14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数
1. 结合实例，理解样本数据的极差、方差和标准差的概念和作用．
2. 学会计算样本数据的极差、方差和标准差，掌握通过合理抽样对总体稳定性水平作出估计的思想方法．
活动一 极差、方差、标准差的概念
1. 阅读教材．
思考
极差、方差、标准差的定义及公式．
练习　求52，49，48，55，47，48，56，53 的极差、方差及标准差．
2. 分层抽样数据的方差计算．
一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为j，样本方差为s，j＝1，2，…，k.记nj＝n，那么，所有数据的样本方差为
s＝(xjt－)2＝nj[s＋(j－)2].
活动二　掌握极差、方差、标准差的应用　
例1　甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm2)如下表所示，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的度量值．当两组数据的离散程度差异不大时，运用极差就不容易得出结论．而方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以用标准差能比较客观地反映数据的离散程度．
对甲、乙两名自行车赛车手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲 27 38 30 37 35 31
乙 33 29 38 34 28 36
分别求出甲、乙两名自行车赛车手最大速度数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？
例2　为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下表所示，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差.
使用 天数 451～ 480 481～ 510 511～ 540 541～ 570 571～ 600 601～ 630 631～ 660 661～ 690
日光 灯数 1 11 18 20 25 16 7 2
提示：用每一区间的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均使用寿命和标准差．
一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1－)2＋p2(x2－)2＋…＋pn(xn－)2.
有一种鱼的身体吸收汞，身体中汞的含量超过其体重的1.00 ppm(即百万分之一)的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．在30条鱼的样本中发现的汞含量(单位：ppm)如下：
0.07　0.24　0.95　0.98　1.02　0.98
1.37　1.40　0.39　1.02　1.44　1.58
0.54　1.08　0.61　0.72　1.20　1.14
1.62　1.68　1.85　1.20　0.81　0.82
0.84　1.29　1.26　2.10　0.91　1.31
(1) 请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；
(2) 求出上述样本数据的平均数和标准差；
(3) 从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过，你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00 ppm大吗？并说明理由；
(4) 在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心，距离平均数为2倍标准差的范围内？
1. (教材改编)甲、乙、丙、丁四位同学各掷5次骰子并记录点数如下，其中方差最大的是(　　)
甲：4　　5　　4　　5　　5　　　　 乙：4　　2　　3　　4　　3
丙：2　　3　　2　　3　　4　　　　 丁：6　　1　　2　　6　　1
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
2. (教材改编)已知数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为(　　)
A. s2 B. 2s2 C. 4s2 D. 4s2＋12s＋9
3. (多选)(2024南京开学考试)已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数为　，则数据x1，x2，…，xn，(　　)
A. 与原数据的极差相同 B. 与原数据的众数相同
C. 与原数据的方差相同 D. 与原数据的平均数相同
4. 已知一组数据x1，x2，…，xn的平均值为 ＝5，s2＝32，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大2，则这组数据的个数n＝________．
5. (2023嘉兴期末)某工厂现有甲、乙两条生产线，可生产同一型号的产品. 为了提高生产线的稳定性和产品的质量，计划对其中一条生产线进行技术升级. 为此，让甲、乙两条生产线各生产 8天(每天生产的时间、产品总数均相同)，两条生产线每天生产的次品数分别为：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天
甲 0 1 1 0 1 1 1 1
乙 1 2 3 0 0 0 1 1
(1) 分别计算这两组数据的平均数和方差；
(2) 请依据所学统计知识，结合(1)中的数据，给出升级哪条生产线的建议，并说明你的理由．
14．4.2　用样本估计总体的离散程度参数
【活动方案】
思考：在一组数据x1，x2，…，xn中，最大值与最小值的差称为极差．各数据与它们的平均数　的差的平方的平均数，叫这组数据的方差，常用s2表示，即s2＝.方差的算术平方根叫这组数据的标准差，用s表示，即s＝.
练习：极差＝56－47＝9.
＝×(52＋49＋48＋55＋47＋48＋56＋53)＝51.
s2＝[(52－)2＋(49－)2＋(48－)2＋…＋(53－)2]×＝(12＋22＋32＋42＋42＋32＋52＋22)×＝10.5.
s＝＝≈3.24.
例1　甲品种的样本平均数为10，样本方差为
[(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]÷5＝0.02；
乙品种的样本平均数也为10，样本方差为
[(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2]÷5＝0.244.
因为0.244>0.02，所以可以估计甲种水稻的产量比较稳定．
跟踪训练　甲＝＝33，
乙＝＝33，
s＝×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67，
s＝×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67，
甲的极差为11，乙的极差为10.
因为甲、乙平均数相等，乙的方差和极差较小，所以选乙参加比赛比较合适．
例2　各区间的组中值分别为465.5，495.5，525.5，555.5，585.5，615.5，645.5，675.5，由此可得平均数约为465.5×1%＋495.5×11%＋525.5×18%＋555.5×20%＋585.5×25%＋615.5×16%＋645.5×7%＋675.5×2%＝568.4≈568(天).这些组中值的方差为×[1×(465.5－568.4)2＋11×(495.5－568.4)2＋18×(525.5－568.4)2＋20×(555.5－568.4)2＋25×(585.5－568.4)2＋16×(615.5－568.4)2＋7×(645.5－568.4)2＋2×(675.5－568.4)2]＝2 128.59，
故所求的标准差约为≈46(天).
故估计这种日光灯的平均使用寿命为568天，标准差约为46天．
跟踪训练　(1) 频率分布表如下：
分组 频数 频率
[0.00，0.50) 3 0.10
[0.50，1.00) 10 0.3
[1.00，1.50) 12 0.40
[1.50，2.00) 4 0.13
[2.00，2.50] 1 0.03
合计 30 1.00
作出如图所示的频率直方图．
汞含量的分布偏向于1.00 ppm的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm的区域．
(2) 样本平均数为＝×(0.07＋0.24＋…＋0.91＋1.31)≈1.08，
样本方差s2≈×[(0.07－1.08)2＋(0.24－1.08)2＋(0.95－1.08)2＋…＋(0.91－1.08)2＋(1.31－1.08)2]＝0.204 26，
标准差s＝≈0.45.
(3) 不一定，因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同，即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面的数据也只能为对应分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00 ppm.
(4) 有28条鱼的汞含量在以平均数为中心，距离平均数为2倍标准差的范围内．
【检测反馈】
1. D　甲＝，所以s＝[＋＋＋＋]＝；乙＝，所以s＝[＋＋(3－)2＋(4－)2＋(3－)2]＝；丙＝，所以s＝[(2－)2＋(3－)2＋(2－)2＋(3－)2＋(4－)2]＝；丁＝，所以s＝[＋＋(2－)2＋(6－)2＋(1－)2]＝，所以方差最大的是丁．
2. C　因为数据x1，x2，…，xn的方差为s2，所以2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差为4s2.
3. AD　不妨设x1≤x2≤x3≤…≤xn，则x1≤≤xn.对于A，样本数据x1，x2，…，xn的极差为xn－x1，数据x1，x2，…，xn，的极差也为xn－x1，故A正确；对于B，如数据1，1，2，2，4的众数为1和2，平均数为2，数据1，1，2，2，4，2的众数为2，故B错误；对于C，原数据的方差为s＝，新数据的方差s＝，所以新数据与原数据方差不同，故C错误；对于D，原数据的平均数为，新数据的平均数为＝＝＝，故D正确．故选AD.
4. 17　一组数据x1，x2，…，xn的平均值为 ＝5，s2＝32，删去一个数之后，平均值没有改变，方差比原来大2，即删去的这个数是5，设这组数据的个数为n，则(32×n)＝34，解得n＝17.
5. (1) 设甲组数据的平均数和方差分别为1，s，乙组数据的平均数和方差分别为2，s.
1＝＝，s＝×[2×＋6×(1－)2]＝；
2＝＝1，s＝×[3×(0－1)2＋3×(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝1.
(2) 因为1 < 2，所以甲生产线生产的次品平均数少于乙生产线生产的次品平均数；
又因为s综上，选择乙生产线进行升级．