14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14.4.1　用样本估计总体的集中趋势参数
1. 理解用样本数据的平均值估计总体的水平．
2. 能根据实际情况合理选择数据代表值，理解平均数、中位数、众数的概念及适用范围．
3. 掌握从实际问题中获取数据，以及利用样本数据计算平均数、众数和中位数从而对总体估计的方法．
活动一 理解平均数的概念
某校高一(1)班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检验重力加速度．全班同学每两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据(单位：m/s2)：
9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66
9.88 9.68 10.32 9.76 9.45 9.99
9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94
9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84
怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？
我们常用算术平均数作为重力加速度的“最理想”的近似值，其中ai(i＝1，2，…，n)为n个实验数据，它的依据是什么呢？
处理实验数据的原则是使近似值与实验数据越接近越好．设这个近似值为x，它与n个实验数据ai(i＝1，2，…，n)的离差分别为x－a1，x－a2，x－a3，…，x－an.由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.因为(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a，所以当x＝时，离差的平方和最小，故可用作为表示这个量的理想近似值，称为这n个数据 a1，a2，…，an的平均数，一般记为
＝.
这样，我们可以用计算器求得，由高一(1)班学生的实验数据估计的重力加速度的最佳近似值约为9.769m/s2.
1. 若a1，a2，…，an的平均数为 ，则ba1＋a，ba2＋a，…，ban＋a的平均数为b＋a；
2. 在n个数据中有k1个a1，k2个a2，…，km个am，则这n个数的平均数为(k1a1＋k2a2＋…＋kmam)(其中k1＋…＋km＝n)；
练习1　求52，49，48，54，47，48，55，52 的平均数．
方法一：
方法二：
练习2　某公司有3名经理，14名科技人员，23名工人，经理工资为6 800元，科技人员工资为5 400 元，工人工资为 3 600 元，求该公司的平均工资．
活动二　掌握平均数的应用　
例1　下面是某校学生日睡眠时间(单位：h)的抽样频率分布表.
睡眠时间 人数 频率
[6.0，6.5) 5 0.05
[6.5，7.0) 17
[7.0，7.5)
[7.5，8.0) 0.37
[8.0，8.5) 6
[8.5，9.0] 2
合计 1
(1) 完成表格；
(2) 用两种方法估计该校学生的平均日睡眠时间．
1. 若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
2. 若每组数据在一个范围内，则x1，x2，…，xn的值近似地取各组区间中点的数值(称为“组中值”).
某单位年收入(单位：元)在10 000～15 000，15 000～20 000，20 000～25 000，25 000～30 000，30 000～35 000，35 000～40 000及40 000～50 000之间的职工所占的百分比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入．
例2　某地统计部门为了解企业员工的收入状况．决定进行抽样调查．估计该地共有产业工人大约50 000人，企业管理人员约1 000人，工人与管理人员的月工资收入差异比较大．该地统计部门用分层抽样的方法抽取产业工人500人，企业管理人员10人．被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，10名企业管理人员的人均月工资为8 426元，试估计这个地区企业员工的人均月工资．
如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，j＝1，2，…，k.记nj＝n，则所有数据的样本平均数为＝xjt＝ (njj).
活动三　理解众数与中位数的概念　
一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数．将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数．
思考
平均数、众数、中位数这三个量都是反映一组数据的什么趋势？
活动四　众数与中位数的应用
例3　某校高一(2)班的6名学生的体重(单位：kg)分别为47，49，52，57，60，71.
(1) 用哪种统计量代表这6名学生的体重比较合适？
(2) 这6个数据的中位数是多少？
平均数、众数、中位数这三个量都是刻画数据“中心位置”的量，但它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势．一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述，可以用众数．
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1) 甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2) 乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
1. (教材改编)已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　)
A. 平均数>中位数>众数 B. 平均数<中位数<众数
C. 中位数<众数<平均数 D. 众数＝中位数＝平均数
2. (教材改编)一支田径队有男运动员40人，女运动员30人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为176.4 cm，抽出的女运动员平均身高为168.7 cm，估计该田径队运动员的平均身高是(　　)
A. 172.9 cm B. 173.1 cm C. 172.8 cm D. 173.6 cm
3. (多选)(2024山东期末)如图，下列频率直方图显示了三种不同的分布形态．图1形成对称形态，图2形成“右拖尾”形态，图3形成“左拖尾”形态，则下列结论中正确的是(　　)
图1 图2 图3
A. 图1的平均数＝中位数＝众数 B. 图2的平均数<众数<中位数
C. 图2的众数<中位数<平均数 D. 图3的平均数<中位数<众数
4. 设一组样本数据x1，x2，…，xn的平均数是3，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________．
5. (2024江苏月考)某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：
销售量/件 1 800 510 250 210 150 120
人数 1 1 3 5 3 2
(1) 求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；
(2) 假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如果不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．
14．4.1　用样本估计总体的集中趋势参数
【活动方案】
练习1：方法一：
＝＝50.625.
方法二：＝×(2×52＋49＋2×48＋54＋47＋55)＝50.625.
练习2：该公司的平均工资为　　
＝＝4 470(元).
例1　(1)
睡眠时间 人数 频率
[6.0，6.5) 5 0.05
[6.5，7.0) 17 0.17
[7.0，7.5) 33 0.33
[7.5，8.0) 37 0.37
[8.0，8.5) 6 0.06
[8.5，9.0] 2 0.02
合计 100 1
(2) 方法一：总睡眠时间约为6.25×5＋6.75×17＋7.25×33＋7.75×37＋8.25×6＋8.75×2＝739(h)，
因为该校共有100人，所以该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h.
方法二：6.25×0.05＋6.75×0.17＋7.25×0.33＋7.75×0.37＋8.25×0.06＋8.75×0.02＝7.39(h).
综上，估计该校学生的平均日睡眠时间约为7.39 h.
跟踪训练　估计该单位职工的平均年收入为 12 500×10%＋17 500×15%＋22 500×20%＋27 500×25%＋32 500×15%＋37 500×10%＋45 000×5%＝26 125(元)，
所以估计该单位职工的平均年收入约为 26 125元.
例2　被抽取的500名产业工人的人均月工资为5 328元，故这500名产业工人的月工资总额为(5 328×500)元．同理，被抽取的10名企业管理人员的月工资总额为(8 426×10)元，所以被抽取的这510名企业员工的月工资总额为(5 328×500＋8 426×10)元．
因此，被抽取的这510名企业员工的人均月工资(即样本的平均数)为≈5 389(元).
故估计该地区企业员工的人均月工资约为 5 389 元．
思考：都是反映一组数据的集中趋势．
例3　(1) 因为有“71”这一个“极端值”，所以不宜使用平均数．又因为各个数据均不相同，所以这组数据没有众数．由于极端值的大小对中位数的位置没有影响，故用中位数作为这组数据的代表值较为合适．
(2) 这6个数据的中位数是＝54.5.
跟踪训练　(1) 甲群市民年龄的平均数为×(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17)＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．
因为平均数、中位数和众数相等，所以它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2) 乙群市民年龄的平均数为×(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57)＝15(岁)，中位数为5.5岁，众数为6岁．
因为乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
【检测反馈】
1. D　平均数、中位数和众数均为50.
2. B　由题意知抽取的样本中男队员有7×＝4(人)，女队员有7×＝3(人)，所以估计该田径队运动员的平均身高为176.4×＋168.7×＝173.1(cm).
3. ACD　图1的频率直方图是对称的，所以平均数＝中位数＝众数，故A正确；图2的众数最小，右拖尾则平均数大于中位数，故B错误，C正确；图3的众数最大，左拖尾则平均数小于中位数，故D正确．故选ACD.
4. 7　因为样本数据x1，x2，…，xn的平均数是3，所以＝3n，所以数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数＝2xi＋1)＝＝7.
5. (1) 销售人员该月销售量的平均数是×(1 800＋510＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320.表中的数据是按从大到小的顺序排列的，处于中间位置的是210，所以中位数是210.210出现了5次，次数最多，所以众数是210.
(2) 不合理．因为15人中有13人的销售额不到320件，所以320件不能很好地反映销售人员的一般水平．
销售额定为210件更合适，因为210件既是中位数，又是众数，而且是大部分人能达到的定额．