15.2　随机事件的概率 学案（3课时,含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

15．2　随机事件的概率
15.2.1　随机事件的概率(1)
1. 理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．
2. 结合具体实例，理解古典概型，掌握通过样本空间计算古典概型中简单随机事件的概率的方法．
活动一 理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件
问题1：考察两个试验：(1) 抛掷一枚质地均匀的硬币；(2) 掷一颗质地均匀的骰子．在这两个试验中，可能的结果分别有哪些？
问题2：这两个试验的样本空间与基本事件各有什么共同特点？
问题3：在掷骰子试验中，随机事件“出现偶数点”可以由哪些基本事件组成？“出现偶数点”的概率为多少？
相关概念
(1) 等可能基本事件的定义：
(2) 古典概型的定义及特点：
(3) 等可能事件的概率公式：
问题4：(1) 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环，命中9环，…，命中5环和不中环，你认为这是古典概型吗？为什么？
(2) 向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗？为什么？
例1　设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛．
(1) 求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(2) 将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，从这6名运动员中随机抽取 2名参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5，A6的运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率．
活动二　深入理解古典概型，初步掌握运用枚举法求古典概型概率的方法　
例2　一只不透明的口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．
(1) 列出所有的样本点；
(2) 求摸出的2只球都是白球的概率．
先列出样本空间，再列出事件A中包含的样本点，最后根据古典概型的计算公式即可求解．
思考
(1) 把白球编号为1，2，3，黑球编号为4，5，结合下图，如果从集合的角度看古典概型，其概率如何求？你能将其推广到一般情况吗？
(2) 总结求古典概型概率的步骤．
一只不透明的口袋中有形状、大小均相同的6只小球，其中有2只白球，2只红球，2只黄球．从中一次摸出2只球，求：
(1) 2只球都是红球的概率；
(2) 2只球同色的概率；
(3) 恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球概率的多少倍？
豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率．(高茎可以为DD，Dd，矮茎只能为dd)
1. (教材改编)高中生在假期参加志愿者活动，既能服务社会，又能锻炼能力．某同学计划在福利院、社区、图书馆和医院中任选两个单位参加志愿者活动，则参加图书馆志愿者活动的概率为(　　)
A. B. C. D.
2. (2023广东期末)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024杭州期中)下列不是古典概型的是(　　)
A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，求甲被选中的概率
D. 抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
4. (教材改编)连续两次抛掷一颗六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正六面体骰子，观察并记录每一次朝上一面的点数，则“两次点数之和是7”的概率为________．
5. (2024江苏月考)某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑，某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各随机选购一种型号的电脑．
(1) 写出所有选购方案；
(2) 如果(1)中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？
15．2.2　随机事件的概率(2)
1. 通过实例，感受频率的稳定性．
2. 学会用频率估计概率．
活动一 频率与概率的关系
思考1
历史上做过的抛掷硬币试验如下表：
试验者 抛掷次数n 正面朝上的次数m 频率
德·摩根 2 048 1 061 0.518 1
布　丰 4 040 2 048 0.506 9
费　勒 10 000 4 979 0.497 9
皮尔逊 24 000 12 012 0.500 5
罗曼诺夫斯基 80 640 40 173 0.498 2
(1) 由上表可以看出硬币正面向上的频率呈现什么样的特点？
(2) 一般地，对于随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以得到事件A发生的频率为，那么事件的概率的近似值可以是怎样的？
(3) 频率与概率有何区别？又有什么联系？
(4) 对于任意一个事件A，其发生的概率P(A)满足什么条件？特别地，必然事件和不可能事件发生的概率分别是什么？
例1　某市1999～2002年新生儿出生数及其中男婴数(单位：人)的数据如下：
时间/年 1999 2000 2001 2002
出生婴儿数 21 840 23 070 20 094 19 982
出生男婴数 11 453 12 031 10 297 10 242
频率
(1) 试计算男婴各年出生的频率，并填入上表(精确到0.001)；
(2) 该市男婴出生的概率约为多少？
随机事件的概率是刻画这个事件A发生的可能性，是许多次试验下得出的结论，只有随着试验次数的增加，事件A发生的频率才能近似地看成是它的概率．
某射击运动员进行双向飞碟射击训练，每次训练的记录如下：
射击次数 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟次数 81 95 123 82 119 127 121
击中飞碟频率
(1) 将每次训练击中飞碟的频率填入表中(精确到0.001)；
(2) 这个运动员击中飞碟的概率约为多少？
活动二　深化对概率意义的理解　
思考2
判断下列说法是否正确．
(1) 每道选择题有4个选项，其中只有一个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率为，我每道题都选第一个选项，则一定有3道题选择正确．”
(2) 用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显的疗效．现有胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%；
(3) 某奖券中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖．
例2　(1) 抛掷一枚硬币，连续出现5次正面向上. 某同学认为下次出现反面向上的概率大于，你同意吗？为什么？
(2) 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，如果前9个病人都没有治愈，那么第10个人就一定能治愈吗？
　　
概率是对事件A发生的可能性的预估，但事先无法确定这个随机事件是否发生，只是这个随机事件的发生与否呈现出的某种规律．
(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是(　　)
A. 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D. 张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
1. (2024温州期末)气象台预报“本市明天中心城区的降雨概率为30%，郊区的降雨概率为70%.”基于这些信息，关于明天降雨情况的描述最为准确的是(　　)
A. 整个城市明天的平均降雨概率为50%
B. 如果住在郊区，那么明天不带伞出门将很可能淋雨
C. 只有郊区可能出现降雨，而中心城区将不会有降雨
D. 如果明天降雨，那么郊区的降雨量一定比中心城区多
2. (教材改编)抛掷硬币试验，记“正面朝上”为事件A，则下列说法中正确的是(　　)
A. 投掷2次硬币，事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的概率为
B. 投掷10次硬币，事件A发生的次数一定是5
C. 投掷硬币20次，事件A发生的频率等于事件A发生的概率
D. 投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近0.5
3. (多选)(教材改编)下列说法中，正确的是(　　)
A. 频率是反映事件发生的频繁程度，而概率反映事件发生的可能性的大小
B. 做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率
C. 频率是不能脱离具体的试验次数的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值
D. 频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
4. (2024上海期中)袋中有10个球，有红球和黄球两种类型．小明有放回地取10 000次，有6 973次取到红球，有3 027次取到黄球，那么红球最有可能有________个．
5. (2023江苏月考)对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下：
抽取台数 50 100 200 300 500 1 000
优等品数 40 92 192 285 478 954
(1) 根据表中数据分别计算6次试验中抽到优等品的频率；
(2) 该厂生产的电视机为优等品的概率约是多少？
15．2.3　随机事件的概率(3)
1. 强化古典概型概率的求解，学会运用树形图、列表等方法解决问题．
2. 能正确区分有放回抽样与无放回抽样，并能解决与之相关的问题．
活动一 运用枚举法求解古典概型的概率
例1　同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数．
(1) 写出样本空间Ω所包含的样本点；
(2) 点数之和是2的概率是多少？
(3) 点数之和是6的概率是多少？
(4) 点数之和是3的倍数的概率是多少？
先写出样本空间中的样本点，再写出具体事件所包含的样本点，利用古典概型的计算公式即可求得结果．
书架上放有三套不同的小说，每套均分上、下册，共六本，从中任取两本，试求下列事件的概率：
(1) 取出的书不成套；
(2) 取出的书均为上册；
(3) 取出的书上、下册各一本，但不成套．
活动二　运用树形图求解古典概型的概率　
例2　用3种不同的颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：
(1) 3个矩形颜色都相同的概率；
(2) 3个矩形颜色都不同的概率．
树形图直观反映了基本事件的状况，为解决古典概型的问题提供了又一条途径．
甲、乙、丙、丁四位同学分别写了一张新年贺卡，然后放在一起，现在四人均从中抽取一张．求：
(1) 这四位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率；
(2) 这四位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率．
活动三　正确区分有序抽样与无序抽样、有放回抽样与无放回抽样　
例3　某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把试过的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率又有多大？
“放回”和“不放回”的样本空间是不一样的，解题时一定要分清．
袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，每次从中任取1个，有放回地抽取3次．求：
(1) 3次全是红球的概率；
(2) 3次颜色全相同的概率；
(3) 3次颜色不全相同的概率．
1. (2024徐州期中)“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和．”若我们将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是(　　)
A. B. C. D.
2. (教材改编)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行．若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，则下列结论中正确的是(　　)
A. 任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B. 每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C. 每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D. 每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
4. (2024浙江期中)一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1，2，3，4，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是________．
5. (2023杭州期中)袋中有形状、大小都相同的4个小球，标号分别为1，2，3，4.
(1) 从袋中一次随机摸出2个球，求标号和为奇数的概率；
(2) 从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次．甲、乙两人约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜. 你认为此游戏是否公平？说明你的理由．
15．2　随机事件的概率
15．2.1　随机事件的概率(1)
【活动方案】
问题1: (1) 正面、反面两种结果．
(2) 点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种结果．　
问题2：样本空间只含有有限个样本点，每个基本事件的发生都是等可能的．
问题3: 由基本事件“出现的点数为2”，“出现的点数为4”和“出现的点数为6”构成．“出现偶数点”的概率为.
相关概念：(1) 若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．
(2) 特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点；②每个基本事件的发生都是等可能的．
定义：满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．
(3) P(A)＝(其中，n为样本点的个数，m表示某个事件A包含m个样本点).
问题4：(1) 不是古典概型．因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环，…，命中5环和不中环的出现不是等可能的，所以不是古典概型．
(2) 不是古典概型．因为一点落在圆内的基本事件的个数是无限个，所以不是古典概型．
例1　(1) 应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2) ①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②编号为A5，A6的运动员至少有一人被抽到的结果为(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共9种，
所以事件A发生的概率P(A)＝＝.
例2　(1) 可用枚举法找出所有的样本点．
分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，样本点(1，2)表示“摸到1，2号球”(余类推)，则样本空间Ω＝ {(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}．
(2) 记“摸出的2只球都是白球”为事件A，
因为A＝ {(1，2)，(1，3)，(2，3)}，
所以P(A)＝.
思考：(1) 把一次试验中出现的n个等可能结果组成一个集合Ω，那么每个结果都是Ω的元素，包含m个结果的一个事件就对应于Ω的某个有m个元素的子集A，所以该事件的概率是子集A的元素个数与集合Ω的元素个数的比值，即P(A)＝.
(2) ①设某事件为A；
②求基本事件的总数n；
③求事件A中含有的基本事件的个数m；
④用概率公式P(A)＝，求出概率．
跟踪训练1　从6只球中一次摸2只球的等可能基本事件有15个．
(1) 2只都是红球的基本事件的个数有1个，
所以2只球均为红球的概率为.
(2) 2只球同色的基本事件的个数有3个，
所以2只球同色的概率为＝.
(3) 恰有1只球是白球的概率为＝，2只球都是白球的概率为，故恰有1只球是白球的概率是2只球都是白球的概率的8倍．
跟踪训练2　由于第二子代的D，d基因的遗传是等可能的，而Dd与Dd的搭配方式有4种：DD，Dd，dD，dd，其中只有第四种表示为矮茎，所以第二子代为高茎的概率为＝0.75.
【检测反馈】
1. D　记福利院、社区、图书馆和医院分别为A，B，C，D，从4个单位中任选两个的所有样本点为AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6个，其中参加图书馆活动的样本点有AC，BC，CD，共3个，所以参加图书馆志愿者活动的概率P＝＝.
2. A　将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，共36种．设事件A为“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”，则A＝{(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，4)，(5，1)，(5，5)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，6)}，共14种，所以P(A)＝＝，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为.
3. ABD　对于A，任意抛掷两枚骰子，所得点数之和不满足“等可能”，所以A不是古典概型；对于B，取出的正整数不满足“有限”，所以B不是古典概型；对于C，在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者参加跳高项目，基本事件是有限的，且是等可能的，所以求甲被选中的概率属于古典概型，所以C是古典概型；对于D，抛掷的次数不满足“有限”，所以D不是古典概型．故选ABD.
4. 　连续两次抛掷一颗六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6且质地均匀的正六面体骰子的样本点共有6×6＝36(个)，其中“两次点数之和是7”的样本点有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)，共6个，故“两次点数之和是7”的概率为P＝＝.
5. (1) 画出树形图如图，则选购方案有：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E).
(2) A型号电脑被选中的情形有：(A，D)，(A，E)，包含2个样本点，所以A型号电脑被选中的概率为P＝＝.
15．2.2　随机事件的概率(2)
【活动方案】
思考1: (1) 接近于常数0.5，并在其附近摆动．
(2) 概率的近似值等于频率.
(3) 区别：频率是随着试验次数的改变而改变，在试验前是不确定的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关．
联系：在相同的条件下，随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，所以可用频率作为概率的近似值．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，概率是频率的稳定值．
(4) 0≤P(A)≤1，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
例1　(1) 0.524　0.521　0.512　0.513
(2) 该市男婴出生的概率约为0.52.
跟踪训练　(1) 0.810　0.792　0.820　0.820　0.793　0.794　0.807　(2) 0.80
思考2：(1) 不正确　(2) 正确　(3) 不正确
例2　(1) 不同意，概率是一个稳定值，无论前面出现何种情况，下次出现反面向上的概率仍为.
(2) 不一定，第十个人治愈成功的概率仍为10%.
跟踪训练　ACD　对于A，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，故A符合题意；对于B，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，即游戏规则不公平，故B不符合题意；对于C，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，故C符合题意；对于D，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，故D符合题意．故选ACD.
【检测反馈】
1. B　对于A，中心城区面积和郊区面积不一定相等，故整个城市明天的平均降雨概率不一定为50%，故A错误；对于B，明天郊区的降雨概率比较大，故B正确；对于C，不管是郊区还是中心城区都可能会出现降雨，故C错误；对于D，降雨量并不取决于降雨概率，反而是降雨时长以及有效覆盖面积(即下雨的区域在该所参考区域的面积)会影响降雨量，故D错误．
2. D　对于A，投掷2次硬币，试验结果有：两次正面朝上；第一次正面朝上，第二次反面朝上；第一次反面朝上，第二次正面朝上；两次反面朝上，共4种情况，故事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的概率为0.5，故A错误；对于B，每次抛掷硬币，事件A发生的概率都是0.5，故事件A发生的次数可以是0，1，2，…，10中的任何一个，故B错误；对于C，投掷硬币20次，事件A发生的概率都是0.5，而事件A发生的频率，只能说趋近于0.5，故C错误；对于D，投掷硬币1万次，事件A发生的频率接近于事件A发生的概率0.5，故D正确．
3. ACD　由频率和概率的关系知A，C，D正确；当试验次数足够大，频率才能够当作概率，故B错误．故选ACD.
4. 7　因为红球所占比例为×100%＝69.73%，所以红球的个数最有可能是10×69.73%≈7.
5. (1) 第1次抽到优等品的频率为＝0.8，
第2次抽到优等品的频率为＝0.92，
第3次抽到优等品的频率为＝0.96，
第4次抽到优等品的频率为＝0.95，
第5次抽到优等品的频率为＝0.956，
第6次抽到优等品的频率为＝0.954.
(2) 因为实验数据越大频率就越接近概率，所以该厂生产的电视机为优等品的概率约为0.95.
15．2.3　随机事件的概率(3)
【活动方案】
例1　(1) 第一颗骰子向上的点数有6种可能的结果，对每一种结果，第二颗又都有6种可能的结果，于是一共有6×6＝36(种)不同的可能结果．样本点(2，3)表示“第一颗骰子向上的点数为2，第二颗骰子向上的点数为3”(余类推)，则样本空间
Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2) 记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是2”为事件A，则A＝{(1，1)}，由古典概型可知P(A)＝.
(3) 记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是6”为事件B，则B＝{(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，由古典概型可知P(B)＝.　
(4) 记“同时抛掷两颗骰子，结果向上的点数之和是3的倍数”为事件C，则C＝{(1，2)，(2，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，6)}，由古典概型可知P(C)＝.
跟踪训练　将第一套书的上、下册分别记为A1，A2，第二套书的上、下册分别记为B1，B2，第三套书的上、下册分别记为C1，C2.
不区分取出的两本书的顺序，由题意可知样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)}，共含有15个样本点，可以认为这15个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率．
(1) 设事件A表示“取出的书不成套”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)}，样本点有12个，故P(A)＝＝.
(2) 设事件B表示“取出的书均为上册”，则 B＝{(A1，B1)，(A1，C1)，(B1，C1)}，样本点有3个，故P(B)＝＝.
(3) 设事件C表示“取出的书上、下册各一本，但不成套”，则C＝{(A1，B2)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)}，样本点有6个，故P(C)＝＝.
例2　用R，Y，G表示三种颜色，则由下图可知，本题的基本事件共27个．
因为对3个矩形涂色时，选用颜色是随机的，所以这27个基本事件发生的概率是相等的．
(1) 记“3个矩形颜色都相同”为事件A.由图可知，事件A包含的基本事件有1×3＝3(个)，故P(A)＝＝.
(2) 记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B包含的基本事件有2×3＝6(个)，故P(B)＝＝.
跟踪训练　设甲、乙、丙、丁写的贺卡分别记为a，b，c，d，则当甲取a时，有如下情况：
同理甲取b，c，d分别对应6种，故共有24种可能．
(1) 四位同学恰好都抽到别人的贺卡的基本事件有(b，a，d，c)，(b，c，d，a)，(b，d，a，c)，(c，a，d，b)，(c，d，a，b)，(c，d，b，a)，(d，a，b，c)，(d，c，a，b)，(d，c，b，a)，共9种，故P＝＝.
(2) 四位同学都抽到自己写的贺卡的基本事件为(a，b，c，d)，故P＝.
例3　用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙，事件“第二次才能打开门”包含的样本点有(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，共4个．
若试过的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)}，共有12个样本点，所以此时的概率 P＝＝.
若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，所以此时的概率为P＝＝.
跟踪训练　(1) 　(2) 　(3)
【检测反馈】
1. C　16拆成两个加数都大于2的有3＋13，4＋12，5＋11，6＋10，7＋9，8＋8，9＋7，10＋6，11＋5，12＋4，13＋3，共有11种情况，其中拆成的两个加数全部为质数的有3＋13，5＋11，13＋3，11＋5，共有4种情况，所以拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率为P＝.
2. A　由题意，得样本空间为{(1，1，3，4)，(1，1，4，3)，(1，3，1，4)，(1，3，4，1)，(1，4，1，3)，(1，4，3，1)，(3，1，1，4)，(3，1，4，1)，(3，4，1，1)，(4，1，3，1)，(4，1，1，3)，(4，3，1，1)}，所以共有12种不同排法，而卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P＝.
3. ACD　记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．对于A，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，所以其概率P＝＝，故A正确；对于B，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)(a，2)，(a，3)}，所以n(Ω)＝12，故B错误；对于C，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点总数为6，其概率为，故C正确；对于D，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，所以n(Ω)＝16，故D正确．故选ACD.
4. 　两次抽取的试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，包含16个样本点，两次抽取的卡片数字之和不大于6的事件A＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)}，包含13个样本点，所以两次抽取的卡片数字之和不大于6发生的概率为P(A)＝.
5. (1) 试验的样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}，共6个样本点，设“标号和为奇数”为事件B，则事件B包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4个，所以P(B)＝＝.
(2) 试验的样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共有16个样本点，
设“标号和为奇数”为事件C，则事件C包含的样本点为(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8个，
故所求概率为P(C)＝＝，即甲胜的概率为，同理可得乙胜的概率为，所以甲、乙两人获胜的概率是相等的，故此游戏公平．