第六节 双曲线
1.（2025·八省联考）双曲线x2－＝1的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±3x D.y＝±4x
2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A.－2＜m＜1 B.m＞1
C.m＜－2 D.－1＜m＜2
3.已知离心率为2的双曲线－＝1（a＞0，b＞0）与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.x2－＝1 D.－y2＝1
4.若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2－＝1，则E的共轭双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
5.〔多选〕（2024·扬州第二次调研）已知双曲线C：－＝1（b＞0）的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则（ ）
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.｜PF｜的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－
6.〔多选〕已知曲线C：＋y｜y｜＝1，则（ ）
A.曲线C上的点（x，y）满足x∈R，y≤1
B.曲线C关于x轴，y轴对称
C.曲线C与x轴，y轴共有3个公共点
D.曲线C与直线y＝x只有1个公共点
7.双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝±x，实轴长为2，则m－n＝ .
8.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1（－1，0），F2（1，0），若点F1关于直线y＝x的对称点为F'1，且｜F'1F2｜＞，则∠F1F'1F2＝ ，双曲线C的实轴长的取值范围是 .
9.已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程.
10.（2024·苏锡常镇四市调研）在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，以OA为直径的圆与C的一条渐近线交于另一点M，若｜AM｜＝b，则C的离心率为（ ）
A. B.2 C.2 D.4
11.〔多选〕（2025·河南TOP二十名校质检）已知双曲线E：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝10，过F1的直线l与E的右支交于点P，若∠F1PF2＝，则（ ）
A.E的渐近线方程为y＝±2x
B.3｜PF1｜＝4｜PF2｜
C.直线l的斜率为±
D.P的坐标为（，）或（，－）
12.（2024·甘肃一诊）若曲线C：mx2＋ny2＝1（mn≠0，m≠n）经过（6，－），（－2，），（4，0）这三点中的两点，则曲线C的离心率可能为 （写出一个即可）.
13.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e的最大值为 .
14.如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6 km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
（1）求道路M-N-P对应的曲线方程；
（2）现要在M-N-P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
15.（创新考法）（2024·华大新高考联盟联考）关于双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），4位同学给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ；双曲线C的方程为 .（第一空的横线上填“小明”“小红”“小强”或“小同”）
第六节 双曲线
1.C 由方程x2－＝1，得a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x.故选C.
2.A 因为方程－＝1表示双曲线，所以（2＋m）（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2＜m＜1.故选A.
3.C 由双曲线－＝1与椭圆＋＝1有公共焦点，得c2＝a2＋b2＝8－4＝4，又e2＝＝＝4，所以a2＝1，所以b2＝3，所以双曲线的方程为x2－＝1.
4.A 由题意可知，双曲线E的标准方程为x2－＝1，所以共轭双曲线为－x2＝1，所以共轭双曲线的离心率为e＝＝＝＝.故选A.
5.AD 双曲线C：－＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，－＝－，解得b＝，对于A，C的虚轴长2b＝2，A正确；对于B，C的离心率e＝＝，B错误；对于C，点F（，0）到直线l：x＋y＝0的距离为＝，即｜PF｜的最小值为，C错误；对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确.故选A、D.
6.ACD 当y≥0时，曲线C：＋y2＝1表示椭圆在x轴及其上方的部分；当y＜0时，曲线C：－y2＝1表示双曲线在x轴下方的部分.其中双曲线的一条渐近线为y＝x，如图所示，曲线C上的点（x，y）满足x∈R，y≤1，A正确；且曲线C与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，即与x轴，y轴共有3个公共点，C正确；同时可知曲线C关于y轴对称，但不关于x轴对称，B错误；因y＝x是曲线C左下半支的一条渐近线，即曲线C与直线y＝x只有一个公共点，D正确.故选A、C、D.
7.－1 解析：因为双曲线的实轴长为2，所以2＝2，所以m＝1，又渐近线方程为y＝±x，所以＝，解得n＝2，所以m－n＝－1.
8. （，2）
解析：如图所示，记F'1F1的中点为M，
则直线OM即为y＝x，OM⊥F'1F1，因为O为F1F2的中点，故OM∥F'1F2，所以∠F1F'1F2＝∠F1MO＝.因为kOM＝＝，｜OF1｜＝c，故｜OM｜＝a，所以2a＝｜F'1F2｜＞，又2a＜2c＝2，所以2a∈（，2）.
9.解：（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵·＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8.
∵＝mn＝4＝×2ch，∴h＝.
即点M到x轴的距离为.
（2）设双曲线C的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（3，2），∴－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为－＝1.
10.B 由题意得，OM⊥AM，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，故tan∠AOM＝，即＝，又｜AM｜＝b，所以｜OM｜＝a，由勾股定理得｜OM｜2＋｜AM｜2＝｜OA｜2，即a2＋b2＝a2，解得b2＝3a2，e＝＝＝2，故选B.
11.ABD 对于A选项，｜F1F2｜＝2＝10，且a＞0，解得a＝1，又因为b＝2，故双曲线E的渐近线方程为y＝±x＝±2x，A对；对于B选项，因为点P在右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2①，又因为∠F1PF2＝，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝100②，联立①②可得｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，所以3｜PF1｜＝4｜PF2｜，B对；对于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为＝tan∠PF1F2＝＝＝，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为＝－.综上所述，直线l的斜率为±，C错；对于D选项，设点P（x，y），则x≥1，且x2－＝1，可得y2＝24x2－24，所以｜PF1｜＝＝＝＝5x＋1＝8，解得x＝，则y2＝24×（）2－24＝，可得y＝±，即点P（，±），D对.故选A、B、D.
12.或或（只写一个即可）
解析：当曲线C经过点（6，－），（－2，） 时，有解得曲线C的方程为－＝1，离心率为e＝＝；当曲线C经过点（6，－），（4，0）时，有解得曲线C的方程为－＝1，离心率为e＝＝；当曲线C经过点（－2，），（4，0）时，有解得曲线C的方程为＋＝1，离心率为e＝＝.
13. 解析：由双曲线的定义，知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.又｜PF1｜＝4｜PF2｜，∴｜PF1｜＝a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝－e2.求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，故当∠F1PF2＝π，即－e2＝－1时，e取得最大值，此时e2＝，∴emax＝.
14.解：（1）根据题意，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，
则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右焦点的双曲线的右支，
其方程为x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6）.又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.
故道路M-N-P对应的曲线方程为MN段：x2－y2＝64（8≤x≤10，0≤y≤6），NP段：x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.
（2）当点Q在道路MN上时，设Q1（x0，y0），又由C（0，4），则｜CQ1｜＝，
由（1）可得－＝64，
则｜CQ1｜＝＝，
可得当y0＝2时，｜CQ1｜有最小值，且＝6；
当点Q在道路NP上时，设Q2（x1，y1），又由C（0，4），
则｜CQ2｜＝，
由（1）可得＋＝64，
则｜CQ2｜＝，
可得当y1＝0时，｜CQ2｜有最小值，且｜CQ2｜min＝4.
因为6＜4，
所以｜CQ｜的最小值为6，此时y0＝2，x0＝2，
即点Q的坐标为（2，2）时，Q到C的距离最小.
15.小强 －＝1
解析：小明正确有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有＝，小同正确有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强3位同学中必有1位同学说法错误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红的说法正确，小强的说法错误.可求得双曲线C的方程为－＝1.
2 / 2第六节 双曲线
课标要求
1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3.通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
1.双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 为双曲线的焦点； 为双曲线的焦距
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
0＜2a＜｜F1F2｜
提醒 （1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜F1F2｜时，M点不存在.
2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1 （a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0）
图形
性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝ ，e∈（1，＋∞）
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系 c2＝ （c＞a＞0，c＞b＞0）
提醒 （1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为±；若焦点在y轴上，渐近线斜率为±.
1.双曲线方程的常见设法
（1）与双曲线－＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的方程可设为－＝λ（λ≠0）；
（2）若渐近线的方程为y＝±x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）.
2.双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b；
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a；
（4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（ ）
（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b.（ ）
（3）方程－＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线.（ ）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔.（ ）
（5）双曲线－＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是±＝0.（ ）
2.（人A选一P121练习3题改编）已知曲线C的方程为＋＝1（k∈R），若曲线C
是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A.－1＜k＜5 B.k＞5
C.k＜－1 D.k≠－1或5
3.已知双曲线－＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8.若M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜的值是（ ）
A.1 B.3
C.9 D.1或9
4.（人A选一P124练习2题改编）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率e＝的双曲线的标准方程是（ ）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
5.（人A选一P127习题3题改编）双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是 .
双曲线的定义及标准方程
（师生共研过关）
（1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
（2）经过点P（3，2），Q（－6，7）的双曲线的标准方程为 ；
（3）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝ .
听课记录 解题技法
1.双曲线定义的应用
（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜的方程.
2.求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值；
（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
提醒 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论.也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.
1.已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A.x2－＝1
B.－y2＝1
C.x2－＝1（x≤－1）
D.x2－＝1（x≥1）
2.若双曲线经过点（3，），且渐近线方程是y＝±x，则双曲线的标准方程是 .
3.已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 .
双曲线的几何性质
（定向精析突破）
考向1 双曲线的渐近线问题
（1）（2025·石家庄质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
（2）（2024·菏泽一模）已知F（c，0）为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线x＝c与C的两条渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB是面积为4的直角三角形，则C的方程为（ ）
A.x2－y2＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
听课记录 解题技法
求双曲线渐近线方程的方法
（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.
提醒 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称.
考向2 双曲线的离心率问题
（1）（2024·全国甲卷理5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 .
听课记录 解题技法
求双曲线离心率的两种方法
1.（2025·保定一模）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为方程2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为（ ）
A. B.
C. D.
2.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），直线y＝a与双曲线C交于M，N两点，直线y＝－b与双曲线C交于P，Q两点，若｜MN｜＝｜PQ｜，则双曲线C的离心率等于 .
双曲线中的最值（范围）问题
（师生共研过关）
（1）已知M（x0，y0）是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则y0的取值范围是 ；
（2）已知点M（－5，0），点P在曲线－＝1（x＞0）上运动，点Q在曲线（x－5）2＋y2＝1上运动，则的最小值是 .
听课记录 解题技法
与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.
已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为－3，则双曲线上的点到点A（5，0）的最小距离为 .
第六节 双曲线
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.F1，F2 ｜F1F2｜
2.坐标轴 原点 a2＋b2
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）√
2.C 3.C 4.B 5.y＝±x
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）B （2）－＝1 （3）1
解析：（1）如图，连接ON，由题意可得｜ON｜＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以｜MF2｜＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得｜PM｜＝｜PF1｜，所以｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝｜｜PF2｜－｜PM｜｜＝｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
（2）设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点P（3，2），Q（－6，7），所以解得故所求双曲线标准方程为－＝1.
（3）∵ ＝，∴c＝a，根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，∵F1P⊥F2P，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝8，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2c）2，∴（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2，即a2－5a2＋4＝0，解得a＝1.
跟踪训练
1.C 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M的轨迹是以点C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－＝1（x≤－1）.
2.y2－＝1 解析：设双曲线的方程是y2－＝λ（λ≠0）.因为双曲线过点（3，），所以λ＝2－＝1，故双曲线的标准方程为y2－＝1.
3.2 解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝8，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝2.
考点2
【例2】 （1）B （2）B 解析：（1）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为（0，c），双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得＝＝b＝3，又双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的实半轴长为，所以a＝，所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.故选B.
（2）由△OAB为直角三角形，及双曲线的对称性知OA⊥OB，且｜OA｜＝｜OB｜，则C的渐近线方程为y＝±x，即a＝b，由△OAB的面积为4，得×2c×c＝4，解得c＝2，又a2＋b2＝c2＝4，因此a＝b＝，所以C的方程为－＝1.故选B.
【例3】 （1）C （2） 解析：（1）法一（方程组法） 根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则得所以离心率e＝＝2.
法二（定义法） 根据双曲线的定义，得2a＝｜－｜＝｜6－10｜＝4，所以a＝2，根据焦点坐标可知c＝4，所以离心率e＝＝＝2.
（2）法一 如图，由题意得｜AB｜＝10，｜AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝＝.
法二 由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入－＝1，得y＝±，即A（c，），B（c，－），故｜AB｜＝＝10，｜AF2｜＝＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝.
跟踪训练
1.D 因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝或x＝2，且双曲线的离心率大于1，所以e＝2.由e2＝1＋（）2＝4，解得＝.故选D.
2. 解析：将y＝a代入－＝1，得－＝1，则x2＝a2＋，将y＝－b代入－＝1，得x2＝2a2，因为｜MN｜＝｜PQ｜，所以｜MN｜2＝2｜PQ｜2，又｜MN｜2＝4（a2＋），｜PQ｜2＝4×2a2＝8a2，所以4（a2＋）＝2×8a2，即＝3，所以离心率e＝＝＝.
考点3
【例4】 （1） （2）20
解析：（1）因为F1（－，0），F2（，0），－＝1，所以·＝（－－x0，－y0）·（－x0，－y0）＝＋－3＜0，即3－1＜0，解得－＜y0＜.
（2）如图，在双曲线－＝1中，a＝3，b＝4，c＝＝5，圆（x－5）2＋y2＝1的圆心为C（5，0），半径r＝1.所以双曲线－＝1的左、右焦点分别为M，C.由双曲线的定义可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以≥＝（｜PC｜＋1）＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当｜PC｜＝4时，等号成立，故的最小值是20.
跟踪训练
解析：因为双曲线C的离心率为，所以＝①.因为双曲线上同侧顶点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝－3②.由①②可得c＝，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线－y2＝1上的任意一点，则｜AP｜＝＝＝＝＝，所以当x＝时，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝＝.
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第六节 双曲线
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质.
3. 通过双曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 双曲线的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个
定点F1，F2 M点的轨迹为
双曲线 为双曲线
的焦点；
为双曲
线的焦距
｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a
0＜2a＜｜F1F2｜
提醒 （1）当2a＝｜F1F2｜时，M点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜
F1F2｜时，M点不存在.
F1，F2
｜F1F2｜
2. 双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
范围 x≥a或x≤－a， y∈R y≤－a或y≥a，
x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：
顶点 A1（－a，0）， A2（a，0） A1（0，－a），
A2（0，a）
渐近线 y＝± x y＝± x
坐标轴
原点
标准方程 － ＝1（a＞0，b
＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
性 质 离心率 e＝ ，e∈（1，＋∞）
实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线
段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做
双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c 的关系 c2＝ （c＞a＞0，c＞b＞0）
a2＋b2
提醒 （1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝
±x，离心率为e＝ ；（2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为± ；若焦
点在y轴上，渐近线斜率为± .
1. 双曲线方程的常见设法
（1）与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的方程可设为 －
＝λ（λ≠0）；
（2）若渐近线的方程为y＝± x（a＞0，b＞0），则可设双曲线方程为
－ ＝λ（λ≠0）.
2. 双曲线中的常用结论
（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b；
（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，
则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a；
（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长
为 ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a；
（4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲
线的左、右焦点，则 ＝ ，其中θ为∠F1PF2.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点
的轨迹是双曲线. （ × ）
（2）双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b. （ × ）
（3）方程 － ＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线. （ × ）
（4）双曲线的离心率越大，双曲线的开口越开阔. （ √ ）
（5）双曲线 － ＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程是 ± ＝0.
（ √ ）
×
×
×
√
√
2. （人A选一P121练习3题改编）已知曲线C的方程为 ＋ ＝1
（k∈R），若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是
（ ）
A. －1＜k＜5 B. k＞5
C. k＜－1 D. k≠－1或5
解析： 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则 解得k＜
－1.
√
3. 已知双曲线 － ＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8.
若M是双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜的值是（ ）
A. 1 B. 3 C. 9 D. 1或9
解析： 由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解
得a＝2.根据双曲线定义可得｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，即｜5
－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9.当｜MF2｜＝1时，｜
MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去，当｜MF2｜＝9时，｜
MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意.所以｜MF2｜＝9.
√
4. （人A选一P124练习2题改编）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离
心率e＝ 的双曲线的标准方程是（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析： 由顶点在x轴上，可设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞
0，b＞0）.因为两顶点间的距离是8，e＝ ，所以a＝4，c＝5，b＝3，
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
√
5. （人A选一P127习题3题改编）双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程
是 .
解析：依题意知，双曲线 － ＝1的焦点在y轴上，实半轴长a＝4，虚
半轴长b＝3，所以双曲线9y2－16x2＝144的渐近线方程是y＝± x.
y＝± x
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
双曲线的定义及标准方程（师生共研过关）
（1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上
任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相
交于点P，则点P的轨迹是（ B ）
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 圆
B
解析： 如图，连接ON，由题意可得｜ON｜＝1，
且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，所以｜MF2｜
＝2.因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂
线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得｜
PM｜＝｜PF1｜，所以｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝｜｜PF2｜－｜PM｜｜＝｜MF2｜＝2＜｜F1F2｜，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线.
解析： 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经
过点P（3，2 ），Q（－6 ，7），所以 解得
故所求双曲线标准方程为 － ＝1.
（2）经过点P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为
；
－ ＝1
（3）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，离心率为 .P是C上一点，且F1P⊥F2P. 若△PF1F2的面积为4，
则a＝ .
解析： ∵ ＝ ，∴c＝ a，根据双曲线的定义可得｜｜PF1｜
－｜PF2｜｜＝2a，∵F1P⊥F2P，∴ ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝
4，即｜PF1｜·｜PF2｜＝8，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2c）2，∴（｜
PF1｜－｜PF2｜）2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝4c2，即a2－5a2＋4＝0，解得a
＝1.
1
解题技法
1. 双曲线定义的应用
（1）利用双曲线的定义判断平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据
要求可求出曲线方程；
（2）在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜｜
PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立关于｜PF1｜·｜PF2｜的
方程.
2. 求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参
数a，b，c的方程（组）并求出a，b，c的值；
（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位
置确定c的值.
提醒 求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论.也可
以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.
1. 已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时
与圆C1和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A. x2－ ＝1 B. －y2＝1
C. x2－ ＝1（x≤－1） D. x2－ ＝1（x≥1）
√
解析： 设圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2外切，得｜
MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以点M
的轨迹是以点C1（－3，0）和C2（3，0）为焦点的双曲线的左支，且2a
＝2，a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以点M的轨迹方程为x2－
＝1（x≤－1）.
2. 若双曲线经过点（3， ），且渐近线方程是y＝± x，则双曲线的标
准方程是 .
解析：设双曲线的方程是y2－ ＝λ（λ≠0）.因为双曲线过点（3，
），所以λ＝2－ ＝1，故双曲线的标准方程为y2－ ＝1.
y2－ ＝1
3. 已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，
∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 .
解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝
2 ，在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos ∠F1PF2＝
＝ ，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝8，∴ ＝
｜PF1｜·｜PF2｜· sin 60°＝2 .
2
双曲线的几何性质（定向精析突破）
考向1 双曲线的渐近线问题
（1）（2025·石家庄质量检测）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，
b＞0）的实半轴长为 ，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则
双曲线C的渐近线方程为（ B ）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
B
解析： 设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的上焦点为（0，
c），双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，由点到直线的距离公式可得
＝ ＝b＝3，又双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的实半轴长为 ，所以a＝ ，所以双曲线C的渐近线方程为
3y± x＝0，即y＝± x.故选B.
（2）（2024·菏泽一模）已知F（c，0）为双曲线C： － ＝1（a＞
0，b＞0）的右焦点，直线x＝c与C的两条渐近线分别交于A，B两点，
O为坐标原点，△OAB是面积为4的直角三角形，则C的方程为（ B ）
A. x2－y2＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
B
解析：由△OAB为直角三角形，及双曲线的对称性知OA⊥OB，且｜
OA｜＝｜OB｜，则C的渐近线方程为y＝±x，即a＝b，由△OAB的面
积为4，得 ×2c×c＝4，解得c＝2，又a2＋b2＝c2＝4，因此a＝b＝
，所以C的方程为 － ＝1.故选B.
解题技法
求双曲线渐近线方程的方法
（1）求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（2）求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程；
（3）令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近
线方程.
提醒 两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x
轴，y轴对称.
考向2 双曲线的离心率问题
（1）（2024·全国甲卷理5题）已知双曲线的两个焦点分别为（0，
4），（0，－4），点（－6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
（ C ）
A. 4 B. 3
C. 2 D.
C
解析： 法一（方程组法） 根据焦点坐标可知c＝4，根据焦点在y轴
上，可设双曲线的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），则
得 所以离心率e＝ ＝2.
法二（定义法） 根据双曲线的定义，得2a＝｜
－ ｜＝｜6－10｜＝4，所以a＝2，根据焦点坐
标可知c＝4，所以离心率e＝ ＝ ＝2.
（2）（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，
若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 .
解析： 法一 如图，由题意得｜AB｜＝10，｜
AF2｜＝5，又AB∥y轴，故∠AF2F1＝90°，由｜AF1｜
＝13，得｜F1F2｜＝12，故c＝6，由双曲线的定义
知，｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得2a＝8，a＝4，故e＝
＝ .
法二 由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一
象限，将x＝c代入 － ＝1，得y＝± ，即A（c，
），B（c，－ ），故｜AB｜＝ ＝10，｜AF2｜
＝ ＝5，又｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，得｜AF1｜＝｜AF2｜＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入 ＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝ ＝ ＝ .
解题技法
求双曲线离心率的两种方法
1. （2025·保定一模）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心
率为方程2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为（ ）
A. B. C. D.
解析： 因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝ 或x＝2，且双曲线的离心
率大于1，所以e＝2.由e2＝1＋（ ）2＝4，解得 ＝ .故选D.
√
2. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），直线y＝a与双曲线C交
于M，N两点，直线y＝－b与双曲线C交于P，Q两点，若｜MN｜＝
｜PQ｜，则双曲线C的离心率等于 .
解析：将y＝a代入 － ＝1，得 － ＝1，则x2＝a2＋ ，将y＝－
b代入 － ＝1，得x2＝2a2，因为｜MN｜＝ ｜PQ｜，所以｜MN｜
2＝2｜PQ｜2，又｜MN｜2＝4（a2＋ ），｜PQ｜2＝4×2a2＝8a2，所
以4（a2＋ ）＝2×8a2，即 ＝3，所以离心率e＝ ＝ ＝
.
双曲线中的最值（范围）问题（师生共研过关）
（1）已知M（x0，y0）是双曲线C： －y2＝1上的一点，F1，F2
是C的两个焦点，若 · ＜0，则y0的取值范围是 ；
解析： 因为F1（－ ，0），F2（ ，0）， － ＝1，所以
· ＝（－ －x0，－y0）·（ －x0，－y0）＝ ＋ －3＜0，
即3 －1＜0，解得－ ＜y0＜ .
（2）已知点M（－5，0），点P在曲线 － ＝1（x＞0）上运动，点Q
在曲线（x－5）2＋y2＝1上运动，则 的最小值是 .
20
解析： 如图，在双曲线 － ＝1中，a＝3，b
＝4，c＝ ＝5，圆（x－5）2＋y2＝1的圆心
为C（5，0），半径r＝1.所以双曲线 － ＝1的
左、右焦点分别为M，C.
由双曲线的定义可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜
PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以
≥ ＝（｜PC｜＋1）＋ ＋10≥2
＋10＝20，当且仅当｜PC｜＝4时，等号成立，故 的最小值是
20.
解题技法
与双曲线有关的最值（范围）问题的解题方法
（1）几何法：若题目中的待求量有明显的几何特征，则考虑利用双曲线
的定义、几何性质以及平面几何中的定理等知识确定极端位置后数形结合
求解；
（2）代数法：①构建函数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的
函数关系，则可先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求这个函数
的最值；②构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为
元的不等式求解.
已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，双曲线上的
点到焦点的最小距离为 －3，则双曲线上的点到点A（5，0）的最小距
离为 .
解析：因为双曲线C的离心率为 ，所以 ＝ ①.因为双曲线上同侧顶
点到焦点的距离即双曲线上的点到焦点的最小距离，所以c－a＝ －3
②.由①②可得c＝ ，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以双曲线C的方
程为 －y2＝1.设P（x，y）（x≤－3或x≥3）是双曲线 －y2＝1上的
任意一点，则｜AP｜＝ ＝ ＝
＝ ＝ ，所以当
x＝ 时，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝ ＝ .
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·八省联考）双曲线x2－ ＝1的渐近线方程为（ ）
A. y＝±x B. y＝±2x
C. y＝±3x D. y＝±4x
解析： 由方程x2－ ＝1，得a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±
x＝±3x.故选C.
1
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25
√
2. 方程 － ＝1表示双曲线，则m的取值范围是（ ）
A. －2＜m＜1 B. m＞1
C. m＜－2 D. －1＜m＜2
解析： 因为方程 － ＝1表示双曲线，所以（2＋m）（1－m）
＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2＜m＜1.故选A.
√
3. 已知离心率为2的双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）与椭圆 ＋ ＝1
有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. x2－ ＝1 D. －y2＝1
解析： 由双曲线 － ＝1与椭圆 ＋ ＝1有公共焦点，得c2＝a2＋
b2＝8－4＝4，又e2＝ ＝ ＝4，所以a2＝1，所以b2＝3，所以双曲线的
方程为x2－ ＝1.
√
4. 若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们
互为共轭双曲线.已知双曲线E的标准方程为x2－ ＝1，则E的共轭双曲
线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
解析： 由题意可知，双曲线E的标准方程为x2－ ＝1，所以共轭双曲
线为 －x2＝1，所以共轭双曲线的离心率为e＝ ＝ ＝ ＝
.故选A.
√
5. 〔多选〕（2024·扬州第二次调研）已知双曲线C： － ＝1（b＞
0）的右焦点为F，直线l：x＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，
则（ ）
A. C的虚轴长为2
B. C的离心率为
C. ｜PF｜的最小值为2
D. 直线PF的斜率不等于－
√
√
解析： 双曲线C： － ＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，依题意，
－ ＝－ ，解得b＝ ，对于A，C的虚轴长2b＝2 ，A正确；对于
B，C的离心率e＝ ＝ ，B错误；对于C，点F（ ，0）到直线
l：x＋ y＝0的距离为 ＝ ，即｜PF｜的最小值为 ，
C错误；对于D，直线l：x＋ y＝0的斜率为－ ，而点F不在l上，点
P在l上，则直线PF的斜率不等于－ ，D正确.故选A、D.
6. 〔多选〕已知曲线C： ＋y｜y｜＝1，则（ ）
A. 曲线C上的点（x，y）满足x∈R，y≤1
B. 曲线C关于x轴，y轴对称
C. 曲线C与x轴，y轴共有3个公共点
D. 曲线C与直线y＝ x只有1个公共点
√
√
√
解析： 当y≥0时，曲线C： ＋y2＝1表示椭
圆在x轴及其上方的部分；当y＜0时，曲线C： －
y2＝1表示双曲线在x轴下方的部分.其中双曲线的一
条渐近线为y＝ x，如图所示，曲线C上的点（x，y）满足x∈R，y≤1，A正确；且曲线C与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，即与x轴，y轴共有3个公共点，C正确；同时可知曲线C关于y轴对称，但不
关于x轴对称，B错误；因y＝ x是曲线C左下半支的一条渐近线，即曲线C与直线y＝ x只有一个公共点，D正确.故选A、C、D.
7. 双曲线 － ＝1（m＞0，n＞0）的渐近线方程为y＝± x，实轴长
为2，则m－n＝ .
解析：因为双曲线的实轴长为2 ，所以2 ＝2，所以m＝1，又渐近
线方程为y＝± x，所以 ＝ ，解得n＝2，所以m－n＝－1.
－1
8. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1
（－1，0），F2（1，0），若点F1关于直线y＝ x的对称点为F'1，且｜
F'1F2｜＞ ，则∠F1F'1F2＝ ，双曲线C的实轴长的取值范围
是 .
（ ，2）
解析：如图所示，记F'1F1的中点为M，则直线OM即为y
＝ x，OM⊥F'1F1，因为O为F1F2的中点，故
OM∥F'1F2，所以∠F1F'1F2＝∠F1MO＝ .因为kOM＝
＝ ，｜OF1｜＝c，故｜OM｜＝a，所以2a＝｜F'1F2｜＞ ，又2a＜2c＝2，所以2a∈（ ，2）.
9. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2.
（1）若点M在双曲线上，且 · ＝0，求点M到x轴的距离；
解： 不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
∵ · ＝0，∴MF1⊥MF2.
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由双曲线的定义知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8.
∵ ＝ mn＝4＝ ×2ch，
∴h＝ .即点M到x轴的距离为 .
（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（3 ，2），求双
曲线C的方程.
解： 设双曲线C的方程为 － ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线C过点（3 ，2），
∴ － ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴双曲线C的方程为 － ＝1.
10. （2024·苏锡常镇四市调研）在平面直角坐标系xOy中，已知A为双曲
线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右顶点，以OA为直径的圆与C的一
条渐近线交于另一点M，若｜AM｜＝ b，则C的离心率为（ ）
A. B. 2
C. 2 D. 4
√
解析： 由题意得，OM⊥AM，双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，故
tan∠AOM＝ ，即 ＝ ，又｜AM｜＝ b，所以｜OM｜＝ a，
由勾股定理得｜OM｜2＋｜AM｜2＝｜OA｜2，即 a2＋ b2＝a2，解得b2
＝3a2，e＝ ＝ ＝2，故选B.
11. 〔多选〕（2025·河南TOP二十名校质检）已知双曲线E： － ＝1
（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝10，过F1的直线l与E
的右支交于点P，若∠F1PF2＝ ，则（ ）
A. E的渐近线方程为y＝±2 x
B. 3｜PF1｜＝4｜PF2｜
C. 直线l的斜率为±
D. P的坐标为（ ， ）或（ ，－ ）
√
√
√
解析： 对于A选项，｜F1F2｜＝2 ＝10，且a＞0，解得a
＝1，又因为b＝2 ，故双曲线E的渐近线方程为y＝± x＝±2 x，A
对；对于B选项，因为点P在右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2①，
又因为∠F1PF2＝ ，则｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝100②，联立
①②可得｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，所以3｜PF1｜＝4｜PF2｜，B对；对
于C选项，若点P在第一象限，则直线l的斜率为 ＝tan∠PF1F2＝
＝ ＝ ，若点P在第四象限，由对称性可知，直线l的斜率为
＝－ .综上所述，直线l的斜率为± ，C错；
对于D选项，设点P（x，y），则x≥1，且x2－ ＝
1，可得y2＝24x2－24，所以｜PF1｜＝
＝ ＝ ＝5x
＋1＝8，解得x＝ ，则y2＝24×（ ）2－24＝ ，
可得y＝± ，即点P（ ，± ），D对.故选A、B、D.
12. （2024·甘肃一诊）若曲线C：mx2＋ny2＝1（mn≠0，m≠n）经过
（6，－ ），（－2， ），（4，0）这三点中的两点，则曲线C的离
心率可能为 （写出一个即可）.
解析：当曲线C经过点（6，－ ），（－2， ） 时，有
解得 曲线C的方程为 － ＝1，离心率
为e＝ ＝ ；
或 或 （只写一个即可）
当曲线C经过点（6，－ ），（4，0）时，有 解得
曲线C的方程为 － ＝1，离心率为e＝ ＝ ；
当曲线C经过点（－2， ），（4，0）时，有 解得
曲线C的方程为 ＋ ＝1，离心率为e＝ ＝ .
13. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
点P在双曲线的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，则此双曲线的离心率e
的最大值为 .
解析：由双曲线的定义，知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.又｜PF1｜＝4｜
PF2｜，∴｜PF1｜＝ a，｜PF2｜＝ a.在△PF1F2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝ ＝ － e2.求e的最大值，即求 cos ∠F1PF2
的最小值，故当∠F1PF2＝π，即 － e2＝－1时，e取得最大值，此时e2
＝ ，∴emax＝ .
14. 如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点A，B，它们距离城
市中心O的距离均为8 km，C是正北方向主干道边上的一个景点，且距
离城市中心O的距离为4 km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划
中的道路M-N-P如图所示，道路MN段上的任意一点到景点A的距离比到
景点B的距离都多16 km，其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6
km，道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，以O为原点、线段AB所
在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
（1）求道路M-N-P对应的曲线方程；
解：（1）根据题意，道路MN段上的任意一点到
景点A的距离比到景点B的距离都多16 km，
则道路MN所在的曲线是以定点A，B为左、右
焦点的双曲线的右支，其方程为x2－y2＝64
（8≤x≤10，0≤y≤6）.又由道路NP段上的任意一点到O的距离都相等，则道路NP所在的曲线为以O为圆心，ON为半径的圆，其方程为x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.故道路M-N-P对应的曲线方程为MN段：x2－y2
＝64（8≤x≤10，0≤y≤6），NP段：x2＋y2＝64（－8≤y≤0）.
（2）现要在M-N-P上建一站点Q，使得Q到景点C的距离最近，问如何
设置站点Q的位置（即确定点Q的坐标）？
解： 当点Q在道路MN上时，设Q1（x0，
y0），又由C（0，4），则｜CQ1｜＝
，
由（1）可得 － ＝64，
则｜CQ1｜＝ ＝ ，
可得当y0＝2时，｜CQ1｜有最小值，且｜CQ1｜min＝6 ；
当点Q在道路NP上时，设Q2（x1，y1），又由C（0，4），
则｜CQ2｜＝ ，
由（1）可得 ＋ ＝64，
则｜CQ2｜＝ ，
可得当y1＝0时，｜CQ2｜有最小值，且｜CQ2｜min＝4 .
因为6 ＜4 ，
所以｜CQ｜的最小值为6 ，此时y0＝2，x0＝2 ，
即点Q的坐标为（2 ，2）时，Q到C的距离最小.
15. （创新考法）（2024·华大新高考联盟联考）关于双曲线C： － ＝
1（a＞0，b＞0），4位同学给出了四个说法：
小明：双曲线C的实轴长为8；
小红：双曲线C的焦点到渐近线的距离为3；
小强：双曲线C的离心率为 ；
小同：双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1.
若这4位同学中只有1位同学的说法错误，则说法错误的是 ；双曲
线C的方程为 .（第一空的横线上填“小明”“小红”“小
强”或“小同”）
小强
－ ＝1
解析：小明正确有a＝4，小红正确有b＝3，小强正确有 ＝ ，小同正确
有c－a＝1，由此分析小明、小红、小强3位同学中必有1位同学说法错
误，则小同的说法一定是正确的，即c－a＝1，则小明和小红的说法正
确，小强的说法错误.可求得双曲线C的方程为 － ＝1.
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