5.2简单的轴对称图形同步强化练习（含解析）

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5.2简单的轴对称图形
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果的一个外角等于，且，则（ ）
A． B． C． D．或
2．如图，直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，则下列说法一定正确的是（　　）
A．， B．
C．， D．
3．如图，在中，．在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A．30 B．35° C．40° D．50°
4．如图，图形在由完全相同的小正方形拼接而成的网格中，顶点，，，均在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．射线OC在∠AOB的内部，下列给出的条件中不能得出OC是∠AOB的平分线的是(　　)
A．∠AOC＝∠BOC
B．∠AOC＋∠BOC＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠AOC
D．∠BOC＝∠AOB
6．如图，△ABC中，点D是BC延长线上一点，且∠CAD=90°﹣∠BAC，过点C作CE∥AD交AB于点E，且∠ACE=3∠BCE，AC=3，BE=2，则CD的长为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．中，是边上的高，E为的中点，若，则的长为（ ）．
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
8．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线 B．底边上的高
C．底边上的高所在的直线 D．腰上的高所在的直线
9．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，OC为∠AOB的角平分线，点P是OC上的一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F为OC上另一点，连接DF，EF，则下列结论：①OD＝OE；②DF＝FE； ③∠DFO＝∠EFO；④S△DFP＝S△EFP，正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．如图，在中，，平分，于E，则下列结论中，不正确的是（ ）
A．平分 B． C．平分 D．
12．已知一个等腰三角形一底角的度数为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
13．如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ．
14．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E．若，，则的周长为 ．
15．如图，在中，，于点，点、在边上，点在点的左侧，且，则图中全等三角形的对数共有 对．
16．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAD=20°，则∠CDE度数是 度．
17．如图，，和分别平分和，过点且与垂直．若，则点到的距离是 ．
三、解答题
18．证明“全等三角形的对应角平分线相等”，命题证明应有四个步骤：画出图形，写出已知，求证及证明过程，把下列证明补完整．
图形：如图所示：
已知：
求证：
证明：
19．在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知．
(1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______；
(2)在图②中，若，求的面积；
(3)若P是直线上的一个动点，求的最小值．
20．如图，已知线段，作线段的垂直平分线．
21．如图，直线分别与直线，交于点，．平分，平分，且∥．求证：∥．
22．如图，已知∠BAD+∠ADC＝180°，AE平分∠BAD，CD与AE相交于F，DG交BC的，延长线于G，∠CFE＝∠AEB
（1）若∠B＝87°，求∠DCG的度数；
（2）AD与BC是什么位置关系？并说明理由；
（3）若∠DAB＝α，∠DGC＝β，直接写出α、β满足什么数量关系时，AE∥DG．
23．如图，A，B是圆上的任意两点，如何找到关于这两点的对称轴？你有哪些方法？
24．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
《5.2简单的轴对称图形》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B B A D C B D
题号 11 12
答案 A D
1．D
【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以得到：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为30°；（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为180° 30° 30°＝120°．
【详解】分两种情况：（1）当这个150°的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角∠A为30°；
（2）当这个150°的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角∠A为180° 30° 30°＝120°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．
2．C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，即可作出判断．
【详解】∵直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，
∴，．
故选：C．
3．C
【分析】旋转中心为点A，B与，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求．
【详解】解：∵，，
∴，
又∵C、为对应点，点A为旋转中心，
∴，即为等腰三角形，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了等边对等角，平行线的性质．
4．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟悉网格结构，证明全等三角形是解题的关键．
可得，，继而，那么，，即可求解．
【详解】解：如图：
由网格可得，，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．B
【分析】根据角平分线的定义分析出角之间的倍分关系进行判断．
【详解】解：当OC是∠AOB的平分线时，∠AOC=∠BOC，∠AOB=2∠AOC，，所以A、C、D选项能判断OC是∠AOB的平分线.
∠AOB=∠AOC+∠BOC只能说明射线OC在∠AOB内，不一定是角平分线．
故选B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义．正确表述角之间的倍分关系是解题的关键．
6．A
【分析】运用等腰三角形的性质，平行线的性质，得到∠B=2∠BCE；作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，由垂直平分线的性质定理，等腰三角形的性质，以及平行线的性质，求出BC的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵∠CAD=90°﹣∠BAC，
∴，
∵，
∴，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵∠ACE=3∠BCE，
∴∠AEC=3∠BCE=∠B+∠BCE，
∴∠B=2∠BCE；
作AF⊥CE，垂足为F，延长AF交BC于点M，作EG∥AF，交BC于点G，如图：
∵△ACE是等腰三角形，
∴AF是CE的垂直平分线，
∴CM=EM，
∴∠MCE=∠MEC，
∴∠BME=2∠MCE=∠B，
∴BE=ME=MC=2，
∵EG∥AF，
∴∠GEC=90°，
∴MG=ME=MC=2，
∵，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题．
7．D
【分析】根据等腰三角形的高性质可得BD=CD=，根据勾股定理可求，由E为的中点，AD⊥BD，可得DE=．
【详解】解：∵是边上的高，
∴BD=CD=，
在△ADB中，AD=12，BD=5，
∴，
∵E为的中点，AD⊥BD，
∴DE=．
故选择D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线性质是解题关键．
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及轴对称图形的性质，根据等腰三角形据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合即可得出答案．
【详解】解：等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在直线、底边上的高所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的垂直平分线，
故选：C
9．B
【分析】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质．通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意可知：平分，
∴．
故选：B．
10．D
【分析】证明△ODP≌△OEP（AAS），由全等三角形的性质可推出OD=OE，证明△DPF≌△EPF（SAS），由全等三角形的性质可推出DF=EF．∠DFP=∠EFP，S△DFP=S△EFP，则可得出答案．
【详解】解：①∵OC平分∠AOB，
∴∠DOP=∠EOP，
∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴∠ODP=∠OEP=90°，
∵OP=OP，
∴△ODP≌△OEP（AAS），
∴OD=OE． 故①正确；
②∵△ODP≌△OEP，
∴PD=PE，∠OPD=∠OPE，
∴∠DPF=∠EPF，
∵PF=PF，
∴△DPF≌△EPF（SAS），
∴DF=EF． 故②正确；
③∵△DPF≌△EPF，
∴∠DFO=∠EFO， 故③正确；
④∵△DPF≌△EPF，
∴S△DFP=S△EFP， 故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11．A
【分析】根据角平分线的性质定理可得CD=ED，根据角平分线的定义、三角形三边的关系，从而可对各选项作出判断．
【详解】∵AD平分∠CAB，CD⊥AC，ED⊥AB
∴CD=ED，
∴BC=BD+CD=BD+ED
故选项B正确；
∵AD平分∠CAB
∴∠CAD=∠EAD
∵CD⊥AC，ED⊥AB
∴∠C=∠DEA=90゜
∴∠ADC=∠ADE
即AD平分∠EDC
故选项C正确；
在△ACD中，AC+CD>AD
∴ED+AC>AD
故选项D正确；
若DE平分∠ADB
则有∠BDE=∠ADE
∵∠ADE=∠ADC
∴∠ADE=∠ADC=∠BDE
∵∠ADE+∠ADC+∠BDE=180゜
∴∠BDE=60゜
∴∠B=90゜-∠BDE=30゜
显然这里∠B是不一定为30゜
故选项A错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，注意定理的条件：平分角，过角平分线的点且与角的两边分别垂直的线段．
12．D
【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等，再根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵一个等腰三角形一底角的度数为，
∴这个等腰三角形的顶角的度数为，
故选：D．
13．27
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：∵，于点，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
故答案为：27．
14．12
【分析】本题考查角平分线的性质，先根据角平分线的性质得出，再将的周长转化为，即可得出答案．
【详解】∵平分，，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：12
15．4
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力．根据等腰三角形性质得出，，推出，根据推出，根据推出，最后根据推出．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
即有4对全等三角形，
故答案为：4．
16．10
【分析】根据三角形外角定理得出∠EDC+∠C=∠AED，进而求出∠C+∠EDC=∠ADE，再利用∠B+∠BAD=∠ADC，进而利用已知求出即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，
∵∠EDC+∠C=∠AED，
∴∠C+∠EDC=∠ADE，
又∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠B+20°=∠C+∠EDC+∠EDC，
∵∠B=∠C．
∴2∠EDC=20°，
∴∠EDC=10°．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角形外角定理以及角之间等量代换，利用外角定理得出∠C+∠EDC=∠ADE是解决问题的关键．
17．
【分析】本题主要考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解．
【详解】解：如图，过点作于点，
，
，
，
，
，
，
和分别平分和，且，，，
，，
，
又，
，
，
故答案为：．
18．见详解
【分析】根据全等三角形的性质可得出，，，再利用角平分的定义可得出，，进而可得，从而可根据角边角定理得证，最后再根据全等三角形的性质即可得证结论．
【详解】解：已知：如图，，、分别是和的角平分线．
求证：．
证明：∵
∴，，
∵、分别是和的角平分线
∴，
∴
在和中
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的定义等，熟练运用相关知识是解题的关键．
19．(1)垂直平分线，平分线；
(2)2；
(3)6．
【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质．
（1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线．
（2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可．
（3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值．
【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线，
故答案为：垂直平分线，平分线；
（2）解：过点E作于点M，如图．
因为射线是的平分线，，
所以，
所以．
（3）解：如图，连接，
因为直线是线段的垂直平分线，
所以，，
所以，
所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为．
20．见解析
【分析】本题考查尺规基本作图-作线段的垂直平分线，熟练掌握尺规基本作图-作线段的垂直平分线是解题的关键．
利用尺规基本作图-作线段的垂直平分线的方法，作出直线即可．
【详解】解：作法：（1）分别以点A，点为圆心，取大于长为半径，作两段相交的弧，交点记为，．
（2）作直线，与交于点．
∴直线即为所求．
21．证明见解析．
【分析】先根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．
【详解】平分，平分
，即
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，熟记平行线的判定与性质是解题关键．
22．（1）∠DCG＝87°；（2）AD∥BC，理由见解析；（3）当α＝2β时，AE∥DG．理由见解析．
【分析】（1）根据平行线的判定定理得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DCG=∠B=87°；
（2）由平行线的性质得到∠BAF=∠CFE，根据角平分线的定义得到∠BAF=∠FAD，等量代换得到∠DAF=∠CFE，∠DAF=∠AEB，由平行线的判定即可得到结论；
（3）根据平行线的判定定理得到∠DAF=∠AEB，根据角平分线的定义得到∠DAB=2∠DAF=2∠AEB，然后根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠DCG＝∠B＝87°；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠CFE，
又∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠FAD，
∴∠DAF＝∠CFE，
而∠CFE＝∠AEB，
∴∠DAF＝∠AEB，
∴AD∥BC；
（3）当α＝2β时，AE∥DG．理由：
若AE∥DG，则∠G＝∠AEB＝∠DAE＝∠BAD，
即当∠BAD＝2∠G时，AE∥DG．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题型．
23．见解析
【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，即可得出三种方法．
【详解】有以下三种方法：
方法1：连接AB，则AB是圆的一条弦，过圆心作AB的垂线即为对称轴；
方法2：取弧AB中点C，连接圆心与C的直线即为对称轴；
方法3：做线段AB的垂直平分线即为对称轴．
【点睛】本题考查圆的对称性，解决本题的关键是掌握垂径定理以垂直平分线的性质．
24．（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG．理由如下：如图，
过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，
∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，
∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），
∵∠DCE=∠AOC，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，
∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，
∴∠MCN=30°+30°=60°，
∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，
∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），
∴CF=CG（全等三角形对应边相等）．
【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．
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