6.1平行四边形的性质同步强化练习（含解析）

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6.1平行四边形的性质
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
2．平行四边形的一条对角线长为10，则它的一组邻边可能是( )
A．4和6 B．2和12 C．4和8 D．4和3
3．在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，顶点，，对角线、相交于点、分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，则点的横坐标为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．1
4．如图，在 ABCD中，已知AD=12cm，AB=8cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
5．如图，在平行四边形中，，，，平分，下列结论错误的是(　　)
A． B． C． D．
6．在平行四边形中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A． B．5 C． D．
8．如图，的对角线与相交于点O，，若，则的长是（　　）
A．6 B．9 C．10 D．11
9．下列命题正确的是（ ）
A．菱形的对角线互相相等 B．矩形的对角线相等且互相平分
C．平行四边形是轴对称图形 D．对角线相等四边形是矩形
10．在平行四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　)
A．4∶3∶3∶4 B．7∶5∶5∶7 C．4∶3∶2∶1 D．7∶5∶7∶5
11．如图，和都是等腰直角三角形，，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．以点为旋转中心，逆时针方向旋转后与重合
B．以点为旋转中心，顺时针方向旋转后与重合
C．沿所在直线折叠后，与重合
D．沿所在直线折叠后，与重合
12．如图，平行四边形中，点、分别在、上，依次连接、、、，图中阴影部分的面积分别为、、、，已知，、，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
13．平行四边形的两条对角线长分别为3和5，则其中一条长为整数的边可以是 ．
14．如图，在平行四边形中，，平分，则的度数是 ．
15．如图是一个平行四边形，请用符号表示图中的平行线： ．
16．在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝10 cm，P，G，H分别是AB，BC，CA的中点，则四边形APGH的周长是 ．
17．在中，，则 °， °， °， °．
三、解答题
18．已知：如图，在中，E是上一点，．求证：，．
19．如图，的对角线，相交于O，并且，，．
(1) _________．
(2)求的长．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B，
（1）k的值是　 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求 OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．
21．如图， ABCD中，对角线AC与BD相交于O，EF是过点O的任一直线交AD于点E，交BC于点F，猜想OE和OF的数量关系，并说明理由．
22．如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EB=DF．
（1）填空：=　　　　；﹣=　　
（2）求作：．
23．如图，直线可以将分成全等的两部分，这样的直线还有很多．
（1）多画几条这样的直线，看看它们有什么共同的特征；
（2）尝试用中心对称图形的性质去解释你的发现．
24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP．
（1）若PQ⊥AB，由折叠性质可得∠BPC＝　 　°；
（2）若a＝8，b＝6，且PQ⊥AB，求C到AB的距离及BP的长；
（3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式．
《6.1平行四边形的性质》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C C B A A B D
题号 11 12
答案 B D
1．B
【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出 ，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴ AF=FD，
∵在中，AD＝2AB，
∴AF=FD=CD，AD∥BC，
∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB，
∴ ∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF=，故①正确；
如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE，
∵F为AD中点，
∴ AF＝FD，
在和中
∵，
∴，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC=EM＝FE，故②正确；
∵EF=FM，
∴，即 ，
∵，
∴，
∴，
∵，
故：S△BEC<2S△CEF，故③成立；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC＝90°-x，
∴∠EFC＝180°—2x，
∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x，
∵∠AEF＝90°-x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．
2．C
【分析】平行四边形的一条对角线正好把平行四边形分成两个三角形，平行四边形的一组邻边长正好是三角形的两边，平行四边形的对角线正好为三角形的第三边，所以要讨论第三边与两边之和的关系．
【详解】解：由题意得：平行四边形的一组邻边长正好是三角形的两边，平行四边形的对角线正好为三角形的第三边，
∵平行四边形的一条对角线长为10，
∴它的一组邻边必须满足：之和大于10，差小于10，
∴它的一组邻边可能是：4和8，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．
3．C
【分析】连接，根据作图得到垂直平分线段，从而得到，设，在中利用勾股定理列出方程得出，即可得出点的横坐标
【详解】∵四边形是平行四边形，∴为对角线中点，
由作图可知，垂直平分线段，
连接，则，
延长交轴于点，则轴，
∵，，平行四边形
∴OC=AB=6，AM=2，OM=4
设，则，
在中，有，
解得，，
∴ME=3
∴点的横坐标为3．
故选：C．
【点睛】本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，勾股定理，得出AE=1是解本题的关键．
4．C
【详解】试题分析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=12cm，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴BE=AB=8cm，
∴CE=BC﹣BE=4cm；
故答案为C．
考点：平行四边形的性质.
5．C
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解，
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，，，，
，故D正确；
平分，
，
，
，故C错误；
，
，故A正确；
，
，故B正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，可得，，再结合，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故选：B
7．A
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，勾股定理的运用，理解并掌握平行四边形的性质，勾股勾股定理的计算是解题的关键．
根据平行四边形的性质，角平分线的定义得到,，，由勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，,
∴,
∴,
∵的平分线和的平分线交于上一点，
∴,
∴,
∴，
∴,
∴,
∴,
∵,
∴，
故选：A．
8．A
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分得到，再利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：∵的对角线与相交于点O，，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】根据四边形的性质选择即可.
【详解】A. 菱形的对角线不相等，故选项错误，不符合题意；
B. 矩形的对角线相等且互相平分，故选项正确，符合题意；
C. 平行四边形不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
D. 对角线相等四边形不一定是矩形，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了四边形的性质，解题的关键是熟悉四边形的性质.
10．D
【详解】解：因为平行四边形的对角相等，∠A与∠C是对角，∠B与∠D是对角，
所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是7∶5∶7∶5，
故选：D
11．B
【分析】本题通过观察全等三角形，找旋转中心，旋转角，逐一判断．
【详解】解：A．根据题意可知AE=AB，AC=AD，∠EAC=∠BAD=，△EAC≌△BAD，旋转角∠EAB=90°，不符合题意；
B．因为平行四边形是中心对称图形，要想使△ACB和△DAC重合，△ACB应该以对角线的交点为旋转中心，顺时针旋转180°，即可与△DAC重合，符合题意；
C．根据题意可∠EAC=135°，∠EAD=360°﹣∠EAC﹣∠CAD=135°，AE=AE，AC=AD，△EAC≌△EAD，不符合题意；
D．根据题意可知∠BAD=135°，∠EAD=360°﹣∠BAD﹣∠BAE=135°，AE=AB，AD=AD，△EAD≌△BAD，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点．
12．D
【详解】设平行四边形的面积为，
则，
由图可知，，
∵，，，
∴，
∴．
故选．
点睛: 本题考查了平行四边形的性质,解决为题的关键是明确各部分图形面积的和差关系:△CDF面积+△CBE面积+（S 1+S4+S 3）-S 2=平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半．
13．2或3/3或2
【分析】利用平行四边形的性质，三角形三边关系定理计算判断即可．
【详解】设四边形是平行四边形，对角线交点为O，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的边长为整数，
∴，
故答案为：2或3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
14．/度
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质及角平分线的性质求得是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，，由角平分线的性质得出，从而可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，，
∴
∵平分，
∴，
，
故答案为：．
15．AB∥CD， AD∥BC
【详解】解：根据平行四边形的对边平行可知：图中AB∥CD，AD∥BC，
故答案为AB∥CD，AD∥BC．
16．18cm
【详解】解：∵P、G、H分别是AB、BC、CA的中点，∴PG、HG为△ABC的中位线，∴AP=AB=×8=4cm，AH=AC=×10=5cm，∴PG∥AC，GH∥AB，∴四边形APGH为平行四边形，HG=AP=4cm，PG=AH=5cm，∴四边形APGH的周长是（4+5）×2=18cm．
故答案为18cm．
点睛：本题考查了三角形中位线定理，利用中位线定理判断出四边形APGH为平行四边形是解答此题的关键．
17． 135 45 135 45
【分析】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等，相邻的两个角互补．根据平行四边形对角相等，相邻的两个角互补，结合即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又，
∴，，
故答案为：135；45；135；45．
18．证明见解析．
【分析】利用平行四边形的性质证明即可．
【详解】证明：∵为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是本题的关键．
（1）利用勾股定理得到，再根据平行四边形性质即可解题；
（2）利用平行四边形性质得到，，再利用勾股定理得到，即可求出的长．
【详解】（1）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
；
故答案为：．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
．
20．（1）；（2）①8+4；②点C的坐标为（﹣3，）或（11，）．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图像上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出的周长；
②设点C的坐标为（x，x +4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为，可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
【详解】解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝．故答案为．
（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝x+4．
当x＝0时，y＝x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴，∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝，
∴＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．
②如图，设点C的坐标为（x，x +4），则CE＝|x|，CD＝|x+4|，
∴S△CDE＝CD CE＝|﹣x2+2x|＝，
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝11，
∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE、DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为，找出关于x的方程．
21．结论：OE=OF．理由见解析.
【详解】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：结论：OE=OF．
理由∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AD∥BC，
∴∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF．
22．（1），；（2）作图见解析．
【分析】（1）根据平行四边形法则，即可得出答案．
（2）利用平行四边形法则来作合向量：即可．
【详解】解：（1）；
故答案是：；；
（2），
，
即是根据平行四边形法则求作和的合向量．
图形如下所示：所作即为所求．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意平面向量定义及平行四边形法则的熟练掌握．
23．（1）它们的共同特点是都经过的中心，即对角线的交点；（2）中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．
【分析】（1）根据题意，多画几条满足题意的直线，即可发现共同特征；
（2）由中心对称图形的性质，结合所画的图形就可以得到答案．
【详解】解：（1）如下图：这些直线都经过平行四边形两条对角线的交点O，可以看到，过点O的任意一条直线都可将平行四边形分成全等的两部分．
（2）如上图，直线AC将 分成两部分，将绕点O逆时针或是顺时针旋转可与相互重合，所以中心对称图形中，过对称中心的任意一条直线把图形分为全等的两部分．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、中心对称图形的性质，牢记知识点并能够灵活应用是解题关键．
24．（1）45°；（2）CH=;（3）a=．
【分析】（1）先由翻折的性质可得，再由题意可得=90°，进而得到∠APC=135°，最后根据邻补角的性质即可解答；
（2）如图，作CH⊥AB于H，先说明CH=PH，再求出AB，最后根据等面积法列方程解答即可；
（3）如图:连接BQ，由翻折的性质可得：PA=PQ、∠QPC=∠APC，再利用平行四边形的性质得到∠QPC+∠PCB=180°进而得到∠PCB=∠BPC，即PB=BC=AP=b、AB=2b，最后运用勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：由翻折的性质可得
∵PQ⊥AB
∴=90°
∵180°，
∴
∴∠APC=135°
∴∠BPC=180°-∠APC=45°；
（2）如图，作CH⊥AB于H
由翻折的性质可知：∠APC=∠QPC
∵CH⊥AB，∠BPC=45°
∴CH=PH
在Rt△ABC中，
∵，即
∴CH=；
（3）如图:连接BQ
由翻折的性质可得：PA=PQ，∠QPC=∠APC
∵四边形BCPQ是平行四边形
∴PQ=BC=PA=b，PQ//BC，
∴∠QPC+∠PCB=180°
∵∠BPC+∠APC=180°
∴∠PCB=∠BPC
∴PB=BC=b
∴AP=PB=b，AB=2b，
在Rt△ABC中，则有（2b）2=a2+b2
∴a2=3b2
∵a>0.b>0，
∴a=．
【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解正确辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键．
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