第十二节 解析几何中的创新性问题
1.〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4.则（ ）
A.a＝－2
B.点（2，0）在C上
C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点（x0，y0）在C上时，y0≤
2.〔多选〕如图，曲线C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）过原点，其渐近线方程为l：x＋y＋a＝0，则（ ）
A.C关于直线y＝x对称
B.点（a，a）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）外
C.若（x0，y0）在C上，则－a＜x0＋y0≤3a
D.曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为
3.〔多选〕数学中有很多寓意美好的曲线，例如由方程x2＋y2＝1＋｜x｜y表示的“心”形线C（如图）便是其中之一，则下列说法中正确的是（ ）
A.“心”形线C上恰有6个整点（横纵坐标均为整数）
B.“心”形线C上任一点P到O的距离｜OP｜≤
C.“心”形线C所围成的区域面积小于3
D.“心”形线C的周长大于π
4.〔多选〕双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有艺术美.它既是形成其他一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术作品中的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，如图，曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是双纽线，下列说法正确的是（ ）
A.曲线C关于原点对称
B.曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D.若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞）
5.（2024·青岛三模）在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1为△PF1F2的等线.
（1）求E的方程；
（2）若y＝x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积.
6.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如k'（x－2）－（y－1）＝0表示过点（2，1）且斜率存在的直线族，y＝x＋t'表示斜率为1的直线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）的包络曲线是圆O：x2＋y2＝16，求m，n满足的关系式；
（2）若点M（x0，y0）不在直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任意一条直线上，对于给定的实数x0，求y0的取值范围和直线族Φ的包络曲线E.
7.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔；
（2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
第十二节 解析几何中的创新性问题
1.ABD 对于A：设曲线上的动点P（x，y），则x＞－2且×｜x－a｜＝4，因为曲线过坐标原点，故×｜0－a｜＝4，解得a＝－2，故A正确.对于B：又曲线方程为×｜x＋2｜＝4，而x＞－2，故×（x＋2）＝4.当x＝2，y＝0时，×（2＋2）＝8－4＝4，故（2，0）在曲线上，故B正确.对于C：由曲线的方程可得y2＝－（x－2）2，取x＝，则y2＝－，而－－1＝－＝＞0，故此时y2＞1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点（x0，y0）在曲线上时，由C的分析可得＝－（x0－2）2≤，故－≤y0≤，故D正确.故选A、B、D.
2.ACD 若把C的解析式x3＋y3－3axy＝0中的x，y互换，则方程不变，故C的图象关于直线y＝x对称，A正确；点（a，a）在第一象限，且a3＋a3－3a3＝－a3＜0，故点（a，a）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）内，B错误；显然，曲线在渐近线x＋y＋a＝0的上方，故y0＞－x0－a，即x0＋y0＞－a，又当（x0，y0）在第一象限内时，由＋－3ax0y0＝0，得（x0＋y0）（－x0y0＋）＝3ax0y0，故x0＋y0＝＝≤3a，当且仅当x0＝y0＝时， 等号成立，故－a＜x0＋y0≤3a，C正确；因为曲线C在第一象限内的点满足x3＋y3－3axy＝0，故3axy＝x3＋y3≥2，即xy≤，当且仅当x＝y＝时，等号成立.故C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为，D正确.
3.ABD 对于A，由x2＋y2＝1＋｜x｜y得（y－）2＝1－≥0.所以－≤x≤.由x∈Z得x＝－1，0，1，此时对应着6个整点（－1，0），（－1，1），（0，－1），（0，1），（1，0），（1，1），故A正确；对于B，由题图知，｜OP｜的最大值在x轴上方取得，由于C关于y轴对称，故设x＞0，y＞0，由x2＋y2＝1＋｜x｜y≤1＋得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即｜OP｜≤，故B正确；
对于C，如图易知以点A（0，－1），B（1，0），E（1，1），D（0，1）为顶点的四边形ABED的面积S＝×1×1＋1×1＝.S心形＞2S＝3，故C错误；对于D，由图知“心”形的周长大于以O为圆心，为半径的圆的周长2π×＝π，故D正确.故选A、B、D.
4.ACD 设曲线C上任意一点P（x，y），则点P的坐标满足曲线方程，即（x2＋y2）2＝9（x2－y2），可得[（－x）2＋（－y）2]2＝9[（－x）2－（－y）2]成立，即点P关于原点的对称点P0（－x，－y）也满足曲线方程，所以曲线C关于原点对称，故A正确.方程（x2＋y2）2＝9（x2－y2）可化为x4＋（2y2－9）x2＋y2（y2＋9）＝0，令t＝x2，可得关于t的二次方程t2＋（2y2－9）t＋y2（y2＋9）＝0，由Δ＝（2y2－9）2－4y2（y2＋9）＝－9（8y2－9）≥0可得y2≤，若y是整数，则y＝－1，0，1.在（x2＋y2）2＝9（x2－y2）中，令y＝0，得x4－9x2＝0，解得x＝0或3或－3，有3个整点（0，0），（3，0），（－3，0）.令y2＝1，得x4－7x2＋10＝0，得x2＝2或5，此时无整点.所以曲线C共经过3个整点，故B错误.设曲线C上任意一点P（x，y），当P为原点时，到原点的距离为0，满足题意；当P不为原点时，x2＋y2≠0，则由（x2＋y2）2＝9（x2－y2）可得0＜x2＋y2＝≤9，所以点P（x，y）到原点的距离d＝≤3，且d＞0.所以曲线C上任意一点P（x，y）到原点的距离都不超过3，故C正确.直线y＝kx恒过原点（0，0），且曲线C经过（0，0），则直线与曲线至少有一个公共点，又直线y＝kx与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点.由得关于x的方程x4（1＋k2）2－9x2（1－k2）＝0，当1－k2＝0时，方程仅有一解x＝0，满足题意；当1－k2≠0时，若x＝0，方程恒成立，即方程恒有一解x＝0，若x≠0，化简方程得x2＝，须1－k2＜0，该式无解，才满足题意.综上，1－k2≤0，解得k≥1或k≤－1，故D正确.故选A、C、D.
5.解：（1）由题意知P（c，），F1（－c，0），F2（c，0），显然点P在直线y＝1的上方，
因为直线y＝1为△PF1F2的等线，所以－1＝2，e＝＝2，c2＝a2＋b2，
解得a＝1，b＝，所以E的方程为x2－＝1.
（2）设P（x0，y0），切线m：y－y0＝k（x－x0），代入x2－＝1得：
（3－k2）x2＋2k（kx0－y0）x－（k2＋－2kx0y0＋3）＝0，
故Δ＝[2k（kx0－y0）]2＋4（3－k2）（k2＋－2kx0y0＋3）＝0，
该式可以看作关于k的一元二次方程（－1）k2－2x0y0k＋＋3＝0，
所以k＝＝＝，即m方程为x0x－＝1，
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为y＝±x，不妨设A在B上方，
联立得xA＝，xB＝，故xA＋xB＝＋＝2x0，
所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即OP的方程为y＝x，
由解得故P（，），
所以yA＝xA＝＝＝＋3，
所以yB＝－xB＝－＝＝－3，
所以｜yA－yB｜＝6，所以S四边形ABCD＝｜F1F2｜·｜yA－yB｜＝2｜yA－yB｜＝12.
6.解：（1）由题可知，直线族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）与圆O：x2＋y2＝16相切，即圆心O（0，0）到直线族mx＋ny＋1＝0的距离为4，∴＝4，
∴m，n满足的关系式为m2＋n2＝.
（2）∵点M（x0，y0）不在直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任意一条直线上，则对 λ∈R，方程λ2－2λx0＋8y0＝0无解，
∴Δ＝4－32y0＜0，∴y0＞，
即y0的取值范围为（，＋∞）.
猜想：直线族Φ的包络曲线E为y＝.
证明如下：
①设曲线E：y＝上任意一点Q（u，），
∵y'＝，∴曲线E在点Q处的切线斜率为，
∴曲线E在点Q处的切线方程为y－＝（x－u）.
即2ux－8y－u2＝0，
令λ＝u，则切线方程为2λx－8y－λ2＝0，
即曲线E上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
② λ∈R，直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0中的每条直线都是曲线E：y＝在点（λ，）处的切线.
综上①②，直线族Φ的包络曲线E为y＝.
7.解：（1）证明：由题得η＝（1＋2－1）（－1＋0－1）＝－4＜0，
∴点A，B被直线x＋y－1＝0分隔.
（2）直线y＝kx与曲线x2－4y2＝1有公共点的充要条件是方程组有解，即｜k｜＜.
∵y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，故它们没有公共点，即｜k｜≥，
当｜k｜≥时，对于直线y＝kx，曲线x2－4y2＝1上的点（－1，0）和（1，0）满足η＝－k2＜0，即点（－1，0）和（1，0）被y＝kx分隔.
故实数k的取值范围是（－∞，－］∪［，＋∞）.
（3）证明：设M的坐标为（x，y），则曲线E的方程为·｜x｜＝1，即[x2＋（y－2）2]·x2＝1.
对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.
又曲线E上的点（－1，2）和（1，2）对于y轴满足η＜0，
即点（－1，2）和（1，2）被y轴分隔.∴y轴为曲线E的分隔线.
若过原点的直线不是y轴，设其为y＝kx，由得[x2＋（kx－2）2]·x2－1＝0，令f（x）＝[x2＋（kx－2）2]·x2－1，
∵f（0）·f（2）＝（－1）·[16（k－1）2＋15]＜0，
∴方程f（x）＝0有实数解.
即直线y＝kx与曲线E有公共点，故直线y＝kx不是曲线E的分隔线.
综上，结论得证.
2 / 2第十二节 解析几何中的创新性问题
重点解读
圆锥曲线背景下的新曲线、新运算问题，关键在于理解新知识的本质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合.方法总结如下：
（1）明确新曲线的特征，理解新运算的算理、符号及其含义；
（2）联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系；
（3）建立数学模型：根据新的题意，建立相应的数学模型或方程，利用解析几何或代数方法进行求解；
（4）验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保最终答案符合题目要求.
定义新曲线
（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知线段｜AB｜＝2，其端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，OP⊥AB，垂足为P，点P的轨迹为如图所示的四叶玫瑰线，则下列结论正确的是（ ）
A.（S△OAB）max＝1
B.｜OP｜max＝1
C.四叶玫瑰线围成的面积小于π
D.（S△OAP）max＝
（2）〔多选〕由坐标原点O向曲线y＝的各条切线作垂线，垂足对应的轨迹曲线C如图所示，若点P（x，y）（xy＞0）在曲线C上，则（ ）
A.C的方程为（x2＋y2）2＝4xy
B.若OP的斜率为1，则｜OP｜＝2
C.xy的最大值为1
D.＋的最小值为2
听课记录 解题技法
解决该类问题的关键是研透新曲线轨迹形成的过程及动点的几何特征，将其转化为熟知的数学表达形式，然后再应用已学过的知识求解.
〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C.若双纽线C对应的a＝2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A.C不关于x轴对称
B.C关于y轴对称
C.直线y＝x与C只有一个交点
D.C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜
定义新运算
（师生共研过关）
（2024·菏泽模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点，可以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义为：｜a11 a12
a21 a22｜＝a11a22－a12a21；三阶行列式定义为：
｜a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33｜＝a11×｜a22 a23
a32 a33｜－a12×｜a21 a23
a31 a33｜＋a13×｜a21 a22
a31 a32｜，例如：｜1 2
3 5｜＝1×5－2×3＝－1.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的面积公式可表示为：S△ABC＝｜×｜x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1｜｜.
（1）已知O（0，0），M（－3，－2），N（1，－6），求△OMN的面积；
（2）已知点A（－2，0），B（0，2），若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，求△ABC面积的最小值；
（3）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0），它的左焦点坐标为（－2，0），右顶点坐标为（4，0），设点D的坐标为（2，1），过原点O的直线交椭圆于点E，F，求△DEF面积的最大值.
解题技法
根据新定义的运算规则及算理转化为熟知的运算求解.其关键是理解新运算的运算特征及各量的几何意义.
（2025·乌鲁木齐二模）在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“类距离”为｜AB｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－y1｜，我们把到两定点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）的“类距离”之和为常数2a（a＞c）的点的轨迹叫“类椭圆”.
（1）求“类椭圆”的方程；
（2）根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明理由.
第十二节 解析几何中的创新性问题
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）ABC （2）AC 解析：（1）对于A，由｜OA｜2＋｜OB｜2＝｜AB｜2＝4，得4≥2｜OA｜·｜OB｜，即｜OA｜·｜OB｜≤2，当且仅当｜OA｜＝｜OB｜＝时，等号成立，所以S△OAB＝｜OA｜·｜OB｜≤1，故A正确；对于B，设P（x，y），易知点P的轨迹（即四叶玫瑰线）方程为（x2＋y2）3＝4x2y2.（x2＋y2）3＝4x2y2≤（x2＋y2）2当且仅当x＝y时，等号成立，即x2＋y2≤1.所以｜OP｜＝≤1，故B正确；对于C，由题图可知，四叶玫瑰线围成的面积小于以｜OP｜max为半径的圆的面积π，故C正确；对于D，设｜AP｜＝t，t∈（0，2），则｜BP｜＝2－t，｜OP｜2＝｜AP｜·｜BP｜＝t（2－t）.所以S△OAP＝｜AP｜·｜OP｜＝t＝，设f（t）＝t3（2－t）＝2t3－t4，t∈（0，2），则f'（t）＝6t2－4t3＝2t2（3－2t）.所以当0＜t＜时，f'（t）＞0，当＜t＜2时，f'（t）＜0，所以f（t）在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递减.所以f（t）max＝f（）＝.所以（S△OAP）max＝，故D错误.故选A、B、C.
（2）设曲线y＝上任意一点坐标为M（m，），m≠0，对y＝求导可得y'＝－，则曲线y＝在点M处的切线方程为y－＝－（x－m），即y＝－x＋，则过原点O与切线垂直的直线方程为y＝m2x，m≠0.联立解得消去m可得（x2＋y2）2＝4xy，A正确；由x＝y可得m＝±1，则点P的坐标为（1，1）或（－1，－1），故｜OP｜＝，B错误；xy＝＝≤＝1，当且仅当m＝±1时，等号成立，即xy的最大值为1，C正确；＋＝＋≥2，当且仅当m＝±时，等号成立，故＋的最小值为2，D错误.
跟踪训练
BCD 设M（x，y）到定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之积为4，则·＝4，整理得（x2＋y2）2＝8（x2－y2），故曲线C的方程为（x2＋y2）2＝8（x2－y2）.
把x代换成－x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；把x代换成－x，同时把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，如图所示.所以A错误，B正确.由得x4＝0，所以x＝0，所以y＝0，所以直线y＝x与曲线C只有一个交点O（0，0），C正确.原点O（0，0）在曲线C上，则｜OF1｜＝｜OF2｜，所以曲线C上存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜，所以D正确.故选B、C、D.
考点2
【例2】 解：（1）由题意得S△OMN＝ [（－3）×（－6）－1×（－2）]｜＝10.
（2）x2－2x＋y2＝0 （x－1）2＋y2＝1，
设C（1＋cos θ，sin θ），
则S△ABC＝
因为sin（θ－）∈[－1，1]，所以当sin（θ－）＝1时，S△ABC取得最小值，
最小值为｜－3｜＝3－.
（3）由题意得a＝4，c＝2，故b2＝a2－c2＝16－12＝4，
故椭圆方程为＋＝1，
过原点O的直线交椭圆于点E，F，设E（4cos θ，2sin θ），
由对称性可知F（－4cos θ，－2sin θ），
故S△DEF＝
故当sin（θ－）＝±1时，△DEF面积取得最大值，最大值为4.
跟踪训练
解：（1）设“类椭圆”上任意一点为P（x，y），则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜y｜＋｜x－c｜＋｜y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0），
所以“类椭圆”的方程为｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0）.
（2）由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，得2｜y｜＝2a－｜x＋c｜－｜x－c｜，
因为｜y｜≥0，所以2a－｜x＋c｜－｜x－c｜≥0，即2a≥｜x＋c｜＋｜x－c｜，
所以或
或
解得－a≤x≤a，
由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，得｜x＋c｜＋｜x－c｜＝2a－2｜y｜，
即2a－2｜y｜＝所以2a－2｜y｜≥2c，所以c－a≤y≤a－c，
所以“类椭圆”的范围为－a≤x≤a，c－a≤y≤a－c，
将点（－x，y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于y轴对称，
将点（x，－y）代入得，｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜－y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于x轴对称，
将点（－x，－y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜－y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于原点对称，
所以“类椭圆”关于x轴，y轴，原点对称.
2 / 2(共51张PPT)
第十二节 解析几何中的创新性问题
高中总复习·数学
重点解读
圆锥曲线背景下的新曲线、新运算问题，关键在于理解新知识的本
质，并将其与常规圆锥曲线知识相结合.方法总结如下：
（1）明确新曲线的特征，理解新运算的算理、符号及其含义；
（2）联系常规知识：将新定义与圆锥曲线的第一、第二定义或标准方程
等常规知识联系起来，找出它们的相似之处或转换关系；
（3）建立数学模型：根据新的题意，建立相应的数学模型或方程，利用
解析几何或代数方法进行求解；
（4）验证与推理：在求解过程中，注意验证每一步推理的正确性，确保
最终答案符合题目要求.
目 录
CONTENTS
考点·分类突破
01.
课时·跟踪检测
02.
PART 01
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
定义新曲线（师生共研过关）
（1）〔多选〕已知线段｜AB｜＝2，其端点A，B分别在x轴和y轴
上滑动，OP⊥AB，垂足为P，点P的轨迹为如图所示的四叶玫瑰线，则
下列结论正确的是（ ABC ）
ABC
A. （S△OAB）max＝1
B. ｜OP｜max＝1
C. 四叶玫瑰线围成的面积小于π
D. （S△OAP）max＝
解析： 对于A，由｜OA｜2＋｜OB｜2＝｜AB｜2＝4，得4≥2｜
OA｜·｜OB｜，即｜OA｜·｜OB｜≤2，当且仅当｜OA｜＝｜OB｜＝
时，等号成立，所以S△OAB＝ ｜OA｜·｜OB｜≤1，故A正确；对于
B，设P（x，y），易知点P的轨迹（即四叶玫瑰线）方程为（x2＋y2）3
＝4x2y2.（x2＋y2）3＝4x2y2≤（x2＋y2）2当且仅当x＝y时，等号成立，
即x2＋y2≤1.所以｜OP｜＝ ≤1，故B正确；对于C，由题图可
知，四叶玫瑰线围成的面积小于以｜OP｜max为半径的圆的面积π，故C正
确；对于D，设｜AP｜＝t，t∈（0，2），则｜BP｜＝2－t，｜OP｜2
＝｜AP｜·｜BP｜＝t（2－t）.
所以S△OAP＝ ｜AP｜·｜OP｜＝ t ＝ ，设f
（t）＝t3（2－t）＝2t3－t4，t∈（0，2），则f'（t）＝6t2－4t3＝2t2（3
－2t）.所以当0＜t＜ 时，f'（t）＞0，当 ＜t＜2时，f'（t）＜0，所以
f（t）在（0， ）上单调递增，在（ ，2）上单调递减.所以f（t）max＝
f（ ）＝ .所以（S△OAP）max＝ ，故D错误.故选A、B、C.
（2）〔多选〕由坐标原点O向曲线y＝ 的各条切线作垂线，垂足对应的
轨迹曲线C如图所示，若点P（x，y）（xy＞0）在曲线C上，则
（ AC ）
AC
A. C的方程为（x2＋y2）2＝4xy
B. 若OP的斜率为1，则｜OP｜＝2
C. xy的最大值为1
D. ＋ 的最小值为2
解析：设曲线y＝ 上任意一点坐标为M（m， ），m≠0，对y＝ 求导
可得y'＝－ ，则曲线y＝ 在点M处的切线方程为y－ ＝－ （x－
m），即y＝－ x＋ ，则过原点O与切线垂直的直线方程为y＝m2x，
m≠0.联立 解得 消去m可得（x2＋y2）2＝
4xy，A正确；
由x＝y可得m＝±1，则点P的坐标为（1，1）或（－1，－1），故
｜OP｜＝ ，B错误；xy＝ ＝ ≤ ＝1，当且仅当m
＝±1时，等号成立，即xy的最大值为1，C正确； ＋ ＝ ＋ ≥2，
当且仅当m＝± 时，等号成立，故 ＋ 的最小值为2，D错误.
解题技法
解决该类问题的关键是研透新曲线轨迹形成的过程及动点的几何特
征，将其转化为熟知的数学表达形式，然后再应用已学过的知识求解.
〔多选〕在平面直角坐标系xOy中，到定点F1（－a，0），F2（a，0）
距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹是双纽线C. 若双纽线C对应的a＝
2，点P（x0，y0）为双纽线C上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A. C不关于x轴对称
B. C关于y轴对称
C. 直线y＝x与C只有一个交点
D. C上存在点P，使得｜PF1｜＝｜PF2｜
√
√
√
解析： 设M（x，y）到定点F1（－2，0），F2
（2，0）的距离之积为4，则
· ＝4，整理得（x2＋
y2）2＝8（x2－y2），故曲线C的方程为（x2＋y2）2＝8
（x2－y2）.把x代换成－x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；把x代换成－x，同时把y代换成－y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，如图所示.所以A错误，B正确.由 得x4＝0，所以x＝0，所以y＝0，所以直线y＝x与曲线C只有一个交点O（0，0），C正确.原点O（0，0）在曲线C上，则｜OF1｜＝｜OF2｜，所以曲线C上存在点P满足｜PF1｜＝｜PF2｜，所以D正确.故选B、C、D.
定义新运算（师生共研过关）
（2024·菏泽模拟预测）行列式是代数学中线性代数的重要分支，是
一个方阵所对应的一个标量值.行列式具有简洁、对称、优美的特点，可
以用来求直线方程，求三角形的面积，解线性方程组等.利用行列式进行
求解，则可以简化运算步骤，提高做题速度.其中二阶行列式定义
为： ＝a11a22－a12a21；三阶行列式定义为：
＝a11× －a12× ＋
a13× ，例如： ＝1×5－2×3＝－1.在平面直角坐标
系中，已知△ABC的三个顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C
（x3，y3），则△ABC的面积公式可表示为：S△ABC＝ .
（1）已知O（0，0），M（－3，－2），N（1，－6），求△OMN的
面积；
解： 由题意得S△OMN＝ ＝
－ ×0× ＋ ×1× ＝｜ ×1×[（－3）×（－6）－
1×（－2）]｜＝10.
（2）已知点A（－2，0），B（0，2），若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的
动点，求△ABC面积的最小值；
解： x2－2x＋y2＝0 （x－1）2＋y2＝1，
设C（1＋ cos θ， sin θ），
则S△ABC＝
＝
＝｜ ×（－2）×（2－ sin θ）＋ ×（－2－2 cos θ）｜＝｜ sin θ－
cos θ－3｜＝｜ sin （θ－ ）－3｜，
因为 sin （θ－ ）∈[－1，1]，所以当 sin （θ－ ）＝1时，S△ABC取得
最小值，
最小值为｜ －3｜＝3－ .
解： 由题意得a＝4，c＝2 ，故b2＝a2－c2＝16
－12＝4，
故椭圆方程为 ＋ ＝1，
过原点O的直线交椭圆于点E，F，设E（4 cos θ，2
sin θ），
由对称性可知F（－4 cos θ，－2 sin θ），
（3）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0），它的左焦点坐标为（－2 ，
0），右顶点坐标为（4，0），设点D的坐标为（2，1），过原点O的直
线交椭圆于点E，F，求△DEF面积的最大值.
故S△DEF＝
＝
＋ ＝｜（2 sin θ＋2 sin θ）－
×（4 cos θ＋4 cos θ）＋ （－8 sin θ cos θ＋8 sin θ
cos θ）｜＝｜4 sin θ－4 cos θ｜＝4 ｜ sin （θ－ ）｜.
故当 sin （θ－ ）＝±1时，△DEF面积取得最大值，最大值为4 .
解题技法
根据新定义的运算规则及算理转化为熟知的运算求解.其关键是理解
新运算的运算特征及各量的几何意义.
（2025·乌鲁木齐二模）在平面直角坐标系xOy中，重新定义两点A（x1，
y1），B（x2，y2）之间的“类距离”为｜AB｜＝｜x2－x1｜＋｜y2－
y1｜，我们把到两定点F1（－c，0），F2（c，0）（c＞0）的“类距
离”之和为常数2a（a＞c）的点的轨迹叫“类椭圆”.
（1）求“类椭圆”的方程；
解：设“类椭圆”上任意一点为P（x，y），则｜PF1｜＋｜PF2｜
＝2a，
即｜x＋c｜＋｜y｜＋｜x－c｜＋｜y｜＝2a，即｜x＋c｜＋｜x－c｜
＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0），
所以“类椭圆”的方程为｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a（a＞c＞0）.
（2）根据“类椭圆”的方程，研究“类椭圆”的范围、对称性，并说明
理由.
解： 由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，
得2｜y｜＝2a－｜x＋c｜－｜x－c｜，
因为｜y｜≥0，所以2a－｜x＋c｜－｜x－c｜≥0，
即2a≥｜x＋c｜＋｜x－c｜，
所以 或 或
解得－a≤x≤a，
由方程｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，得｜x＋
c｜＋｜x－c｜＝2a－2｜y｜，
即2a－2｜y｜＝ 所以2a－2｜y｜≥2c，所以c－a≤y≤a－c，所以“类椭圆”的范围为－a≤x≤a，c－a≤y≤a－c，
将点（－x，y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于y轴对称，
将点（x，－y）代入得，｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜
－y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所
以“类椭圆”关于x轴对称，
将点（－x，－y）代入得，｜－x＋c｜＋｜－x－c｜＋2｜－y｜＝2a，
即｜x＋c｜＋｜x－c｜＋2｜y｜＝2a，方程不变，所以“类椭圆”关于原点对称，所以“类椭圆”关于x轴，y轴，原点对称.
PART 02
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 〔多选〕（2024·新高考Ⅰ卷11题）设计一条美丽的丝带，其造型 可以看
作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标
大于－2；到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为
4.则（ ）
A. a＝－2
B. 点（2 ，0）在C上
C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D. 当点（x0，y0）在C上时，y0≤
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
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16
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18
19
20
20
22
23
24
25
解析： 对于A：设曲线上的动点P（x，y），则x＞－2且
×｜x－a｜＝4，因为曲线过坐标原点，故
×｜0－a｜＝4，解得a＝－2，故A正确.对于B：又曲
线方程为 ×｜x＋2｜＝4，而x＞－2，故
×（x＋2）＝4.当x＝2 ，y＝0时，
×（2 ＋2）＝8－4＝4，故（2 ，0）在曲线上，故B正确.对于C：由
曲线的方程可得y2＝ －（x－2）2，取x＝ ，则y2＝ － ，而
－ －1＝ － ＝ ＞0，故此时y2＞1，故C在第一象限内点的纵
坐标的最大值大于1，故C错误.对于D：当点（x0，y0）在曲线上时，由C
的分析可得 ＝ －（x0－2）2≤ ，故－
≤y0≤ ，故D正确.故选A、B、D.
2. 〔多选〕如图，曲线C：x3＋y3－3axy＝0（a＞0）过原点，其渐近线方程为l：x＋y＋a＝0，则（ ）
A. C关于直线y＝x对称
B. 点（a，a）位于曲线C围成的封闭区域（阴影部分）外
C. 若（x0，y0）在C上，则－a＜x0＋y0≤3a
D. 曲线C在第一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大
值为
√
√
√
解析： 若把C的解析式x3＋y3－3axy＝0中的x，y互换，则方程
不变，故C的图象关于直线y＝x对称，A正确；点（a，a）在第一象
限，且a3＋a3－3a3＝－a3＜0，故点（a，a）位于曲线C围成的封闭区
域（阴影部分）内，B错误；显然，曲线在渐近线x＋y＋a＝0的上方，
故y0＞－x0－a，即x0＋y0＞－a，又当（x0，y0）在第一象限内时，由
＋ －3ax0y0＝0，得（x0＋y0）（ －x0y0＋ ）＝3ax0y0，故x0
＋y0＝ ＝ ≤3a，当且仅当x0＝y0＝ 时， 等号成
立，故－a＜x0＋y0≤3a，C正确；
因为曲线C在第一象限内的点满足x3＋y3－3axy＝0，故3axy＝x3＋
y3≥2 ，即xy≤ ，当且仅当x＝y＝ 时，等号成立.故C在第
一象限内的点到两坐标轴距离之积的最大值为 ，D正确.
3. 〔多选〕数学中有很多寓意美好的曲线，例如由方程x2＋y2＝1＋｜x｜
y表示的“心”形线C（如图）便是其中之一，则下列说法中正确的是
（ ）
A. “心”形线C上恰有6个整点（横纵坐标均为整数）
B. “心”形线C上任一点P到O的距离｜OP｜≤
C. “心”形线C所围成的区域面积小于3
D. “心”形线C的周长大于π
√
√
√
解析： 对于A，由x2＋y2＝1＋｜x｜y得（y－ ）2
＝1－ ≥0.所以－ ≤x≤ .由x∈Z得x＝－1，0，
1，此时对应着6个整点（－1，0），（－1，1），（0，
－1），（0，1），（1，0），（1，1），故A正确；对于
B，由题图知，｜OP｜的最大值在x轴上方取得，由于C关于y轴对称，故设x＞0，y＞0，由x2＋y2＝1＋｜x｜y≤1＋ 得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即｜OP｜≤ ，故B正确；对于C，如图易知以点A（0，－1），B（1，0），E（1，1），D（0，1）为顶点的四边形ABED的面积S＝ ×1×1＋1×1＝ . S心形＞2S＝3，故C错误；对于D，由图知“心”形的周长大于以O为圆心， 为半径的圆的周长2π× ＝π，故D正确.故选A、B、D.
4. 〔多选〕双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关
重要的地位，同时也具有艺术美.它既是形成其他一些常见的漂亮图案的
基石，也是许多艺术作品中的主要几何元素.双纽线的图形轮廓像阿拉伯
数字中的“8”，如图，曲线C：（x2＋y2）2＝9（x2－y2）是双纽线，下
列说法正确的是（ ）
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C经过7个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3
D. 若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值
范围为（－∞，－1]∪[1，＋∞）
√
√
√
解析： 设曲线C上任意一点P（x，y），则点P的坐标满足曲线方
程，即（x2＋y2）2＝9（x2－y2），可得[（－x）2＋（－y）2]2＝9[（－
x）2－（－y）2]成立，即点P关于原点的对称点P0（－x，－y）也满足
曲线方程，所以曲线C关于原点对称，故A正确.方程（x2＋y2）2＝9（x2
－y2）可化为x4＋（2y2－9）x2＋y2（y2＋9）＝0，令t＝x2，可得关于t
的二次方程t2＋（2y2－9）t＋y2（y2＋9）＝0，由Δ＝（2y2－9）2－4y2
（y2＋9）＝－9（8y2－9）≥0可得y2≤ ，若y是整数，则y＝－1，0，1.
在（x2＋y2）2＝9（x2－y2）中，令y＝0，得x4－9x2＝0，解得x＝0或3或
－3，有3个整点（0，0），（3，0），（－3，0）.令y2＝1，得x4－7x2＋
10＝0，得x2＝2或5，此时无整点.所以曲线C共经过3个整点，故B错误.
设曲线C上任意一点P（x，y），当P为原点时，到原点的距离为0，满
足题意；
当P不为原点时，x2＋y2≠0，则由（x2＋y2）2＝9（x2－y2）可得0＜x2＋
y2＝ ≤9，所以点P（x，y）到原点的距离d＝ ≤3，
且d＞0.所以曲线C上任意一点P（x，y）到原点的距离都不超过3，故C
正确.直线y＝kx恒过原点（0，0），且曲线C经过（0，0），则直线与曲
线至少有一个公共点，又直线y＝kx与曲线C只有一个公共点，故除原点
外无其他公共点.由 得关于x的方程x4（1＋
k2）2－9x2（1－k2）＝0，当1－k2＝0时，方程仅有一解x＝0，满足题意；
当1－k2≠0时，若x＝0，方程恒成立，即方程恒有一解x＝0，若x≠0，
化简方程得x2＝ ，须1－k2＜0，该式无解，才满足题意.综上，1
－k2≤0，解得k≥1或k≤－1，故D正确.故选A、C、D.
5. （2024·青岛三模）在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在
l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，
已知O为坐标原点，双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点
分别为F1，F2，E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与曲线E
相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当PF2⊥x轴时，直线y＝1
为△PF1F2的等线.
（1）求E的方程；
解： 由题意知P（c， ），F1（－c，0），F2（c，0），显然点
P在直线y＝1的上方，
因为直线y＝1为△PF1F2的等线，所以 －1＝2，e＝ ＝2，c2＝a2＋
b2，
解得a＝1，b＝ ，所以E的方程为x2－ ＝1.
（2）若y＝ x是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积.
解： 设P（x0，y0），切线m：y－y0＝k（x－x0），代入x2－ ＝
1得：（3－k2）x2＋2k（kx0－y0）x－（k2 ＋ －2kx0y0＋3）＝0，
故Δ＝[2k（kx0－y0）]2＋4（3－k2）（k2 ＋ －2kx0y0＋3）＝0，
该式可以看作关于k的一元二次方程（ －1）k2－2x0y0k＋ ＋3＝0，
所以k＝ ＝ ＝ ，即m方程为x0x－ ＝1，
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为y＝± x，不妨设A在B上方，
联立得xA＝ ，xB＝ ，故xA＋xB＝ ＋ ＝2x0，
所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即OP的方程为y＝ x，
由 解得 故P（ ， ），
所以yA＝ xA＝ ＝ ＝ ＋3，
所以yB＝－ xB＝－ ＝ ＝ －3，
所以｜yA－yB｜＝6，所以S四边形ABCD＝ ｜F1F2｜·｜yA－yB｜＝2｜yA－
yB｜＝12.
6. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如k'（x－2）－（y－
1）＝0表示过点（2，1）且斜率存在的直线族，y＝x＋t'表示斜率为1的直
线族.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某
点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
（1）若直线族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）的包络曲线是圆O：x2＋y2＝
16，求m，n满足的关系式；
解： 由题可知，直线族mx＋ny＋1＝0（m，n∈R）与圆O：x2＋y2
＝16相切，即圆心O（0，0）到直线族mx＋ny＋1＝0的距离为4，
∴ ＝4，
∴m，n满足的关系式为m2＋n2＝ .
（2）若点M（x0，y0）不在直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）的任
意一条直线上，对于给定的实数x0，求y0的取值范围和直线族Φ的包络曲
线E.
解： ∵点M（x0，y0）不在直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0（λ∈R）
的任意一条直线上，则对 λ∈R，方程λ2－2λx0＋8y0＝0无解，
∴Δ＝4 －32y0＜0，
∴y0＞ ，
即y0的取值范围为（ ，＋∞）.
猜想：直线族Φ的包络曲线E为y＝ .
证明如下：
①设曲线E：y＝ 上任意一点Q（u， ），
∵y'＝ ，
∴曲线E在点Q处的切线斜率为 ，
∴曲线E在点Q处的切线方程为y－ ＝ （x－u）.
即2ux－8y－u2＝0，
令λ＝u，则切线方程为2λx－8y－λ2＝0，
即曲线E上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.
② λ∈R，直线族Φ：2λx－8y－λ2＝0中的每条直线都是曲线E：y＝
在点（λ， ）处的切线.
综上①②，直线族Φ的包络曲线E为y＝ .
7. 在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax＋by＋c＝0和点P1（x1，
y1），P2（x2，y2），记η＝（ax1＋by1＋c）（ax2＋by2＋c），若η＜0，
则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存
在点P1，P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线.
（1）求证：点A（1，2），B（－1，0）被直线x＋y－1＝0分隔；
解： 证明：由题得η＝（1＋2－1）（－1＋0－1）＝－4＜0，
∴点A，B被直线x＋y－1＝0分隔.
（2）若直线y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，求实数k的取值范围；
解： 直线y＝kx与曲线x2－4y2＝1有公共点的充要条件是方程组
有解，即｜k｜＜ .
∵y＝kx是曲线x2－4y2＝1的分隔线，故它们没有公共点，即｜k｜≥ ，
当｜k｜≥ 时，对于直线y＝kx，曲线x2－4y2＝1上的点（－1，0）和
（1，0）满足η＝－k2＜0，即点（－1，0）和（1，0）被y＝kx分隔.
故实数k的取值范围是（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）.
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨
迹为曲线E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线.
解： 证明：设M的坐标为（x，y），则曲线E的方程为
·｜x｜＝1，即[x2＋（y－2）2]·x2＝1.
对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点.
又曲线E上的点（－1，2）和（1，2）对于y轴满足η＜0，
即点（－1，2）和（1，2）被y轴分隔.∴y轴为曲线E的分隔线.
若过原点的直线不是y轴，设其为y＝kx，由
得[x2＋（kx－2）2]·x2－1＝0，令f（x）＝[x2＋（kx－2）2]·x2－1，
∵f（0）·f（2）＝（－1）·[16（k－1）2＋15]＜0，
∴方程f（x）＝0有实数解.
即直线y＝kx与曲线E有公共点，故直线y＝kx不是曲线E的分隔线.
综上，结论得证.
THANKS
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