4.2提公因式法同步强化练习（含解析）

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4.2提公因式法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．多项式各项的公因式是
A． B． C． D．
2．多项式-2an-1-4an+1的公因式是M，则M等于（ ）
A．2an-1 B．-2an C．-2an-1 D．-2an+1
3．单项式，，的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．把多项式，提取公因式后，余下的部分是（ ）
A． B． C． D．
5．把多项式（3a-4b）（7a-8b）+（11a-12b）（8b-7a）分解因式的结果( )
A．8（7a-8b）（a-b） B．2（7a-8b）2
C．8（7a-8b）（b-a） D．-2（7a-8b）
6．下列各式由左到右的变形正确的是( )
A．-x-y=-(x-y) B．-x2+2xy-y2=-(x2+2xy+y2)
C．(y-x)2=(x-y)2 D．(y-x)3=(x-y)3
7．下列各式成立的是（ ）
A．－x－y＝－（x－y） B．y－x＝x－y
C．（x－y）2＝（y－x）2 D．（x－y）3＝（y－x）3
8．下列代数式中，没有公因式的是（ ）
A．ab与b B．a＋b与 C．a＋b与 D．x与
9．若a＝2，a﹣2b＝3，则2a2﹣4ab的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．12
10．多项式5xy2－25x2y各项的公因式为(　　)
A．5 B．5x C．5xy D．25xy
11．利用因式分解可以简便计算：分解正确的是( )
A． B．
C． D．
12．将分解因式，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．分解因式: .
14．已知实数a，b，x，y满足，，则 .
15．分解因式： ．
16．因式分解：9a2﹣12a+4＝ ．
17．若，，则 ．
三、解答题
18．因式分解：
(1)m2(a－2)－m(a－2)；
(2)6a(b－1)2＋2(1－b)．
19．把下列各式分解因式：
(1)5xy－10x；
(2)．
20．已知，求的值．
21．将分解因式，并求当，时此式子的值．
22．若实数a，b满足方程组，求的值．
23．把下列各式因式分解：
（1）；（2）．
24．问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6
问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6
然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：
(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；
(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　 　；
发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　 　；
问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　 　（结果用乘方表示）．
《4.2提公因式法》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C C C B D C
题号 11 12
答案 B C
1．D
【分析】本题考查多项式的公因式，先找出系数的公约数，再找出相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【详解】解：∵系数的公约数是，相同字母的最低指数次幂是，
∴多项式各项的公因式是，
故选D．
2．C
【分析】根据公因式的定义，先找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式．
【详解】多项式-2an-1-4an+1中，
系数的最大公约数是-2，
相同字母的最低指数次幂是an-1，
因此公因式是-2an-1，
故选C．
【点睛】本题主要考查公因式的确定，解题的关键是准确掌握公因式的定义以及公因式的确定方法．
3．A
【分析】将，，写成，，即可．
【详解】解：∵，，
∴，，的公因式为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了公因式的知识，将，，写成，，的形式是正确解题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了提公因式法分解因式，提取公因式即可得到所求结果．熟练掌握提公因式是解决问题的关键．
【详解】，
则余下的部分是x．
故选：C．
5．C
【详解】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)
=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)
=(7a-8b)(-8a+8b)
=8(7a-8b)(b-a).
故选C.
6．C
【分析】提出－号即可．
【详解】A．-x-y=-(x+y)，故本选项错误；
B．-x2+2xy-y2=-(x2-2xy+y2)，故本选项错误；
C．(y-x)2=[-(x-y)]2=(x-y)2，故本选项正确；
D．(y-x)3=[－(x-y)]3=－(x-y)3，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，提出负号后，括号内的每一项都要变号．
7．C
【详解】根据添括号法则，可知-x-y=-（x+y），故不正确；
根据x-y与y-x互为相反数，故不正确；
根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）2＝（y－x）2，故正确；
根据x-y与y-x互为相反数，可知（x－y）3＝-（y－x）3，故不正确.
故选C.
8．B
【分析】能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式即可．
【详解】A选项：ab与b的公因式是b，故不符合题意；
B选项：a＋b与没有公因式，故符合题意；
C选项：因为a2－b2＝（a＋b）（a－b），所以a＋b与的公因式为a＋b，故不符合题意；
D选项：x与的公因式是x，故不符合题意．
故选：B
【点睛】考查公因式的确定，掌握找公因式的正确方法，注意互为相反数的式子，只需改变符号即可变成公因式．
9．D
【分析】原式提取公因式，把各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：∵a＝2，a﹣2b＝3，
∴原式＝2a（a﹣2b）＝4×3＝12．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了因式分解、代数式求值，通过因式分解进行化简是关键．
10．C
【分析】找公因式的方法：一找系数的最大公约数，二找相同字母的最低指数次幂，观察到最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，根据此即可选出正确答案.
【详解】5xy2-25x2y系数最大公约数为5，而xy的最低指数次幂均为1，故其公因式是5xy.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是提公因式，解题的关键是熟练的掌握提公因式.
11．B
【分析】利用提取公因式法分解因式即可得．
【详解】解：原式
，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题关键．
12．C
【分析】根据提公因式法进行因式分解即可排除选项．
【详解】解：＋＝＝；
故选C．
【点睛】本题主要考查提公因式法进行因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解题的关键．
13．
【详解】【分析】用提取公因式法即可得到结果.
【解答】原式=.
故答案为
【点评】考查提取公因式法因式分解，解题的关键是找到公因式.
14．20
【分析】本题考查因式分解的应用、整式的乘法、代数式求值，解答的关键利用整体思想求解．先求得，再将所求代数式因式分解，转化为求的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：20．
15．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先将式子变形为，再提取公因式即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
16．（3a﹣2）2
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】9a2-12a+4=（3a-2）2．
故答案是：（3a﹣2）2.
【点睛】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
17．15
【分析】本题主要考查了分解因式和代数式求值综合．解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，整体代入法求代数式的值．
先提取公因式，然后把，代入整式即可得出答案．
【详解】∵，，
∴
．
故答案为：15．
18．(1) m(a－2)(m－1)；(2) 2(1－b)(3a－3ab＋1)．
【分析】根据因式分解法步骤，先提取公因式(a-2)，得到 ，然后再次提公因式m出来，整理即可得到正确答案.
原式变形后，提取公因式，再提取公因式2，整理即可得到正确答案.
【详解】(1)原式＝m(a－2)(m－1).
(2)原式＝6a(1－b)2＋2(1－b)＝2(1－b)[3a·(1－b)＋1]＝2(1－b)(3a－3ab＋1)．
【点睛】本题主要考查多项式因式分解的有关知识，要求学生掌握因式分解的几种方法，本题用了提公因式法分解因式，解题的关键是找出公因式．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接提取公因式5x即可；
（2）直接提取公因式即可．
【详解】（1）解：原式．
（2）解：原式．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键．
20．
【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【详解】解：∵6x 3y 1＝0，xy＝2，
∴2x y＝，
∴当2x y＝，xy＝2时，
原式＝（xy）3 （2x y）
＝23×
＝．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将原式变形是解题关键．
21．，
【分析】本题考查了利用因式分解变形求解等知识．先利用提公因式法进行因式分解，再整体代入即可求解．
【详解】解：，
当，时，原式．
22．15
【分析】利用加减消元法分别求出，，再根据进行求解即可．
【详解】解：
得，则，
得，则，
∴．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解二元一次方程组，正确求出，是解题的关键．
23．（1）；（2）．
【分析】（1）把y-x变形为－（x－y）后用提公因式法即可完成因式分解；
（2）把变形为，即可用提公因式法完成因式分解．
【详解】（1）；
（2）
．
【点睛】本题考查了提公因式法分解因式，用提公因式分解因式时，常见的变形有：及．
24．(1)（1+a）4
(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47
【分析】（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；
（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，
发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；
问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．
【详解】（1）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3
＝（1+a）3+a（1+a）3
＝（1+a）3（1+a）
＝（1+a）4；
（2）解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4
＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4
＝（1+a）4+a（1+a）4
＝（1+a）4（1+a）
＝（1+a）5；
故答案为：（1+a）5；
发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；
故答案为：（1+a）n+1；
问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6
＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6
＝（1+3）6（1+3）
＝（1+3）7
＝47．
故答案为：47．
【点睛】此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．
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