第三节 圆的方程
1.（2024·广州三模）设甲：实数a＜3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0是圆，则甲是乙的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.（2025·定西模拟）若点（2，1）在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部，则a的取值范围是（ ）
A.（，＋∞） B.（－∞，）
C.（－4，） D.（－∞，－4）∪（，＋∞）
3.圆M：（x－2）2＋（y－1）2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆N的方程为（ ）
A.（x＋1）2＋（y＋2）2＝1
B.（x－2）2＋（y＋1）2＝1
C.（x＋2）2＋（y＋1）2＝1
D.（x－1）2＋（y－2）2＝1
4.若m∈R，已知直线l：（m－1）x－y＋2m＋1＝0与圆C：x2＋y2＝16，则圆C上的点到直线l的距离的最小值是（ ）
A.0 B.2
C.6 D.9
5.如图，某个圆拱桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m；当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为（ ）
A.2 m B.20 m
C.4 m D.12 m
6.〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A.圆M的圆心坐标为（1，3）
B.圆M的半径为
C.圆M关于直线x＋y＝0对称
D.点（2，3）在圆M内
7.若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程是 .
8.若圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为 .
9.已知点P（2，2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
（1）求点M的轨迹方程；
（2）当｜OP｜＝｜OM｜时，求l的方程及△POM的面积.
10.点P（x，y）是直线2x＋y－5＝0上任意一点，O是坐标原点，则以OP为直径的圆经过定点（ ）
A.（0，0）和（1，1） B.（0，0）和（2，2）
C.（0，0）和（1，2） D.（0，0）和（2，1）
11.〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列命题正确的是（ ）
A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点（3，0）
C.经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
12.〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C（0，7），动点P满足｜PA｜＝｜PB｜，则（ ）
A.点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8
B.△PAB面积最大时，｜PA｜＝2
C.∠PAB最大时，｜PA｜＝2
D.点P到直线AC的距离的最小值为
13.若点P（x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的动点，定点A（0，2），B（0，－2），则｜＋｜的最大值为 .
14.在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点.
15.（创新考法）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（19）＝ .
第三节 圆的方程
1.B 若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则（－1）2＋32－4a＝10－4a＞0，解得a＜；∵a＜3 / a＜，a＜ a＜3，∴甲是乙的必要不充分条件.故选B.
2.C 依题意，方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示圆，则（－1）2＋12－4a＞0，得a＜；由点（2，1）在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部可知：22＋12－2＋1＋a＞0，得a＞－4.故－4＜a＜.故选C.
3.D 圆M：（x－2）2＋（y－1）2＝1的圆心为（2，1），半径为1，（2，1）关于直线x－y＝0的对称点是（1，2），所以圆N的圆心是（1，2），半径是1，所以圆N的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝1.故选D.
4.A 由（m－1）x－y＋2m＋1＝0得m（x＋2）＋1－x－y＝0，由得即直线过定点A（－2，3），｜OA｜＝＝＝＜4，即A在圆内，则l与圆C相交，故C上的点到l的距离最小值是0.
5.C 建立如图所示平面直角坐标系，则B（10，0），C（0，4），设圆拱所在圆的方程为x2＋（y－b）2＝r2，则解得b＝－，r2＝（）2.∴圆的方程为x2＋（y＋）2＝（）2.取y＝－1，得x2＝（）2－（）2＝×5＝120，∴x＝±2.则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m.故选C.
6.ABD 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为，因为直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0对称.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内.
7.（x－2）2＋＝
解析：由已知可设圆心为（2，b），由22＋b2＝（1－b）2＝r2，得b＝－，r2＝.故圆C的方程为（x－2）2＋＝.
8.1 解析：∵圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，∴2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2，当m＝2时，x2＋y2＝0，不符合题意舍去，当m＝1时，x2＋y2＋2x－2y＝0，即（x＋1）2＋（y－1）2＝2，满足题意，综上所述，则实数m的值为1.
9.解：圆C：x2＋（y－4）2＝42，故圆心为C（0，4），半径为4.
（1）当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是以线段PC为直径的圆（除去点P，C），
线段PC中点为（1，3），｜PC｜＝＝，
故点M的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2（x≠2，y≠2且x≠0，y≠4）.
当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为（2，2）或（0，4）.
综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2.
（2）由（1）可知点M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆.
由于｜OP｜＝｜OM｜，故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋，即x＋3y－8＝0.
又易得｜OM｜＝｜OP｜＝2，点O到l的距离为＝，｜PM｜＝2＝，
所以△POM的面积为××＝.
10.D 如图，过O作OM垂直于直线2x＋y－5＝0于点M，则以OP为直径的圆经过定点O和M，OM的方程为x－2y＝0，联立可得即M（2，1），故选D.
11.ABD 圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确.
12.ABD 设P（x，y），由｜PA｜＝｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2，2]，所以△PAB的面积S＝｜AB｜·｜y｜∈（0，2]，当△ABP面积最大时，P点坐标为（3，2）或（3，－2），此时｜PA｜＝＝2，B项正确；记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2）2＝8，｜PA｜＝2，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆心D（3，0）到直线AC的距离为＝，所以点P到直线AC的距离的最小值为－2＝，D项正确.故选A、B、D.
13.10 解析：由题意，知＝（－x，2－y），＝（－x，－2－y），所以＋＝（－2x，－2y），由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程（x－3）2＋y2＝4，故y2＝－（x－3）2＋4，所以｜＋｜＝＝2.由圆的方程（x－3）2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，｜＋｜的值最大，最大值为2×＝10.
14.解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）.
（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－.
此时C（0，－1），AB的中点M为圆心，
半径r＝｜CM｜＝，
故所求圆的方程为＋y2＝.
（2）证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，
将点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0.
令可得
或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和.
15. 解析：由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B（x，y）的轨迹是以点A（－2，0）为圆心，以2为半径的圆；当－2≤x＜2时，顶点B（x，y）的轨迹是以点D（0，0）为圆心，以2为半径的圆；当2≤x＜4时，顶点B（x，y）的轨迹是以点C（2，0）为圆心，以2为半径的圆；当4≤x＜6，顶点B（x，y）的轨迹是以点A（6，0）为圆心，以2为半径的圆，与－4≤x＜－2的形状相同.因此函数y＝f（x）的图象在[－4，4]恰好为一个周期的图象，如图所示，所以函数y＝f（x）的周期是8；所以f（19）＝f（3）＝.
2 / 2第三节 圆的方程
课标要求
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义与方程
提醒 当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0时，此方程表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何图形.
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在着下列关系：
（1）｜MC｜＞r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；
（2）｜MC｜＝r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；
（3）｜MC｜＜r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.
1.以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
2.圆心在任一弦的垂直平分线上.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径.（ ）
（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.（ ）
（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.（ ）
（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.（ ）
2.（人A选一 P102复习参考题7题改编）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为（ ）
A.（－2，0） B.（－∞，－2）∪（0，＋∞）
C.[－2，0] D.（－∞，－2]∪[0，＋∞）
3.（人A选一 P85练习3题改编）已知圆C以P1P2为直径，P1（4，9），P2（6，3），则下列各点在圆C外的是（ ）
A.M（6，9） B.N（3，3）
C.Q（5，3） D.R（4，4）
4.点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A.2 B.
C.3 D.9
5.〔多选〕已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A.圆心坐标为C（－2，3）
B.圆心坐标为C（2，－3）
C.半径r＝13
D.半径r＝
求圆的方程
（基础自学过关）
1.已知点A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四点共圆，则a＝ .
2.设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为 .
3.已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A（2，7），则圆C的标准方程为 .
练后悟通
求圆的方程的两种方法
与圆有关的轨迹问题
（师生共研过关）
（1）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程是（ ）
A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x
（2）已知O为坐标原点，点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解题技法
求解与圆有关的轨迹（方程）的方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.
提醒 要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
1.点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为3∶1，则点M的轨迹方程为 .
2.已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）.求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程.
与圆有关的最值问题
（定向精析突破）
考向1 利用几何性质求最值
已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x＋y的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
解题技法
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
考向2 利用对称性求最值
已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是 .
听课记录 解题技法
求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
考向3 建立函数关系求最值
设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，0），B（－2，0），则·的最大值为 .
听课记录
解题技法
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性质求最值.
1.（2023·全国乙卷文11题）已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（ ）
A.1＋ B.4
C.1＋3 D.7
2.设点P（x，y）是曲线y＝－上的任意一点，则的最小值是（ ）
A.2 B.
C. D.0
3.方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0所表示的圆的面积的取值范围是 .
第三节 圆的方程
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.定长 （a，b） （－，－）
2.（1）圆外 （2）圆上 （3）圆内
对点自测诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）√
2.B 3.B 4.C 5.BD
【考点·分类突破】
考点1
1.± 解析：设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F＞0，则解得所以过A，B，C的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1＝0，解得a2＝5，所以a＝±.
2.（x－1）2＋（y＋1）2＝5
解析：法一 设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则解得∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0），则M（－，－），
∴
解得∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三 设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝＝－，AB的中点坐标为（，），∴AB的垂直平分线方程为y－＝3（x－），即3x－y－4＝0.联立得解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
3.x2＋（y－8）2＝5
解析：如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与切线垂直，得＝－，解得m＝8.所以圆心坐标为（0，8），半径为r＝＝.所以圆C的标准方程为x2＋（y－8）2＝5.
考点2
【例1】 （1）B 因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，1），半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1，又AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则｜AC｜＝＝，设A（x，y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
（2）解：设P（x，y），N（x0，y0），
∵四边形MONP为平行四边形，
则＝＋，即（x，y）＝（－3，4）＋（x0，y0），
即则
又N（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，
∴＋＝4，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－x，
联立
得或
∴点P的轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和（－，）.
跟踪训练
1.（x－）2＋y2＝
解析：设点M（x，y），由题知＝3，两边平方化简得2x2＋2y2－9x＋9＝0，即（x－）2＋y2＝，所以点M的轨迹方程为（x－）2＋y2＝.
2.解：（1）法一 设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）.
法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知｜CD｜＝｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）.
（2）设M（x，y），C（x0，y0），
因为B（3，0），且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x－4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2＝1（y≠0）.
因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）.
考点3
【例2】 解：（1）可视为点（x，y）与原点连线的斜率，的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即＝1，解得k＝－2＋或k＝－2－，
∴的最大值为－2＋，最小值为－2－.
（2）设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
（3）
＝，求它的最值可视为求点（x，y）到定点（－1，2）的距离的最值，可转化为求圆心（2，－3）到定点（－1，2）的距离与半径的和或差.
又圆心到定点（－1，2）的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
【例3】 2 解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆心，半径r＝的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'（m，n），所以解得故A'（－4，－2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2.
【例4】 12 解析：由题意，知＝（2－x，－y），＝（－2－x，－y），所以·＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以·＝－（y－3）2＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
跟踪训练
1.C 法一 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.故选C.
法二 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝时取等号.故选C.
2.B 曲线y＝－表示以（1，0）为圆心，2为半径的下半圆，如图所示，表示点P（x，y）与Q（4，2）连线的斜率k，当直线PQ与圆相切时，设直线方程为y－2＝k（x－4），即kx－y－4k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝＝2，解得k＝0或k＝，因为y≤0，所以k＝，当直线经过点A（－1，0）时，kQA＝＝，由图可知≤k≤，所以的最小值是.故选B.
3.（0，18π] 解析：由圆的方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0，变形得（x－k）2＋（y－2）2＝－k2＋4k＋14，所以r2＝－k2＋4k＋14＝－（k－2）2＋18≤18，所以0＜πr2≤18π，所以该圆的面积的取值范围是（0，18π].
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第三节 圆的方程
高中总复习·数学
课标要求
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方
程与一般方程.
2. 能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
04.
微突破 隐圆问题
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 圆的定义与方程
提醒 当D2＋E2－4F＞0时，此方程表示的图形是圆；当D2＋E2－4F＝0
时，此方程表示一个点 ；当D2＋E2－4F＜0时，它不表示任何
图形.
2. 点与圆的位置关系
平面上的一点M（x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2之间存在
着下列关系：
（1）｜MC｜＞r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2；
（2）｜MC｜＝r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2；
（3）｜MC｜＜r 点M在 ，即（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2.
圆外
圆上
圆内
1. 以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x
－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）确定圆的几何要素是圆心与半径. （ √ ）
（2）方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆. （ × ）
（3）方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆. （ × ）
（4）方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝
C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0. （ √ ）
√
×
×
√
2. （人A选一 P102复习参考题7题改编）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay－
10a＝0表示圆，则实数a的取值范围为（ ）
A. （－2，0）
B. （－∞，－2）∪（0，＋∞）
C. [－2，0]
D. （－∞，－2]∪[0，＋∞）
解析： 由x2＋y2＋2ax－4ay－10a＝0，得（x＋a）2＋（y－2a）2＝
5a2＋10a，由该曲线表示圆，可知5a2＋10a＞0，解得a＞0或a＜－2.
√
3. （人A选一 P85练习3题改编）已知圆C以P1P2为直径，P1（4，9），
P2（6，3），则下列各点在圆C外的是（ ）
A. M（6，9） B. N（3，3）
C. Q（5，3） D. R（4，4）
解析： 由线段的中点坐标公式，可得圆心为C（5，6）.因为｜P1P2｜
＝ ＝2 ，所以圆C的方程为（x－5）2＋（y
－6）2＝10.因为｜CM｜＝ ＝r，所以点M在圆上；因为｜CN｜＝
＞r，所以点N在圆外；因为｜CQ｜＝3＜r，所以点Q在圆内；因
为｜CR｜＝ ＜r，所以点R在圆内.
√
4. 点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于
直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A. 2 B.
C. 3 D. 9
解析： 由题意知直线x－y＋1＝0经过圆心，所以－ ＋1＋1＝0，k＝
4.所以圆的方程为x2＋y2＋4x＋2y－4＝0，圆的半径r＝ ＝3，故
选C.
√
5. 〔多选〕已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 圆心坐标为C（－2，3）
B. 圆心坐标为C（2，－3）
C. 半径r＝13
D. 半径r＝
解析： 圆的方程可化为（x－2）2＋（y＋3）2＝13，所以圆心坐标
是C（2，－3），半径r＝ .
√
√
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
求圆的方程（基础自学过关）
1. 已知点A（－2，1），B（－1，0），C（2，3），M（a，2）四点共
圆，则a＝ .
解析：设过A，B，C的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－
4F＞0，则 解得 所以过A，B，C
的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0.又因为点M在此圆上，所以a2＋4－8－1
＝0，解得a2＝5，所以a＝± .
±
2. 设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则
☉M的方程为 .
解析：法一 设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则
解得 ∴☉M的方程为（x－1）2＋（y
＋1）2＝5.
（x－1）2＋（y＋1）2＝5
法二 设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，（D2＋E2－4F＞0），则
M（－ ，－ ），
∴ 解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三 设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝ ＝－ ，
AB的中点坐标为（ ， ），∴AB的垂直平分线方程为y－ ＝3（x－
），即3x－y－4＝0.联立得 解得M（1，－1），∴r2
＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2
＋（y＋1）2＝5.
3. 已知圆C的圆心坐标是（0，m），若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于
点A（2，7），则圆C的标准方程为 .
解析：如图所示，由圆心C（0，m）与切点A的连线与
切线垂直，得 ＝－ ，解得m＝8.所以圆心坐标为
（0，8），半径为r＝ ＝ .
所以圆C的标准方程为x2＋（y－8）2＝5.
x2＋（y－8）2＝5
练后悟通
求圆的方程的两种方法
与圆有关的轨迹问题（师生共研过关）
（1）已知圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，点M是圆上的动点，
AM与圆相切，且｜AM｜＝2，则点A的轨迹方程是（ ）
A. y2＝4x
B. x2＋y2－2x－2y－3＝0
C. x2＋y2－2y－3＝0
D. y2＝－4x
√
解析：B 因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，
1），半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1，又AM与圆
相切，且｜AM｜＝2，则｜AC｜＝ ＝ ，设A
（x，y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所
以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
解析： 因为圆C：（x－1）2＋（y－1）2＝1，所以圆心C（1，
1），半径r＝1，因为点M是圆上的动点，所以｜MC｜＝1，又AM与圆
相切，且｜AM｜＝2，则｜AC｜＝ ＝ ，设A
（x，y），则（x－1）2＋（y－1）2＝5，即x2＋y2－2x－2y－3＝0，所
以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
（2）已知O为坐标原点，点M（－3，4），动点N在圆x2＋y2＝4上运
动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.
解：设P（x，y），N（x0，y0），
∵四边形MONP为平行四边形，
则 ＝ ＋ ，即（x，y）＝（－3，4）＋（x0，y0），
即 则
又N（x0，y0）在圆x2＋y2＝4上，
∴ ＋ ＝4，故（x＋3）2＋（y－4）2＝4，
易知直线OM的方程为y＝－ x，
联立 得 或
∴点P的轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－ ， ）和
（－ ， ）.
解题技法
求解与圆有关的轨迹（方程）的方法
（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
（2）定义法：根据圆、直线等定义列方程；
（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；
（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
求解.
提醒 要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.
1. 点M与两个定点O（0，0），P（2，0）的距离的比为3∶1，则点M的
轨迹方程为 .
解析：设点M（x，y），由题知 ＝3，两边平方化简得2x2
＋2y2－9x＋9＝0，即（x－ ）2＋y2＝ ，所以点M的轨迹方程为（x－
）2＋y2＝ .
（x－ ）2＋y2＝
2. 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）.求：
（1）直角顶点C的轨迹方程；
解： 法一 设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝ ，kBC＝ ，
所以 · ＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）.
法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的
性质知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，
0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴
的交点）.
所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）.
（2）直角边BC的中点M的轨迹方程.
解： 设M（x，y），C（x0，y0），
因为B（3，0），且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝ ，y＝ ，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由（1）知，点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0），
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得（2x－4）2＋（2y）2＝4，即（x－2）2＋y2
＝1（y≠0）.
因此动点M的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝1（y≠0）.
与圆有关的最值问题（定向精析突破）
考向1 利用几何性质求最值
已知点（x，y）在圆（x－2）2＋（y＋3）2＝1上.
（1）求 的最大值和最小值；
解： 可视为点（x，y）与原点连线的斜率， 的最大值和最小值就
是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相
切时的斜率.
设过原点的直线的方程为y＝kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等
于半径，即 ＝1，解得k＝－2＋ 或k＝－2－ ，
∴ 的最大值为－2＋ ，最小值为－2－ .
（2）求x＋y的最大值和最小值；
解： 设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上
的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和
最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即 ＝1，解得t＝ －1或t＝－ －1.
∴x＋y的最大值为 －1，最小值为－ －1.
（3）求 的最大值和最小值.
解： ＝ ，求它的
最值可视为求点（x，y）到定点（－1，2）的距离的最值，可转化为求圆
心（2，－3）到定点（－1，2）的距离与半径的和或差.
又圆心到定点（－1，2）的距离为 ，
∴ 的最大值为 ＋1，最小值为 －1.
解题技法
与圆有关的最值问题的三种几何转化法
考向2 利用对称性求最值
已知A（0，2），点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－
4x－2y＝0上，则｜PA｜＋｜PQ｜的最小值是 .
2
解析：因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，所以圆C是以C（2，1）为圆
心，半径r＝ 的圆.设点A（0，2）关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'
（m，n），所以 解得 故A'（－4，－
2）.连接A'C交圆C于Q（图略），交直线x＋y＋2＝0于P，此时，｜
PA｜＋｜PQ｜取得最小值，由对称性可知｜PA｜＋｜PQ｜＝｜A'P｜
＋｜PQ｜＝｜A'Q｜＝｜A'C｜－r＝2 .
解题技法
求解形如｜PM｜＋｜PN｜（其中M，N均为动点）且与圆C上动点
有关的折线段的最值问题的基本思路：
（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；
（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一
般要通过对称性解决.
考向3 建立函数关系求最值
设点P（x，y）是圆：x2＋（y－3）2＝1上的动点，定点A（2，
0），B（－2，0），则 · 的最大值为 .
解析：由题意，知 ＝（2－x，－y）， ＝（－2－x，－y），所以
· ＝x2＋y2－4，由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋（y－3）2＝1，故x2＝－（y－3）2＋1，所以 · ＝－（y－3）2
＋1＋y2－4＝6y－12.由圆的方程x2＋（y－3）2＝1，易知2≤y≤4，所以
当y＝4时， · 的值最大，最大值为6×4－12＝12.
12
解题技法
根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性
质求最值.
1. （2023·全国乙卷文11题）已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，
则x－y的最大值是（ ）
A. 1＋ B. 4
C. 1＋3 D. 7
√
解析： 法一 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表
示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆
（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离
d＝ ≤3，解得1－3 ≤t≤1＋3 .故选C.
法二 由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3 cos
θ，y＝1＋3 sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3 cos θ－3 sin θ＝1＋
3 · cos （θ＋ ）≤1＋3 ，当θ＝ 时取等号.故选C.
2. 设点P（x，y）是曲线y＝－ 上的任意一点，则 的
最小值是（ ）
A. 2 B.
C. D. 0
√
解析： 曲线y＝－ 表示以（1，0）为
圆心，2为半径的下半圆，如图所示， 表示点P
（x，y）与Q（4，2）连线的斜率k，当直线PQ与圆
相切时，设直线方程为y－2＝k（x－4），即kx－y－
4k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝ ＝2，解得k＝0或k＝ ，因为y≤0，所以k＝ ，当直线经过点A（－1，0）时，kQA＝ ＝ ，由图可知 ≤k≤ ，所以 的最小值是 .故选B.
3. 方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0所表示的圆的面积的取值范围
是 .
解析：由圆的方程x2＋y2－2kx－4y＋2k2－4k－10＝0，变形得（x－k）
2＋（y－2）2＝－k2＋4k＋14，所以r2＝－k2＋4k＋14＝－（k－2）2＋
18≤18，所以0＜πr2≤18π，所以该圆的面积的取值范围是（0，18π].
（0，18π]
PART 03
微突破 隐圆问题
1. 有些时候，在题干中没有直接给出圆方面的信息，要通过分析和转化发
现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问
题为“隐圆”问题.
2. 常见的“隐圆”类型
（1）“定义圆”：在平面内，{M｜｜MA｜＝r}，其中M为动点，A为
定点，r＞0为定值；
（2）“斜率圆”：在平面内，{M｜kMA·kMB＝－1}，其中M为动点，
A，B为定点，且点M的横坐标不等于A，B的横坐标；
（3）“平方圆”：在平面内，{M｜｜MA｜2＋｜MB｜2＝λ}，其中M
为动点，A，B为定点，λ为定值；
（4）“向量圆”：在平面内，{M｜ · ＝λ}，其中M为动点，
A，B为定点，λ为定值；
特别地，若A，B为定点，且 · ＝0，则点M的轨迹是以AB为直径
的圆；
拓展：“角度圆”——在平面内，与两定点所成角为定值的点的集合；
（角度可用向量的夹角公式表示）
（5）“比值圆”（阿波罗尼斯圆）：在平面内，到两定点距离之比为定
值的点的集合.数学语言描述为{M｜ ＝λ}，其中M为动点，A，
B为定点，λ为定值，λ＞0且λ≠1.（当λ＝1时，M的轨迹是线段AB的
垂直平分线）
（1）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定
点距离之比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为
阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点P满足 ＝
，若点P不在直线AB上，则△PAB面积的最大值为（ B ）
A. 1 B.
C. 2 D. 2
B
√
解析： 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直
角坐标系，如图，则B（2，0）.设点P（x，y）.由
＝ ，得3｜PA｜2＝｜PB｜2，即3x2＋3y2＝
（x－2）2＋y2，整理得（x＋1）2＋y2＝3.因此点P的轨迹是以点C（－1，0）为圆心， 为半径的圆（除去与x轴的交点），则P到直线AB距离的最大值为 ，所以△PAB面积的最大值为S＝ ｜AB｜× ＝ .
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky
－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线l：x－y－4＝0的距离
的最大值为 ；
解析：（2）由题意，直线l1过定点A（0，2），l2过定
点B（2，0），且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆
T：（x－1）2＋（y－1）2＝2上.如图，圆心T（1，1）
到直线l的距离d＝ ＝2 ，从而点P到直线l
的距离的最大值为d＋ ＝3 .
3
（3）已知A，B是圆O：x2＋y2＝1上的动点，｜AB｜＝ ，P是圆C：
（x－2）2＋（y－1）2＝ 上的动点，则｜ ＋ ｜的取值范围
是 ；
[2 －4，2 ＋4]
解析： 取AB的中点D. 因为｜AB｜＝ ，所以｜
OD｜＝ ＝ ，从而点D的轨迹方程
为x2＋y2＝ ，所以点D的轨迹是以原点O为圆心， 为
半径的圆.因为C（2，1），所以｜OC｜＝ .如图，又圆C的半径为 ，所以 －2≤｜ ｜≤ ＋2，而 ＋ ＝2 ，所以｜ ＋ ｜＝2｜ ｜，从而2 －4≤｜ ＋ ｜≤2 ＋4.
（4）已知点A（2，3），B（6，－3），点P在直线3x－4y＋3＝0上，
若满足 · ＋2λ＝0的点P有两个，则实数λ的取值范围为
；
解析： 设P（x，y），则 ＝（2－x，3－y）， ＝（6－x，
－3－y），所以 · ＋2λ＝（2－x）（6－x）＋（3－y）（－3－
y）＋2λ＝x2＋y2－8x＋3＋2λ＝0，即（x－4）2＋y2＝13－2λ，故问
题等价于直线3x－4y＋3＝0与圆（x－4）2＋y2＝13－2λ相交，所以
（－
∞，2）
（5）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝
1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，
则实数a的取值范围是 .
解析： 设M（x，y）.由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，得x2＋（y－
2）2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋（y－1）2＝4，即点M在圆E：x2＋（y－
1）2＝4上.由题知圆E与圆C有公共点，所以2－1≤｜CE｜≤2＋1，即2
－1≤ ≤2＋1，所以1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，
即实数a的取值范围是[0，3].
[0，3]
1. 已知点A（－m，0），B（m，0），若圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝
0上存在点P，使得PA⊥PB，则实数m的最大值是（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0即为：（x－3）2＋（y－4）2＝
1，其圆心为C（3，4），半径为1，设AB的中点为M，因为点A（－m，
0），B（m，0），所以M（0，0），以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝
m2，｜CM｜＝ ＝5，若圆C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0上存在点
P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点，即｜｜m｜－1｜≤5≤｜
m｜＋1，解得4≤｜m｜≤6，所以实数m的最大值是6.故选C.
√
2. （2025·赣州模拟）已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（λ＞
0，λ≠1），那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平
面直角坐标系中，圆O：x2＋y2＝1，点A（－ ，0）和点B（0， ），
M为圆O上的动点，则2｜MA｜－｜MB｜的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 设M（x，y），令2｜MA｜＝｜MC｜，
则 ＝ ，由题知圆O：x2＋y2＝1是关于点
A，C的阿波罗尼斯圆，且λ＝ ，设点C（m，
n），则 ＝ ＝ ，整理得x2＋y2＋ x＋ y＝ ，比较两方程可得 ＝0， ＝0， ＝1，即m＝
－2，n＝0，点C（－2，0），当点M位于图中M1的位置时，2｜MA｜－
｜MB｜＝｜MC｜－｜MB｜的值最大，最大为｜BC｜＝ .故选B.
3. 设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－
m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·｜PB｜的最大值是（ ）
A. 4 B. 10
C. 5 D.
√
解析： 由题意可知，动直线x＋my＝0经过定点A（0，0），动直线
mx－y－m＋3＝0即m（x－1）－y＋3＝0，经过定点B（1，3）.因为
1×m－m×1＝0，所以动直线x＋my＝0和动直线mx－y－m＋3＝0始终
垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2
＝｜AB｜2＝10，故｜PA｜·｜PB｜≤ ＝5（当且仅
当｜PA｜＝｜PB｜＝ 时取“＝”），故选C.
PART 04
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2024·广州三模）设甲：实数a＜3；乙：方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0
是圆，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 若方程x2＋y2－x＋3y＋a＝0表示圆，则（－1）2＋32－4a＝
10－4a＞0，解得a＜ ；∵a＜3 / a＜ ，a＜ a＜3，∴甲是乙的必
要不充分条件.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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18
19
20
20
22
23
24
25
2. （2025·定西模拟）若点（2，1）在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部，则
a的取值范围是（ ）
A. （ ，＋∞）`
B. （－∞， ）
C. （－4， ）
D. （－∞，－4）∪（ ，＋∞）
√
解析： 依题意，方程x2＋y2－x＋y＋a＝0表示圆，则（－1）2＋12－
4a＞0，得a＜ ；由点（2，1）在圆x2＋y2－x＋y＋a＝0的外部可知：
22＋12－2＋1＋a＞0，得a＞－4.故－4＜a＜ .故选C.
3. 圆M：（x－2）2＋（y－1）2＝1与圆N关于直线x－y＝0对称，则圆
N的方程为（ ）
A. （x＋1）2＋（y＋2）2＝1
B. （x－2）2＋（y＋1）2＝1
C. （x＋2）2＋（y＋1）2＝1
D. （x－1）2＋（y－2）2＝1
解析： 圆M：（x－2）2＋（y－1）2＝1的圆心为（2，1），半径
为1，（2，1）关于直线x－y＝0的对称点是（1，2），所以圆N的圆心
是（1，2），半径是1，所以圆N的方程为（x－1）2＋（y－2）2＝1.
故选D.
√
4. 若m∈R，已知直线l：（m－1）x－y＋2m＋1＝0与圆C：x2＋y2＝
16，则圆C上的点到直线l的距离的最小值是（ ）
A. 0 B. 2
C. 6 D. 9
解析： 由（m－1）x－y＋2m＋1＝0得m（x＋2）＋1－x－y＝0，
由 得 即直线过定点A（－2，3），｜OA｜＝
＝ ＝ ＜4，即A在圆内，则l与圆C相交，故C上
的点到l的距离最小值是0.
√
5. 如图，某个圆拱桥的水面跨度是20 m，拱顶离水面4 m；当水面下降1 m
后，桥在水面的跨度为（ ）
A. 2 m B. 20 m
C. 4 m D. 12 m
解析： 建立如图所示平面直角坐标系，则B（10，
0），C（0，4），设圆拱所在圆的方程为x2＋（y－
b）2＝r2，则 解得b＝－ ，r2＝
（ ）2.∴圆的方程为x2＋（y＋ ）2＝（ ）2.取y＝
－1，得x2＝（ ）2－（ ）2＝ ×5＝120，∴x＝±2 .则当水面下降1 m后，桥在水面的跨度为4 m.故选C.
√
6. 〔多选〕已知△ABC的三个顶点为A（－1，2），B（2，1），C
（3，4），则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是（ ）
A. 圆M的圆心坐标为（1，3）
B. 圆M的半径为
C. 圆M关于直线x＋y＝0对称
D. 点（2，3）在圆M内
√
√
√
解析： 设△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2＋E2－4F＞0），则 解得
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2＋y2－2x－6y＋5＝0，即（x－1）2
＋（y－3）2＝5.故圆M的圆心坐标为（1，3），圆M的半径为 ，因为
直线x＋y＝0不经过圆M的圆心（1，3），所以圆M不关于直线x＋y＝0
对称.因为（2－1）2＋（3－3）2＝1＜5，故点（2，3）在圆M内.
7. 若圆C经过坐标原点和点（4，0）且与直线y＝1相切，则圆C的方程
是 .
解析：由已知可设圆心为（2，b），由22＋b2＝（1－b）2＝r2，得b＝－
，r2＝ .故圆C的方程为（x－2）2＋ ＝ .
（x－2）2＋ ＝
8. 若圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过坐
标原点，则实数m的值为 .
解析：∵圆C：x2＋y2－2（m－2）x＋2（m－2）y＋2m2－6m＋4＝0过
坐标原点，∴2m2－6m＋4＝0，解得m＝1或m＝2，当m＝2时，x2＋y2
＝0，不符合题意舍去，当m＝1时，x2＋y2＋2x－2y＝0，即（x＋1）2＋
（y－1）2＝2，满足题意，综上所述，则实数m的值为1.
1
（1）当C，M，P三点均不重合时，∠CMP＝90°，所以点M的轨迹是
以线段PC为直径的圆（除去点P，C），
线段PC中点为（1，3）， ｜PC｜＝ ＝ ，
故点M的轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2（x≠2，y≠2且x≠0，
y≠4）.
当C，M，P三点中有重合的情形时，易求得点M的坐标为（2，2）或
（0，4）.
综上可知，点M的轨迹是一个圆，轨迹方程为（x－1）2＋（y－3）2＝2.
9. 已知点P（2，2），圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交
于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.
（1）求点M的轨迹方程；
解：圆C：x2＋（y－4）2＝42，故圆心为C（0，4），半径为4.
（2）当｜OP｜＝｜OM｜时，求l的方程及△POM的面积.
解：由（1）可知点M的轨迹是以点N（1，3）为圆心， 为半径的圆.
由于｜OP｜＝｜OM｜，故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，
从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－ ，故l的方程为y＝－ x＋ ，即x
＋3y－8＝0.
又易得｜OM｜＝｜OP｜＝2 ，点O到l的距离为 ＝ ，｜
PM｜＝2 ＝ ，
所以△POM的面积为 × × ＝ .
10. 点P（x，y）是直线2x＋y－5＝0上任意一点，O是坐标原点，则以
OP为直径的圆经过定点（ ）
A. （0，0）和（1，1） B. （0，0）和（2，2）
C. （0，0）和（1，2） D. （0，0）和（2，1）
解析： 如图，过O作OM垂直于直线2x＋y－5＝0
于点M，则以OP为直径的圆经过定点O和M，OM
的方程为x－2y＝0，联立 可得 即M（2，1），故选D.
√
11. 〔多选〕设有一组圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4（k∈R），下列
命题正确的是（ ）
A. 不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆的面积均为4π
√
√
√
解析： 圆心坐标为（k，k），在直线y＝x上，A正确；令（3－
k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜
0，∴2k2－6k＋5＝0无实数根，B正确；由（2－k）2＋（2－k）2＝
4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，有两个不相等实根，∴
经过点（2，2）的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积
为4π，D正确.
12. 〔多选〕在平面直角坐标系中，点A（－1，0），B（1，0），C
（0，7），动点P满足｜PA｜＝ ｜PB｜，则（ ）
A. 点P的轨迹方程为（x－3）2＋y2＝8
B. △PAB面积最大时，｜PA｜＝2
C. ∠PAB最大时，｜PA｜＝2
D. 点P到直线AC的距离的最小值为
√
√
√
解析： 设P（x，y），由｜PA｜＝ ｜PB｜得，｜PA｜2＝2｜
PB｜2，所以[x－（－1）]2＋（y－0）2＝2[（x－1）2＋（y－0）2]，化
简得（x－3）2＋y2＝8，A项正确；由对A的分析知y∈[－2 ，2 ]，
所以△PAB的面积S＝ ｜AB｜·｜y｜∈（0，2 ]，当△ABP面积最大
时，P点坐标为（3，2 ）或（3，－2 ），此时｜PA｜＝
＝2 ，B项正确；
记圆（x－3）2＋y2＝8的圆心为D，则D（3，0），当∠PAB最大时，PA
为圆D的切线，连接PD，则｜PA｜2＝｜AD｜2－｜PD｜2＝42－（2 ）
2＝8，｜PA｜＝2 ，C项错误；直线AC的方程为7x－y＋7＝0，所以圆
心D（3，0）到直线AC的距离为 ＝ ，所以点P到直线AC
的距离的最小值为 －2 ＝ ，D项正确.故选A、B、D.
13. 若点P（x，y）是圆（x－3）2＋y2＝4上的动点，定点A（0，2），
B（0，－2），则｜ ＋ ｜的最大值为 .
解析：由题意，知 ＝（－x，2－y）， ＝（－x，－2－y），所以
＋ ＝（－2x，－2y），由于点P（x，y）是圆上的点，故其坐标
满足方程（x－3）2＋y2＝4，故y2＝－（x－3）2＋4，所以｜ ＋ ｜
＝ ＝2 .由圆的方程（x－3）2＋y2＝4，易知
1≤x≤5，所以当x＝5时，｜ ＋ ｜的值最大，最大值为
2× ＝10.
10
14. 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R）与x轴
交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.
（1）是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不
存在，请说明理由；
解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m（m∈R），令y＝0，得x2－mx＋2m＝
0.设A（x1，0），B（x2，0），可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞
8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C（0，2m）.
（1）若存在以AB为直径的圆过点C，则 · ＝0，得x1x2＋4m2＝0，
即2m＋4m2＝0，所以m＝0（舍去）或m＝－ .
此时C（0，－1），AB的中点M 为圆心，
半径r＝｜CM｜＝ ，
故所求圆的方程为 ＋y2＝ .
（2）求证：过A，B，C三点的圆过定点.
解：证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，将
点C（0，2m）代入可得E＝－1－2m，所以过A，B，C三点的圆的方
程为x2＋y2－mx－（1＋2m）y＋2m＝0.
整理得x2＋y2－y－m（x＋2y－2）＝0.
令 可得 或
故过A，B，C三点的圆过定点（0，1）和 .
15. （创新考法）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形
ABCD沿x轴滚动（无滑动滚动），点D恰好经过坐标原点，设顶点B
（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则f（19）＝ .
解析：由题意，当－4≤x＜－2时，顶点B（x，y）
的轨迹是以点A（－2，0）为圆心，以2为半径的
圆；当－2≤x＜2时，顶点B（x，y）的轨迹是以点
D（0，0）为圆心，以2 为半径的 圆；当2≤x＜4时，顶点B（x，y）的轨迹是以点C（2，0）为圆心，以2为半径的 圆；当4≤x＜6，顶点B（x，y）的轨迹是以点A（6，0）为圆心，以2为半径的 圆，与－4≤x＜－2的形状相同.因此函数y＝f（x）的图象在[－4，4]恰好为一个周期的图象，如图所示，所以函数y＝f（x）的周期是8；所以f（19）＝f（3）＝ .
THANKS
演示完毕 感谢观看
