14.4.4　百分位数 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

14．4.4　百 分 位 数
1. 结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义，了解几个特殊的百分位数．
2. 会求样本数据的k百分位数，能用百分位数对个体在总体中的水平作出估计．
活动一 背景引入
2016年，某省对四年级学生进行了学业水平测试．甲、乙两市参加测试的学生数分别为 3 600 人和 2 800 人.从以往测试的情况看，甲、乙两市四年级英语学科的成绩总体状况基本相当．
思考1
甲市第 1 200 名与乙市第 1 160 名相比，哪个更好一些？
活动二　k百分位数的含义　
1. k百分位数的定义．
一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于pk，且至少有(100－k)%的数据大于或等于pk.
2. 计算有n个数据的大样本的k百分位数的步骤：
第1步：将所有数值按从小到大的顺序排列；
第2步：计算n·；
第3步：如果结果为整数，那么k百分位数位于第n·位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数；
第4步：如果n·不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数．
思考2
k百分位数有什么含义？
3. 四分位数．
常用的分位数有25百分位数、50百分位数、75百分位数，这三个分位数将一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数．
活动三　k百分位数的实际应用　
例1　有一样本的数据为 3 310，3 355，3 450，3 480，3 490，3 520，3 540，3 550，3 650，3 730，3 925，求这组数据的50百分位数和75百分位数．
某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：
甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.
乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.
甲、乙百分位数为25，50的成绩分别为多少？
例2　根据下列图表，估计月均用水量(单位：t)的样本数据的80和95百分位数．
分组 频数 频率
[1.2，4.2) 23 0.23
[4.2，7.2) 32 0.32
[7.2，10.2) 13 0.13
[10.2，13.2) 9 0.09
[13.2，16.2) 9 0.09
[16.2，19.2) 5 0.05
[19.2，22.2) 3 0.03
[22.2，25.2) 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1.00
频率直方图计算百分位数的规律：
求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，将数据看作均匀分布在频率直方图上，频率直方图要计算出比例值．
为了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60棵树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率直方图如图所示，你能估计一下60棵树木的50百分位数和75百分位数吗？
1. (2024云南期中)为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取100名学生，收集了他们一周内的课外阅读时间如下表：
一周内课外阅读时间/h 0 1 2 3 4 5 ≥6
人数 3 10 20 17 20 23 7
则这100名学生一周内课外阅读时间的70百分位数是(　　)
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
2. (教材改编)高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在区间[50，100]内．估计所有参赛同学成绩的75百分位数为(　　)
A. 65 B. 75 C. 85 D. 95
3. (多选)(2024湖南月考)已知100个数据的75百分位数是9.3，则下列说法中正确的是(　　)
A. 这100个数据中至少有75个数小于或等于9.3
B. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D. 把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
4. (教材改编)已知按从小到大顺序排列的两组数据如下：
甲组：27，30，37，a，40，50；乙组：24，b，33，44，48，52.
若这两组数据的30百分位数，50百分位数分别对应相等，则a，b的平均数等于________．
5. 从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0.
(1) 分别求出这组数据的25，50，95百分位数；
(2) 请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3) 若用25，50，95百分位数将公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
14．4.4　百 分 位 数
【活动方案】
思考1：在甲市参加测试的3 600名学生中，成绩低于第1 200名的共有2 400人，即共有67%的学生的成绩低于这个学生的成绩；而在乙市参加测试的2 800名学生中，成绩低于第1 160名的共有1 640人，即共有59%的学生的成绩低于这个学生的成绩．因为两市四年级英语学科的成绩总体状况基本相当，所以甲市第1 200名学生的成绩要好于乙市第1 160名学生的成绩．
思考2：总体数据中的任意一个数小于或等于它的可能性是k%.
例1　因为11×＝5.5，
所以50百分位数是第6项的值 3 520.
因为11×＝＝8.25，
所以75百分位数是第9项的值 3 650.
跟踪训练　将甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得
甲：65，71，75，76，81，86，88，89，91，94，95，107，110.
乙：78，79，83，86，88，93，98，98，99，101，103，106，114.
由13×＝3.25，13×＝6.5，
可得数据的25，50百分位数分别为第4项和第7项数据，
所以甲的25百分位数为76，50百分位数为88，乙的25百分位数为86，50百分位数为98.
例2　由频率分布表可知，月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为23%＋32%＋13%＋9%＝77%，在16.2 t以下的居民用户所占比例为77%＋9%＝86%，所以80百分位数一定位于[13.2，16.2)内，
则13.2＋3×＝14.2，
故估计月均用水量的样本数据的80百分位数为14.2.
同理，22.2＋3×＝22.95，
故估计月均用水量的样本数据的95百分位数为22.95.
跟踪训练　因为底部周长低于100 cm的所占比例为(0.015＋0.025)×10×100%＝40%，
底部周长低于110 cm的所占比例为40%＋0.03×10×100%＝70%，
底部周长低于120 cm的所占比例为70%＋0.02×10×100%＝90%，
所以50百分位数一定位于区间[100，110)内，75百分位数一定位于区间[110，120)内，
则100＋10×≈103.3，
110＋10×＝112.5.
综上，60棵树木的50百分位数和75百分位数分别估计为103.3，112.5.
【检测反馈】
1. A　因为3＋10＋20＋17＋20＝70，又100×70%＝70，所以这100名学生一周内阅读时间的70百分位数为从小到大排列的第70与第71两数的平均数，即为＝4.5.
2. C　观察频率直方图知，成绩在区间[50，80)上的频率为10(0.01＋0.015＋0.035)＝0.6，成绩在区间[50，90)上的频率为0.6＋10×0.03＝0.9，因此成绩的75百分位数m在区间(80，90)内，则(m－80)×0.03＝0.15，解得m＝85，所以估计所有参赛同学成绩的75百分位数为85.
3. AC　由百分位数的定义可知A正确；因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75百分位数，是9.3，故C正确，B，D错误．故选AC.
4. 35　因为甲乙两组都有6个数据，30%×6＝1.8，50%×6＝3，所以甲组的30百分位数为30，50百分位数为，乙组的30百分位数为b，50百分位数为＝.因为这两组数据的30百分位数，50百分位数分别对应相等，所以b＝30，＝，即a＝40，所以＝＝35.
5. (1) 将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9.
因为12×＝3，12×＝6，12×＝11.4，
所以这组数据的25百分位数是＝8.15，
50百分位数是＝8.5，
95百分位数是第12个数据为9.9.
(2) 因为12×15%＝1.8，
所以这组数据的15百分位数是第2个数据7.9，
即质量较小的前15%的珍珠有2个，它们的质量分别为7.8 g，7.9 g.
(3) 由(1)可知样本数据的25百分位数是 8.15，50百分位数为8.5，95百分位数是9.9，
所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．