点睛】此题考查旋转的性质：图形旋转前后的对应边相等，对应角相等，熟记性质是解题的关键．
5．B
【详解】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠CAB=30°，故AB=4，
∵△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，
∴AB=A′B′=4，AC=A′C，
∴∠CAA′=∠A′=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC=30°，
∴AB′=B′C=2，
∴AA′=2+4=6．
故选B．
考点：1、旋转的性质；2、直角三角形的性质
6．C
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出【详解】解：根据旋转的性质可知：∠C=∠A=110°
在△COD中，∠COD=180°-110°-40°=30°
旋转角∠AOC=85°，所以∠α=85°-30°-55°
故选C.
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是找准旋转角.
7．C
【详解】根据中心对称的定义可知，图（2）（3）（4）成中心对称，有3组，
故选C.
8．D
【分析】根据旋转可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，结合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，则可证得△CAB≌△EAB，即可作答．
【详解】根据旋转的性质可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B错误，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AC=AE，AB=AB，
∴△CAB≌△EAB，
∴△EAB≌△EAD
∴∠BEA=∠DEA，
∴AE平分∠BED，故D正确，
∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质和全等三角形的判定与性质，求出∠BAE=35°是解答本题的关键．
9．C
【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可．
【详解】解：A．坐在摩天轮里的小朋友，属于旋转，故不符合题意；
B．正在走动的时针，属于旋转，故不符合题意；
C．骑自行车的人，属于平移，故符合题意；
D．正在转动的风车叶片，属于旋转，故不符合题意；
故选：C．
10．B
【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：由该图形类同正五边形，正五边形的圆心角是．根据旋转的性质，当该图形围绕点O旋转后，旋转角是72°的倍数时，与其自身重合，否则不能与其自身重合．由于108°不是72°的倍数，从而旋转角是108°时，不能与其自身重合．
故选B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
11．D
【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案.
【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为，
故选：D
12．C
【详解】解：A．正三角形的最小旋转角是120°，故此选项错误；
B．正方形的最小旋转角度是90°，故此选项错误；
C．正六边形的最小旋转角是60°，故此选项正确；
D．正十角形的最小旋转角是36°，故此选项错误；
故选C．
13．
【分析】先找出旋转中心，然后将对应点与旋转中心连线，再根据勾股定理逆定理判断旋转角的大小即可．
【详解】如图，连接AA'，BB'，作出AA'的垂直平分线，BB'的垂直平分线，两直线相交于点O，则点O为旋转中心，连接OA，OA'，
假设每个方格的边长为1，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形旋转，熟练掌握相关作图方法是解决本题的关键．
14． O AOA′ A′
【详解】本题考查了旋转的性质. 旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
根据旋转的定义即可得到杠杆绕支点转动撬起重物的旋转中心，旋转角和点A的对应点．
解：杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆绕点O旋转，所以杠杆的旋转中心是点 O，旋转角是∠AOA′，点A的对应点是点 A′．
15．
【分析】画出示意图，然后根据旋转的性质可求得答案.
【详解】解：∵点C的坐标为，AC=2，
如图所示，将RtΔABC先绕点C逆时针旋转90°，
则点A'的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
16． ）点A 点C和点E AC、CE、EA ∠ACE 60° 直角三角形
【解析】略
17．120°
【分析】根据旋转可得∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，得∠BAA′＝70°，根据∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′，进而可得∠CAA'的度数．
【详解】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°．
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，
∴∠A′BA＝∠ABC＝40°，A′B＝AB，
∴∠BAA′＝∠BA′A＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA′＝50°+70°＝120°．
故答案为：120°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，掌握旋转的性质是关键．
18．(1)
(2)，当取最小值时，
(3)
【分析】（1）如图（1），过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为．证明．即可求点的坐标；
（2）如图（2），过点作轴，垂足为．根据勾股定理可得，根据，将解析式凑完全平方，根据非负数的性质求得最值即可求解；
（3）根据BP，可得．因为，说明点在的延长线上．可得．联立方程组可得和的长，结合（1）进而可求点的坐标．
【详解】（1）解：如图（1），过点作轴，垂足为，
过点作轴，垂足为．
四边形是正方形，
．
，
．
在中，
，
．
．
绕点顺时针旋转，得，
，，
，
，
，
．
，．
；
（2）如图（2），过点作轴，垂足为．
绕点顺时针旋转，得，
，．
，，
，
．
在中，根据勾股定理，
，
整理得．
，
．
当取最小值时，有，
；
（3）．
理由如下：如图(3)，
绕点旋转得到，
．
，
．
，
点在的延长线上．
．
由
解得：，．
，
，
同（1）：，
，，
，
．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形的性质-旋转、二元一次方程组、三角形的面积、勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．
19．见解析
【分析】根据题意旋转性质点的对应点是点，线段的对应线段是线段；线段的对应线段是线段；的对应角是；的对应角是；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，与的关系是全等．
【详解】解：是由绕点按逆时针方向旋转得到的，点的对应点是点，
线段的对应线段是线段，所以；线段的对应线段是线段，所以；的对应角是，所以；的对应角是，所以；旋转中心是点；旋转的方向是逆时针；旋转的角度是，写出一个等于此角度的角：；的中点的对应点是的中点；与的关系是全等．
故答案为：，，，，，，，，，，逆时针， ，（或），，全等．
【点睛】本题考查了旋转的基本概念，注意旋转前后的图形全等是解答本题的关键．
20．(1)165；(2) ①30°；②存在，图形见详解，．
【分析】（1）由已知可求出∠CAE=180°-60°=120°，再根据三角形外角性质求出∠BEC的度数．
（2）①由OD∥AB可得∠BOD=∠B=30°，再由∠BOD+∠BOC=90°和∠AOC+∠BOC=90°求出∠AOC．
②将三角板△COD继续绕O旋转，根据OC边、CD边与AB平行，利用平行线的性质即可求出∠AOC．
【详解】解：（1）∠CAE=180°-∠BAO=180°-60°=120°，
∴∠BEC=∠C+∠CAE=45°+120°=165°，
故答案为165°；
（2）①因为，所以；
所以；
所以；
②存在，如图1，∠AOC=120°；
如图2，∠AOC=165°；
如图3，∠AOC=30°；
如图4，∠AOC=150°；
如图5，∠AOC=60°；
如图6，∠AOC=15°．
故答案为(1)165；(2) ①30°；②存在，图形见详解，．
【点睛】本题考查平行线的性质及三角形的外角性质，解题的关键是根据三角形外角性质以及平行线的性质求解．
21．△OAE和△OBF，△OEB和△OFC，△OAB和△OBC，旋转的角度为90°
【详解】试题分析：根据题意，我们首先要了解图形旋转的知识点，然后判断能旋转得到的图形，及旋转角.
试题解析：根据题意，可得△OAE和△OBF，△OEB和△OFC，△OAB和△OBC，可通过旋转得到，旋转的角度为90°.
22．(1) 证明见解析
(2)成立，理由见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由旋转的性质可得BE=BF，∠EBF=，由“SAS”可证，可得∠BAE=∠BCF=，由直角三角形的性质可得结论；
（3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，再分这情况讨论，结合等腰三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（2）（1）的结论仍然成立， 理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=，
∵将BE绕点B顺时针方向旋转得到BF，
∴BE=BF，∠EBF=，
∴∠EBF=∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，且AB=BC，BE=BF，
∴（SAS）
∴∠BAE=∠BCF=，
∴∠ACF=，
∴∠AFC+∠FAC=；
（3）如图，当点E在点A下方时，
∵△ACF是等腰直角三角形，
∴AC=CF，
∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE，
∴AC=AE=AB，
∴∠ABE=，
∴∠EBC=，
如图，当点E在点A上方时，
同理可得：
∴
∴∠EBC=．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
23．如图所示，四边形即为所求；见解析．
【分析】根据旋转的性质即可画出四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形．
【详解】如图所示，四边形即为所求：
．
【点睛】本题考查了作图 旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
24．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）过点作交的延长线于，根据等边三角形性质，可以推出 ，从而得到，由勾股定理得到，再利用勾股定理即可求出长；
（2）由“”可证，可得，，，由面积法可得，可证平分，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作交的延长线于，
与均为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
在中，；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作于，于，在上截取，连接，
与均为等边三角形，
，，，
，
在和中,
,
，
，，，
，
，
又，，
平分，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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