15.1　随机事件和样本空间 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

15．1　随机事件和样本空间
1. 结合具体事例，理解样本点和有限样本空间的含义．
2. 理解随机事件与样本点的关系．
3. 理解随机事件之间的“包含”关系，随机事件的“并”和“交”等概念．
4. 学会表示两个事件的“并”与两个事件的“交”的方法．
活动一 基本概念
1. 观察下列现象．
(1) 在标准大气压下把水加热到100℃，结果水沸腾；
(2) 向空中抛掷一块石头，结果石头落回地面；
(3) 同性电荷，互相吸引；
(4) 把实心铁块丢入水中，结果铁块浮起；
(5) 买一张福利彩票，结果中奖；
(6) 掷一枚硬币，结果正面向上．
这些现象各有什么特点？
2. 阅读教材，了解基本概念．
(1) 确定性现象：
(2) 随机现象：
(3) 试验：
(4) 样本点：
(5) 样本空间：
(6) 随机事件：
(7) 基本事件：
(8) 必然事件：
(9) 不可能事件：
练习1　试判断下列事件是哪种事件？
(1) 我国东南沿海某地明年将受到3次热带气旋的侵袭；
(2) 若a为实数，则|a|≥0；
(3) 某人开车通过10个路口都遇到绿灯；
(4) 抛一石块，石块下落；
(5) 一个正六面体的六个面分别写有数字1，2，3，4，5，6，将它抛掷两次，向上的面的数字之和大于12.
练习2　已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－bx＋1(a≠0)，设集合P＝{1，2，3}，Q＝{－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到样本点(a，b)，则使函数y＝f(x)有零点的样本点的个数为________．
练习3　从a，b，c，d中任取两个不同的字母，则该试验的样本空间Ω＝_____
______________.
练习4　 给出下列事件：①明天进行的某场足球赛的比分是3∶1；②下周某地的最高气温与最低气温相差10℃；③同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；④射击1次，命中靶心；⑤当x为实数时，x2＋4x＋4＜0.其中，必然事件有________，不可能事件有________，随机事件有________．(填序号)
活动二　用集合的语言刻画随机事件的关系　
例1　“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是2”记为事件B，试分别写出A，B所包含的样本点，并用集合的语言分析A，B两者之间的关系．
用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂一种颜色．设事件A为“三个圆的颜色全不相同”，事件B为“三个圆的颜色不全相同”，事件C为“其中两个圆的颜色相同”，事件D为“三个圆的颜色全相同”．
(1) 写出试验的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B，C，D；
(3) 事件B与事件C有什么关系？
例2　“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件 A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数大于4”记为事件B，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为偶数或大于4”记为事件C，试分别写出A，B，C所包含的样本点，并用集合的语言分析A，B，C三者之间的关系．
从一箱产品中随机地抽取出一件产品，设事件A为“抽到的是一等品”，事件B为“抽到的是二等品”，事件C为“抽到的是三等品”，试用A，B，C表示下列事件：
(1) 事件D为“抽到的是一等品或二等品”；
(2) 事件E为“抽到的是二等品或三等品”．
例3　“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数不小于4”记为事件B，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是不小于4的偶数”记为事件C.试分别写出A，B，C所包含的样本点，并用集合的语言分析A，B，C三者之间的关系．
根据集合中的元素特征，用集合的运算，得到事件的“运算”．
盒子里有大小和质地均相同的6个红球和4个白球．现从中任取3个球，设事件A为“3个球中有1个红球、2个白球”，事件B为“3个球中有2个红球、1个白球”，事件C为“3个球中至少有1个红球”，事件D为“3个球中既有红球又有白球”．
(1) 事件D与A，B是什么运算关系？
(2) 事件C与A的交事件是什么事件？
1. (教材改编)甲、乙、丙三位同学参加演讲比赛，通过抽签确定演讲的顺序，记录抽签的结果，则试验的样本空间中样本点的总数为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. (教材改编)下列事件中，必然事件的个数是(　　)
①2028年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4 ℃时结冰；③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④向量的模不小于0.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多选)(2023河北月考)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品. 从这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品，则下列结论中正确的是(　　)
A. A＋B＝C B. B＋D是必然事件
C. AB＝C D. AD＝C
4. (2024河北月考)用红、黑、黄3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，若事件A＝{(红，红)，(黑，黑)，(黄，黄)}，则事件A的含义是____________________．
5. 掷一枚骰子，给出事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，C为“出现的点数小于3”．求：
(1) AB，BC；
(2) A＋B，B＋C.
15．1　随机事件和样本空间
【活动方案】
1. (1)(2)两种现象必然发生；(3)(4)两种现象不可能发生；(5)(6)两种现象可能发生，也可能不发生．
2. (1) 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象．
(2) 在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象．
(3) 对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验．
(4) 把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示．
(5) 所有样本点组成的集合称为样本空间，用Ω表示．如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间．
(6) 样本空间的子集称为随机事件，简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．
(7) 当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．
(8) Ω(全集)是必然事件．
(9) (空集)是不可能事件．
练习1: (1) 随机事件　(2) 必然事件　(3) 随机事件　(4) 必然事件　(5) 不可能事件
练习2：6　(a，b)的情况有(1，－1)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，－1)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，－1)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，共15种.函数y＝f(x)有零点等价于Δ＝b2－4a≥0，符合条件的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个样本点．
练习3：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}　
练习4：③　⑤　①②④
例1　记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，则A＝{ω2，ω4，ω6}，B＝{ω2}．
不难发现A，B两者之间的关系为B A，因此“事件B发生必导致事件A发生”．这时，我们称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A).
跟踪训练　(1) 由题意可知3个圆可能颜色一样，可能有2个一样，另1个异色，或者三个圆都异色，则试验的样本空间Ω＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)，(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}．
(2) A＝{(红，黄，蓝)}，
B＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)，(红，黄，蓝)}，
C＝{(红，红，黄)，(红，红，蓝)，(蓝，蓝，红)，(蓝，蓝，黄)，(黄，黄，红)，(黄，黄，蓝)}，
D＝{(红，红，红)，(黄，黄，黄)，(蓝，蓝，蓝)}．
(3) 由(2)可知事件B包含事件C.
例2　记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，则A＝{ω2，ω4，ω6}，B＝{ω5，ω6}，C＝{ω2，ω4，ω5，ω6}．
不难发现A，B，C三者之间的关系为C＝A∪B，因此“事件A与B至少有一个发生即为事件C发生”．这时，我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，并记作C＝A＋B.
跟踪训练　(1) 因为事件A为“抽到的是一等品”，事件B为“抽到的是二等品”，事件D为“抽到的是一等品或二等品”，所以D＝A＋B.
(2) 因为事件B为“抽到的是二等品”，事件C为“抽到的是三等品”，事件E为“抽到的是二等品或三等品”，所以E＝B＋C.
例3　记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，则A＝ {ω2，ω4，ω6}，B＝ {ω4，ω5，ω6}，C＝ {ω4，ω6}．
不难发现A，B，C三者之间的关系为C＝A∩B，因此“事件A与B同时发生即为事件C发生”．这时，我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，并记作C＝AB.
跟踪训练　设“从10个球中任取3个球，得到i个红球”为事件Ai(i＝0，1，2，3).
(1) 由题意，得事件A为“3个球中有1个红球、2个白球”，A＝A1，事件B为“3个球中有2个红球、1个白球”，B＝A2，事件D为“3个球中既有红球又有白球”，D＝A1＋A2，由此可得D＝A＋B.
(2) 事件C为“3个球中至少有1个红球”，C＝A1＋A2＋A3，A＝A1，所以C∩A＝A.
【检测反馈】
1. D　画出树形图如下，则Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，即样本点的总数为6.
2. A　对于①，因为2028年8月18日，不能确定北京市是否下雨，故①为随机事件；对于②，在标准大气压下，水在0 ℃时结冰，而不是在4 ℃时结冰，故②为不可能事件；对于③，因为从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，不能确定是否为1号签，故③为随机事件；对于④，因为向量的模大于等于0，所以向量的模不小于0，故④为必然事件．综上，①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．
3. AB　对于A，事件A＋B指至少有一件次品，即事件C，故A正确；对于B，事件B＋D指至少有两件次品或至多有一件次品，次品件数包含0到5，即代表了所有情况，故B正确；对于C，事件A和B不可能同时发生，即事件AB＝ ，故C错误；对于D，事件AD指恰有一件次品，即事件A，而事件A和C不同，故D错误．故选AB.
4. 甲、乙两个小球所涂颜色相同　因为每个小球只涂一种颜色，所以事件A的含义是甲、乙两个小球所涂颜色相同．
5. 由题意，得A＝{1，3，5}，B＝{2，4，6}，C＝{1，2}．
(1) AB＝ ，BC＝{2}．
(2) A＋B＝{1，2，3，4，5，6}，B＋C＝{1，2，4，6}．