4.1因式分解同步强化练习（含解析）

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4.1因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是
A．a（x+y）=ax+ay
B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）
D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．4
5．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m，n的值分别为（　　）
A． B．
C． D．
8．下列从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是(　　)．
A．(x＋1)(x－1)＝x2－1
B．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1
C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D．mx＋my＋nx＋ny＝m(x＋y)＋n(x＋y)
12．如果，那么的值为（ ）．
A．9 B． C． D．5
二、填空题
13．4x2-9=(2x+3)(2x-3)从左到右的变形是 .
14．分解因式： = .
15．把一个多项式分解成几个 的形式叫做分解因式．
16．利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32=
17．分解因式： .
三、解答题
18．已知整式，整式．
(1)若，求的值；
(2)若可以分解为，求的值．
19．如图，是由一个正方形和两个小长方形组成的一个大长方形，根据图形写出一个有关因式分解的等式．
20．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为，则，
即，
∴，解得．
故另一个因式为，m的值为－21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值．
21．已知多项式能分解因式，且含有因式．
(1)当时，求多项式的值；
(2)求的值．
22．下列由左到右的变形中，哪些是分解因式 哪些不是 请说出理由.
（1）a（x+y）=ax+ay；
（2）x2+2xy+y2-1＝x（x+2y）+（y +1）（y-1）；
（3）ax2-9a＝a（x+3）（x-3）；
（4）x2+2+=
（5）2a3＝2a·a·a.
23．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
24．问题：已知多项式含有因式和，求、的值．
解答：设（其中为整式），
∴取，得，①
∴取，得，②
由①、②解得，．
根据以上阅读材料解决下列问题：
(1)若多项式含有因式，求实数的值；
(2)若多项式含有因式，求实数、的值；
(3)如果一个多项式与某非负数的差含有某个一次因式，则称这个非负数是这个多项式除以该一次因式的余数．请求出多项式除以一次因式的余数．
《4.1因式分解》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C C C D A B B C
题号 11 12
答案 C C
1．A
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断．
【详解】A．把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
B．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C．结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D．是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变．
2．C
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．
【详解】A、是多项式乘法，故选项错误；
B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误；
C、提公因式法，故选项正确；
D、右边不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
3．C
【详解】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、等式右边中的不是整式，不是因式分解，故此选项不符合题意.
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义；严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．，选项从左到右的变形不正确，故本选项不符合题意；
C．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
6．D
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；
B、原式＝4a（a 2），不符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式＝（x 1）2，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
7．A
【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
将因式分解结果化为多项式形式，，然后根据系数相等求出m和n．
【详解】∵关于x的二次三项式分解因式的结果为，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．B
【详解】分析：根据因式分解的意义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，这个过程叫因式分解）逐个判断即可．
详解：A．右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．是因式分解，故本选项符合题意；
C．右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意．
故选B．
点睛：本题考查了因式分解的意义，能熟记因式分解的意义是解答此题的关键．
9．B
【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．
【详解】A项：右边= 左边，错误；
B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；
C项：右边= 左边，错误；
D项：右边= 左边，错误；
故本题答案为：B．
【点睛】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．
10．C
【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式判断，利用排除法求解即可得出答案．
【详解】根据因式分解的定义，容易看出答案A、B最后都不是乘积的形式，故这两个答案错误，D分解后不是整式乘积，故D错误，C是因式分解，故C选项正确，
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
11．C
【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此进行解答即可.
【详解】解：A、B、D三个选项均不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，故都不是因式分解，只有C选项符合因式分解的定义，
故选择C.
【点睛】本题考查了因式分解的定义，牢记定义是解题关键.
12．C
【分析】对分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件即可求出m的值．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解本题的关键．
13．因式分解
【详解】因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，由此可得该变形属于因式分解.
14．
【详解】提取公因式分解因式即可，即原式=.
15．整式乘积
【解析】略
16．31.4
【详解】3.68×15.7-31.4+15.7×0.32
=3.68×15.7-15.7×2+15.7×0.32
=15.7×（3.68-2+0.32）
=15.7×2
=31.4
17．
【分析】首先把后三项利用完全平方公式分解，然后利用平方差公式即可分解．
【详解】m2-(4n2-4n+1)=m2-(2n-1)2=.
故答案为.
【点睛】本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
18．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再根据完全平方公式以及对应系数相等求得a值即可；
（2）先化简，再利用多项式乘以多项式展开使得对应系数相等求出a值即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵可以分解为，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的混合运算，因式分解、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答的关键．
19．
【分析】本题考查了因式分解的应用，用两种方法求出大长方形的面积是解题的关键．
根据图形的面积=大长方形的面积，又等于两个小长方形的面积+正方形的面积，即可得到等式．
【详解】解：易得．
20．另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p 5＝3， 5p＝ k，求出p和k的值即可．
【详解】解：设另一个因式为x＋p，
由题意得：，
即，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40．
【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．(1)0
(2)
【分析】（1）因为多项式因式分解有一个因式为，代入，其中的因式等于，因此多项式的值为；
（2）把代入多项式的值为，求得的数值即可．
【详解】（1）解：是 一个因式，可设另一个因式为 ，
所以 ，
当 时，，
故此时多项式 的值是；
（2）当 时，，
把 代入 ，得：
，
解得 ．
【点睛】此题考查分解因式的实际运用，掌握分解因式的意义以及代数式求值的方法是解决问题的关键．
22．见解析
【详解】试题分析：根据因式分解的定义判断即可.
试题解析：
因为(1) (2)的右边都不是整式的积的形式.所以它们不是分解因式；(4)中，都不是整式，(5)中的2a3不是多项式，所以它们也不是分解因式．只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以(3)是分解因式.
23．(1)不是因式分解
(2)不是因式分解
(3)是因式分解
(4)不是因式分解
(5)不是因式分解
【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式．
根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式
【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解；
（2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（3）解：是因式分解；
（4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解；
（5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解．
24．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）设，其中为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得；
（2）设，其中为整式，分别取和可得一个关于的方程组，解方程组即可得；
（3）设，其中是一个非负的常数，为整式，取可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：设，其中为整式，
取，得，
解得．
（2）解：设，其中为整式，
取，得①，
取，得②，
由①、②解得．
（3）解：由题意，设，其中是一个非负的常数，为整式，
取，得，即，
解得，
故多项式除以一次因式的余数为4．
【点睛】本题考查了因式分解的应用、二元一次方程组和一元一次方程的应用，理解阅读材料中的方法是解题关键．
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