第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.（2025·石家庄质量检测）已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2.（2025·湖北七市州调研）过点P（－1，1）的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（ ）
A.2 B.
C. D.2
3.若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆（x－a）2＋（y－b）2＝与圆O（ ）
A.外切 B.相交
C.内切 D.没有公共点
4.过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为（ ）
A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
5.（2024·滨州二模）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N.若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（ ）
A.1 B.3
C.5 D.7
6.〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则（ ）
A.两圆的圆心距｜O1O2｜＝2
B.直线AB的方程为x－y＋1＝0
C.圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
7.若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a＝ .
8.已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝ .
9.已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，且P为圆C上任意一点.
（1）求｜PA｜的最大值与最小值；
（2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.
10.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A.π B.π C.π D.π
11.（2025·宁波“十校”联考）过直线y＝3x上的点P作圆C：（x＋2）2＋（y－4）2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝3x对称时，点P的坐标为（ ）
A.（，） B.（，）
C.（1，3） D.（，）
12.〔多选〕已知圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2，则下列四个命题中真命题有（ ）
A.若圆M与y轴相切，则k＝±
B.圆M的圆心到原点的距离的最小值为
C.若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2
D.圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2可能外切
13.（2024·丽水、湖州、衢州教学质量检测）已知圆C：mx2＋（2m－1）y2－2ax－a－2＝0，若对于任意的a∈R，存在一条直线被圆C所截得的弦长为定值n，则m＋n＝ .
14.已知直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
（1）求圆O的方程；
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长｜AB｜＝，求直线AB的斜率的值；
（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量和是否共线？请说明理由.
15.（创新解题路径）（2025·安徽师大附中二模）若实数x，y满足x2＋y2＝25，则＋的最大值为 .
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.C 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心为C2（3，4），半径r2＝4，则｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.
2.A 将圆C：x2＋y2＋4x－1＝0化为（x＋2）2＋y2＝5，圆心C（－2，0），半径r＝，因为（－1＋2）2＋12＜5，所以点P（－1，1）在圆C内，记圆心C到直线l的距离为d，则｜AB｜＝2，由图可知，当d＝｜CP｜，即CP⊥l时，｜AB｜取得最小值，因为｜CP｜＝＝，所以｜AB｜的最小值为2＝2.故选A.
3.B 直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O（0，0）到直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1.圆（x－a）2＋（y－b）2＝的圆心坐标为（a，b），半径为，其圆心在圆O上，所以两圆相交.故选B.
4.B 因为过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为k＝＝，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2（x－3），即2x＋y－7＝0.
5.C 由题意可知：圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝r＝3，若使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则＝3，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故选C.
6.BD 由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为.对于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝＝，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为＝，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋，故D正确.故选B、D.
7.±2或0 解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切（外切或内切），得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
8.6 解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A（－4，－1）.所以｜AC｜2＝36＋4＝40.又r＝2，所以｜AB｜2＝40－4＝36.所以｜AB｜＝6.
9.解：（1）∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C： （x＋3）2＋（y－m）2＝13（m＜3）所截得的弦长为4，
∴圆心到直线的距离d＝＝＝1.
∵m＜3，∴m＝2，
∴｜AC｜＝＝，
∴｜PA｜的最大值与最小值分别为＋，－.
（2）由（1）可得圆C的方程为（x＋3）2＋（y－2）2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M（0，4），O（0，0），N（－6，0），
∴△MON为直角三角形，斜边｜MN｜＝2，
∴△MON内切圆的半径为＝5－.
10.A 圆C必过点O（0，0），故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的直径，即2r＝，所以r＝，所以S＝π，故选A.
11.C 圆C：（x＋2）2＋（y－4）2＝4的圆心为C（－2，4），直线l1，l2关于直线y＝3x对称时，则直线CP与直线y＝3x垂直，所以直线CP的方程为y－4＝－（x＋2），即x＋3y－10＝0，由解得所以P（1，3）.故选C.
12.ABD 圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2的圆心坐标为M（3k，4k＋2），半径为r＝.若圆M与y轴相切，则｜3k｜＝，解得k＝±，所以A为真命题；因为（3k）2＋（4k＋2）2＝25k2＋16k＋4＝＋≥，所以｜OM｜≥，所以B为真命题；若直线y＝x平分圆M的周长，则3k＝4k＋2，即k＝－2，所以C为假命题；若圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2外切，则｜4k＋2｜＝＋，设函数f（k）＝｜4k＋2｜－－，因为f（0）＝1＞0，f（－1）＝－＜0，所以f（k）在（－1，0）内必有零点，则方程｜4k＋2｜＝＋有解，所以D为真命题.故选A、B、D.
13.＋1 解析：由题意得m＝2m－1，m＝1.则圆C为（x－a）2＋y2＝（a＋）2＋.存在一条直线x＝－被此圆截得弦长为定值2×＝，那么n＝，故m＋n＝1＋.
14.解：（1）∵直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
∴圆O的半径r＝＝，∴圆O的方程为x2＋y2＝2.
（2）设直线AB的斜率为k.则直线AB的方程为y－2＝k（x－2），即kx－y－2k＋2＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离为d＝，
∵弦长｜AB｜＝，∴（）2＝（）2＋（）2，解得k＝2或k＝.
（3）向量和共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y－1＝k1（x－1），则QN：y－1＝－k1（x－1），
由得（1＋）x2＋2k1（1－k1）x＋（1－k1）2－2＝0.
∵点Q的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xM＝.
同理可得xN＝，
∴kMN＝
＝
＝＝1＝kOQ，
∴向量和共线.
15.6 解析：设m＝＝＝，则m表示点（x，y）与点（－4，－3）间的距离，设n＝＝＝，则n表示点（x，y）与点（－4，3）间的距离，如图所示.
｜BQ｜＝｜AQ｜＝＝3，又因为｜AB｜＝6，所以cos∠AQB＝＝，因为∠AQB＝∠APB，所以cos∠APB＝＝，整理得mn＝－10，因为mn≤（）2，所以mn＝－10≤（）2，所以m＋n≤6，当且仅当m＝n时取等号.
2 / 2第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）
相离 相切 相交
图形
量化 方程 观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何 观点 d＞r d＝r d＜r
2.圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜）
外离 外切 相交 内切 内含
图形
量的 关系 d＞ r1＋r2 d＝ r1＋r2 ＜d＜ r1＋r2 d＝｜r1－ r2｜ d＜
公切线 条数 4 2 0
提醒 两圆相切应注意是内切还是外切.
1.圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2.两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， ①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， ②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－②所得，即（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0.
3.圆系方程的设法
（1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参数）；
（2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数.当λ＝－1时，为一条直线（过两圆交点的直线）；
（3）若（x0，y0）表示圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上任意一点，则曲线系方程（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ[（x－x0）2＋（y－y0）2]＝0（λ为参数）表示与C相切于点（x0，y0）的所有圆.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直径是圆中最长的弦.（ ）
（2）若两圆没有公共点，则两圆外离.（ ）
（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.（ ）
（4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.（ ）
2.圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是（ ）
A.相切 B.相离
C.相交过圆心 D.相交但直线不过圆心
3.（人A选一P98练习1题改编）圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是（ ）
A.外切 B.相交
C.外离 D.内切
4.（人A选一P98习题3题改编）已知直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度是 .
5.（人A选一P92例2改编）圆x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为 .
直线与圆的位置关系
（基础自学过关）
1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
3.若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 .
4.若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是 .
练后悟通
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系判断；
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
提醒 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
圆的弦长、切线问题
（定向精析突破）
考向1 圆的弦长问题
（1）已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点.若｜AB｜＝6，则r的值为 ；
（2）（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值 .
听课记录 解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
考向2 圆的切线
（1）已知点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过点M的圆C的切线方程为 ；其切线长l＝ ；
（2）（2025·黄山质量检测）过点（0，3）与圆x2＋y2－2x－3＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝ .
听课记录 解题技法
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
考向3 最值（范围）问题
（1）（2024·全国甲卷理12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.2
（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 .
听课记录
解题技法
求解与弦长（切线长）有关的最值问题
（1）几何法：利用有关几何性质求解.如①过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点与圆心连线的弦；②直线与圆相离，圆心到直线的距离为d，则圆上一点到直线的最小距离为d－r，最大距离为d＋r.
（2）代数法：涉及与圆的弦、切线有关的线段长度范围（最值）问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
1.若直线y＝kx＋1与圆C：（x－2）2＋y2＝9相交于A，B两点，则｜AB｜的取值范围为（ ）
A.[2，6] B.[4，6]
C.[3，7] D.[4，8]
2.过点P（2，4）作圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为（ ）
A.3x＋4y－4＝0
B.4x－3y＋4＝0
C.x＝2或4x－3y＋4＝0
D.y＝4或3x＋4y－4＝0
3.过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为 .
圆与圆的位置关系
（师生共研过关）
已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解题技法
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
1.（2025·聊城一模）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－a）2＋（y－b）2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点（a，b）的是（ ）
A.2x＋y－＝0
B.2x－y＋2＝0
C.x＋y－＝0
D.x－y＋2＝0
2.（2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程 .
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
2.｜r1－r2｜ ｜r1－r2｜ 3 1
对点自测诊断
1.（1）√ （2）× （3）× （4）×
2.D 3.A 4.2 5.x－y＋2＝0
【考点·分类突破】
考点1
1.A 法一（代数法） 由
消去y，整理得（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆相交.
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝＜1＜，故直线l与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相交.
2.ABD 选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＞r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＜r.∴直线l与圆C相交，C错误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故选A、B、D.
3.[－3，1] 解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为，∴≤，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1.
4.（＋1，＋∞）
解析：计算得圆心到直线l的距离为＝＞1，如图，直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1.
考点2
【例1】 （1）5 （2）－2（或－或或2，填写任意一个均可）
解析：（1）由题意知圆心为O（0，0），圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接OM（图略），则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝＝5.
（2）依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝，｜AB｜＝2＝，所以S△ABC＝×d×｜AB｜＝＝，解得m＝2或m＝－2或m＝或m＝－.填写任意一个均可.
【例2】 （1）x－3＝0或3x－4y－5＝0 1 （2）
解析：（1）∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d'＝＝r＝2，解得k＝.∴切线方程为y－1＝（x－3），即3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝＝，∴过点M的圆C的切线长l＝＝＝1.
（2）圆x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为（x－1）2＋y2＝4，圆心为C（1，0），半径为2，记点P（0，3），记切点分别为A，B，如图所示，由切线长定理可得｜PA｜＝｜PB｜，又因为｜PC｜＝｜PC｜，｜CA｜＝｜CB｜，所以△PAC≌△PBC，所以∠APC＝∠BPC，设∠APC＝∠BPC＝θ，由圆的几何性质可得AC⊥PA，则｜PC｜＝＝，所以sin θ＝＝＝，由图可知，θ为锐角，则cos θ＝＝＝，所以sin∠APB＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故sin α＝.
【例3】 （1）C （2）x＋2y＋1＝0
解析：（1）根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为2＝4，故选C.
（2）☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4，则圆心C（1，1），半径r＝2.如图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝｜CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝2.要使四边形MACB的面积最小，则需｜CM｜最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，联立得解得M（0，－1），则｜CM｜＝.则以CM为直径的圆的方程为（x－）2＋y2＝，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0.
跟踪训练
1.B 易知直线y＝kx＋1恒过定点（0，1），又点（0，1）在圆C：（x－2）2＋y2＝9内，所以｜AB｜≥2＝4，所以4≤｜AB｜≤6.
2.C 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，则＝1，解得k＝，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－3y＋4＝0.
3.（－5，3） 解析：由圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1可知，圆心M（2，3），半径为1，所以 ｜MA｜＝｜MB｜＝1，所以四边形PAMB的面积为S＝｜PA｜｜MA｜＋｜PB｜·｜MB｜＝｜PA｜＝，所以｜PM｜＝＝＝2，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则＜2，解得－5＜m＜3.
考点3
【例4】 解：（1）证明：∵C1：（x－1）2＋（y－3）2＝11，圆心C1（1，3），半径r1＝；C2：（x－5）2＋（y－6）2＝16，圆心C2（5，6），半径r2＝4.∴｜C1C2｜＝＝5，∵4－＜｜C1C2｜＝5＜4＋，∴圆C1和圆C2相交.
（2）将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0.圆心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，由此可得公共弦的长l＝2＝2＝2.
跟踪训练
1.D 圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：（x－a）2＋（y－b）2＝4的圆心C2（a，b），半径r2＝2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以｜C1C2｜＝｜r1－r2｜，即＝1，所以点（a，b）的轨迹为圆x2＋y2＝1，对于A，圆心（0，0）到直线2x＋y－＝0的距离为＝＜1，则该直线过点（a，b），故A不符合；对于B，圆心（0，0）到直线2x－y＋2＝0的距离为＝＜1，则该直线过点（a，b），故B不符合；对于C，圆心（0，0）到直线x＋y－＝0的距离为＝1，则该直线过点（a，b），故C不符合；对于D，圆心（0，0）到直线x－y＋2＝0的距离为＝＞1，则该直线不过点（a，b），故D符合，故选D.
2.x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0（答案不唯一）
解析：法一 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由得由对称性可知公切线l2过点，设公切线l2的方程为y＋＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋＝（x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－（舍去），所以公切线l3的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
法二 根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
高中总复习·数学
课标要求
1. 能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 直线与圆的位置关系（圆的半径为r，圆心到直线的距离为d）
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0
几何观点 d＞r d＝r d＜r
2. 圆与圆的位置关系（两圆半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜）
外离 外切 相交 内切 内含
图形
量的 关系 d＞r1
＋r2 d＝r1＋
r2
＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－
r2｜ d＜
公切线 条数 4 2 0
｜r1－r2｜
｜r1－
r2｜
3
1
提醒 两圆相切应注意是内切还是外切.
1. 圆的切线方程常用结论
（1）过圆x2＋y2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方程为x0x＋y0y＝
r2；
（2）过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2上一点P（x0，y0）的圆的切线方
程为（x0－a）·（x－a）＋（y0－b）·（y－b）＝r2；
（3）过圆x2＋y2＝r2外一点P（x0，y0）作圆的两条切线，则两切点所在
直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2. 两圆相交时公共弦的方程
设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0， ①
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0， ②
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－②所得，
即（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋（F1－F2）＝0.
3. 圆系方程的设法
（1）过圆O：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线l：Ax＋By＋C＝0交点的
圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0（λ为参
数）；
（2）过圆O1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆O2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋
F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y
＋F2）＝0（不包括圆O2，λ为参数.当λ＝－1时，为一条直线（过两圆
交点的直线）；
（3）若（x0，y0）表示圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上任意一点，则曲
线系方程（x2＋y2＋Dx＋Ey＋F）＋λ[（x－x0）2＋（y－y0）2]＝0
（λ为参数）表示与C相切于点（x0，y0）的所有圆.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）直径是圆中最长的弦. （ √ ）
（2）若两圆没有公共点，则两圆外离. （ × ）
（3）如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.
（ × ）
（4）如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交. （ × ）
√
×
×
×
2. 圆（x－1）2＋（y＋2）2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是
（ ）
A. 相切
B. 相离
C. 相交过圆心
D. 相交但直线不过圆心
解析： 由题意知圆心（1，－2）到直线2x＋y－5＝0的距离d＝
＝ ＜ ，且2×1＋（－2）－5≠0，所以直线与圆相交但
不过圆心.
√
3. （人A选一P98练习1题改编）圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－
6y＋16＝0的位置关系是（ ）
A. 外切 B. 相交
C. 外离 D. 内切
解析： 圆C1的圆心C1（0，0），半径r1＝2，圆C2可化为（x－4）2＋
（y－3）2＝9，∴圆心C2（4，3），半径r2＝3，∴｜C1C2｜＝
＝5＝r1＋r2，故两圆外切.
√
4. （人A选一P98习题3题改编）已知直线x＋ y－2＝0与圆x2＋y2＝4相
交于A，B两点，则弦AB的长度是 .
解析：由题意知，圆心（0，0）到直线x＋ y－2＝0的距离为
＝1，则｜AB｜＝2 ＝2 .
2
5. （人A选一P92例2改编）圆x2＋y2－4x＝0在点P（1， ）处的切线方
程为 .
解析：圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，圆心坐标为（2，0），半径为
2，点P在圆上，所以过点P的半径所在直线的斜率为－ ，所以过点P
的切线的斜率为 ，所以切线方程为y－ ＝ （x－1），即x－ y
＋2＝0.
x－ y＋2＝0
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
直线与圆的位置关系（基础自学过关）
1. 直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋（y－1）2＝5的位置关系是
（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 不确定
√
解析： 法一（代数法） 由 消去y，整理得
（1＋m2）x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与
圆相交.
法二（几何法） 由题意知，圆心（0，1）到直线l的距离d＝ ＜1
＜ ，故直线l与圆相交.
法三（点与圆的位置关系法） 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点（1，
1），因为点（1，1）在圆x2＋（y－1）2＝5的内部，所以直线l与圆相
交.
2. 〔多选〕已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A（a，
b），则下列说法正确的是（ ）
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
√
√
√
解析： 选项A，∵点A在圆C上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到
直线l的距离d＝ ＝r，∴直线l与圆C相切，A正确.选项B，∵点
A在圆C内，∴a2＋b2＜r2，圆心C（0，0）到直线l的距离d＝ ＞
r，∴直线l与圆C相离，B正确.选项C，∵点A在圆C外，∴a2＋b2＞r2，
圆心C（0，0）到直线l的距离d＝ ＜r.∴直线l与圆C相交，C错
误.选项D，∵点A在直线l上，∴a2＋b2＝r2，圆心C（0，0）到直线l的
距离d＝ ＝r.∴直线l与圆C相切，D正确.故选A、B、D.
3. 若直线x－y＋1＝0与圆（x－a）2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值
范围是 .
解析：由题意可得，圆的圆心为（a，0），半径为 ，∴
≤ ，即｜a＋1｜≤2，解得－3≤a≤1.
[－3，1]
4. 若圆x2＋y2＝r2（r＞0）上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为
1，则实数r的取值范围是 .
解析：计算得圆心到直线l的距离为 ＝ ＞1，如图，
直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直
线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到
直线l2的距离 ＋1.
（ ＋1，＋∞）
练后悟通
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系判断；
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断；
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线
与圆相交.
提醒 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直
线问题.
圆的弦长、切线问题（定向精析突破）
考向1 圆的弦长问题
（1）已知直线x－ y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2（r＞0）相交于A，B
两点.若｜AB｜＝6，则r的值为 ；
解析： 由题意知圆心为O（0，0），圆心到直线的距离d＝
＝4.取AB的中点M，连接OM（图略），则OM⊥AB. 在
Rt△OMA中，r＝ ＝5.
5
（2）（2023·新高考Ⅱ卷15题）已知直线x－my＋1＝0与☉C：（x－1）2
＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值
.
解析： 依题意可得圆C的圆心为C（1，0），半径r＝2，则圆心C
（1，0）到直线x－my＋1＝0的距离d＝ ，｜AB｜＝2 ＝
，所以S△ABC＝ ×d×｜AB｜＝ ＝ ，解得m＝2或m＝
－2或m＝ 或m＝－ .填写任意一个均可.
－
2（或－ 或 或2，填写任意一个均可）
解题技法
直线被圆截得的弦长的两种求法
考向2 圆的切线
（1）已知点M（3，1），圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4，则过
点M的圆C的切线方程为 ；其切线长l
＝ ；
x－3＝0或3x－4y－5＝0
1
解析： ∵（3－1）2＋（1－2）2＝5＞4，∴点M在圆C外.当过点M
的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C（1，2）到
直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，∴直线x＝3是圆的切线；当切线的
斜率存在时，设切线方程为y－1＝k（x－3），即kx－y＋1－3k＝0，由
圆心C到切线的距离d'＝ ＝r＝2，解得k＝ .∴切线方程为y
－1＝ （x－3），即3x－4y－5＝0.∵｜MC｜＝
＝ ，∴过点M的圆C的切线长l＝
＝ ＝1.
（2）（2025·黄山质量检测）过点（0，3）与圆x2＋y2－2x－3＝0相切的
两条直线的夹角为α，则 sin α＝ .
解析： 圆x2＋y2－2x－3＝0的标准方程为（x－1）2
＋y2＝4，圆心为C（1，0），半径为2，记点P（0，
3），记切点分别为A，B，如图所示，由切线长定理可
得｜PA｜＝｜PB｜，又因为｜PC｜＝｜PC｜，｜
CA｜＝｜CB｜，所以△PAC≌△PBC，所以∠APC＝
∠BPC，设∠APC＝∠BPC＝θ，由圆的几何性质可得
AC⊥PA，则｜PC｜＝ ＝ ，所以 sin θ＝ ＝ ＝ ，由图可知，θ为锐角，则 cos θ＝ ＝ ＝ ，所以 sin ∠APB＝ sin 2θ＝2 sin θ cos θ＝2× × ＝ ，故 sin α＝ .
解题技法
求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切
线方程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆
外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
考向3 最值（范围）问题
（1）（2024·全国甲卷理12题）已知b是a，c的等差中项，直线ax
＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值
为（ C ）
A. 1 B. 2
C
解析： 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by
＋c＝0过点M（1，－2）.设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接
CM，则AB⊥CM时，｜AB｜最小，将圆的方程化为x2＋（y＋2）2＝5，
则C（0，－2），所以｜MC｜＝1，所以｜AB｜的最小值为
2 ＝4，故选C.
C. 4 D. 2
（2）已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直
线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形
MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为 .
x＋2y＋1＝0
解析： ☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程
为（x－1）2＋（y－1）2＝4，则圆心C（1，1），半
径r＝2.如图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝
2S△CAM＝｜CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝
2 .要使四边形MACB的面积最小，则
需｜CM｜最小，此时CM与直线l垂直，直线CM的方
程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，联立得 解得M（0，－1），则｜CM｜＝ .则以CM为直径的圆的方程为（x－ ）2＋y2＝ ，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0.
解题技法
求解与弦长（切线长）有关的最值问题
（1）几何法：利用有关几何性质求解.如①过圆内一点的最长弦为过
此点的直径，最短弦为垂直于此点与圆心连线的弦；②直线与圆相
离，圆心到直线的距离为d，则圆上一点到直线的最小距离为d－r，最
大距离为d＋r.
（2）代数法：涉及与圆的弦、切线有关的线段长度范围（最值）问题，
解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数
的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
1. 若直线y＝kx＋1与圆C：（x－2）2＋y2＝9相交于A，B两点，则｜
AB｜的取值范围为（ ）
A. [2，6] B. [4，6]
C. [3，7] D. [4，8]
解析： 易知直线y＝kx＋1恒过定点（0，1），又点（0，1）在圆C：
（x－2）2＋y2＝9内，所以｜AB｜≥2 ＝4，所以4≤｜
AB｜≤6.
√
2. 过点P（2，4）作圆（x－1）2＋（y－1）2＝1的切线，则切线方程为
（ ）
A. 3x＋4y－4＝0
B. 4x－3y＋4＝0
C. x＝2或4x－3y＋4＝0
D. y＝4或3x＋4y－4＝0
√
解析： 当斜率不存在时，直线x＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线
方程为y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，则 ＝1，
解得k＝ ，得切线方程为4x－3y＋4＝0.综上，切线方程为x＝2或4x－
3y＋4＝0.
3. 过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1的两
条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为 的点P有两
个，则实数m的取值范围为 .
解析：由圆M：（x－2）2＋（y－3）2＝1可知，圆心
M（2，3），半径为1，所以 ｜MA｜＝｜MB｜＝1，
所以四边形PAMB的面积为S＝ ｜PA｜｜MA｜＋
｜PB｜·｜MB｜＝｜PA｜＝ ，所以｜PM｜＝
＝ ＝2 ，要使四边形PAMB的面积
为 的点P有两个，则 ＜2 ，解得－5＜m＜3.
（－5，3）
圆与圆的位置关系（师生共研过关）
已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45
＝0.
（1）求证：圆C1和圆C2相交；
解： 证明：∵C1：（x－1）2＋（y－3）2＝11，圆心C1（1，3），
半径r1＝ ；C2：（x－5）2＋（y－6）2＝16，圆心C2（5，6），半径
r2＝4.∴｜C1C2｜＝ ＝5，∵4－ ＜｜
C1C2｜＝5＜4＋ ，∴圆C1和圆C2相交.
（2）求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
解： 将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0.圆
心C2（5，6）到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝ ＝3，由此可
得公共弦的长l＝2 ＝2 ＝2 .
解题技法
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与
两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消
去x2，y2项得到.
1. （2025·聊城一模）若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：（x－a）2＋（y－
b）2＝4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点（a，b）的是
（ ）
A. 2x＋y－ ＝0
B. 2x－y＋2＝0
C. x＋y－ ＝0
D. x－y＋2＝0
√
解析： 圆C1：x2＋y2＝1的圆心C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：（x
－a）2＋（y－b）2＝4的圆心C2（a，b），半径r2＝2，若圆C1与圆C2
恰有一条公切线，则两圆内切，所以｜C1C2｜＝｜r1－r2｜，即
＝1，所以点（a，b）的轨迹为圆x2＋y2＝1，对于A，圆心（0，0）到直
线2x＋y－ ＝0的距离为 ＝ ＜1，则该直线过点（a，
b），故A不符合；对于B，圆心（0，0）到直线2x－y＋2＝0的距离为
＝ ＜1，则该直线过点（a，b），故B不符合；对于C，圆心
（0，0）到直线x＋y－ ＝0的距离为 ＝1，则该直线过点
（a，b），故C不符合；对于D，圆心（0，0）到直线x－y＋2＝0的距离为 ＝ ＞1，则该直线不过点（a，b），故D符合，故选D.
2. （2022·新高考Ⅰ卷14题）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝
16都相切的一条直线的方程
.
解析：法一 如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心
为O（0，0），半径r1＝1，圆（x－3）2＋
（y－4）2＝16的圆心为A（3，4），半径r2
＝4，所以｜OA｜＝5，r1＋r2＝5，所以
｜OA｜＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线
有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝
－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两
x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0
（答案不唯一）
圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝ x，由 得 由对称性可知公切线l2过点 ，设公切线l2的方程为y＋ ＝k（x＋1），则点O（0，0）到l2的距离为1，所以1＝ ，解得k＝ ，所以公切线l2的方程为y＋ ＝ （x＋1），即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝ x垂直，设公切线l3的方程为y＝－ x＋t，易知t＞0，则点O（0，0）到l3的距离为1，所以1＝ ，解得t＝ 或t＝－ （舍去），所以公切线l3的方程为y＝－ x＋ ，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
法二 根据题意，精确作出两圆（需用到尺规），由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·石家庄质量检测）已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－
8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1，圆C2：x2
＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心为C2（3，4），半径r2＝4，则｜C1C2｜＝
＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.
1
2
3
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8
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19
20
20
22
23
24
25
√
2. （2025·湖北七市州调研）过点P（－1，1）的直线l与圆C：x2＋y2＋
4x－1＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为（ ）
A. 2 B.
√
解析： 将圆C：x2＋y2＋4x－1＝0化为（x＋2）2
＋y2＝5，圆心C（－2，0），半径r＝ ，因为
（－1＋2）2＋12＜5，所以点P（－1，1）在圆C
内，记圆心C到直线l的距离为d，则｜AB｜＝
2 ，由图可知，当d＝｜CP｜，即CP⊥l时，｜AB｜取得最小值，因为｜CP｜＝ ＝ ，所以｜AB｜的最小值为2 ＝2 .故选A.
C. D. 2
3. 若直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆（x－a）2＋（y－
b）2＝ 与圆O（ ）
A. 外切 B. 相交
C. 内切 D. 没有公共点
解析： 直线ax＋by＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆心O（0，0）到
直线ax＋by＝1的距离等于圆O的半径1，即d＝ ＝1，得a2＋b2＝
1.圆（x－a）2＋（y－b）2＝ 的圆心坐标为（a，b），半径为 ，其
圆心在圆O上，所以两圆相交.故选B.
√
4. 过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线
的方程为（ ）
A. 2x＋y－5＝0 B. 2x＋y－7＝0
C. x－2y－5＝0 D. x－2y－7＝0
解析： 因为过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝r2的切线有且只有一
条，所以点（3，1）在圆（x－1）2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为
k＝ ＝ ，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2（x－
3），即2x＋y－7＝0.
√
5. （2024·滨州二模）已知圆C：（x－1）2＋y2＝9，直线l：x＋y＋m＝
0，P为直线l上的动点.过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N. 若
使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，则正实数m＝（ ）
A. 1 B. 3
C. 5 D. 7
√
解析： 由题意可知：圆C：（x－1）2＋y2＝9的圆心为C（1，0），
半径r＝3，因为四边形PMCN为正方形，可知｜CP｜＝ r＝3 ，若
使得四边形PMCN为正方形的点P有且只有一个，可知CP⊥l，则
＝3 ，解得m＝5或m＝－7（舍去），所以正实数m＝5.故
选C.
6. 〔多选〕已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的
交点为A，B，则（ ）
A. 两圆的圆心距｜O1O2｜＝2
B. 直线AB的方程为x－y＋1＝0
C. 圆O2上存在两点P和Q使得｜PQ｜＞｜AB｜
D. 圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
√
√
解析： 由圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0，可
得圆O1：（x－1）2＋y2＝4和圆O2：x2＋（y－1）2＝2，则圆O1的圆心
坐标为（1，0），半径为2，圆O2的圆心坐标为（0，1），半径为 ，对
于A，两圆的圆心距｜O1O2｜＝ ＝ ，故A错
误；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方
程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心（0，1），
所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对
于D，圆O1的圆心坐标为（1，0），半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1
＝0的距离为 ＝ ，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋
，故D正确.故选B、D.
7. 若圆x2＋y2＝1与圆（x＋4）2＋（y－a）2＝25相切，则常数a
＝ .
解析：两圆的圆心距d＝ ，由两圆相切（外切或内切），得
＝5＋1或 ＝5－1，解得a＝±2 或a＝0.
±2 或0
8. 已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R）是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的
对称轴，过点A（－4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜
＝ .
解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，
所以圆心C（2，1）在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝
－1，所以A（－4，－1）.所以｜AC｜2＝36＋4＝40.又r＝2，所以｜
AB｜2＝40－4＝36.所以｜AB｜＝6.
6
解： ∵直线4x＋3y＋1＝0被圆C： （x＋3）2＋（y－m）2＝13
（m＜3）所截得的弦长为4 ，
∴圆心到直线的距离d＝ ＝ ＝1.
∵m＜3，∴m＝2，
∴｜AC｜＝ ＝ ，
∴｜PA｜的最大值与最小值分别为 ＋ ， － .
9. 已知A（2，0），直线4x＋3y＋1＝0被圆C：（x＋3）2＋（y－m）2
＝13（m＜3）所截得的弦长为4 ，且P为圆C上任意一点.
（1）求｜PA｜的最大值与最小值；
（2）圆C与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的
半径.
解： 由（1）可得圆C的方程为（x＋3）2＋（y－2）2＝13，
令x＝0，得y＝0或4；令y＝0，得x＝0或－6，
∴圆C与坐标轴相交于三点M（0，4），O（0，0），N（－6，0），
∴△MON为直角三角形，斜边｜MN｜＝2 ，
∴△MON内切圆的半径为 ＝5－ .
10. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直
径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为（ ）
A. π B. π
C. π D. π
解析： 圆C必过点O（0，0），故要使圆C的面积最小，则点O到直
线l的距离为圆C的直径，即2r＝ ，所以r＝ ，所以S＝ π，故选A.
√
11. （2025·宁波“十校”联考）过直线y＝3x上的点P作圆C：（x＋2）2
＋（y－4）2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝3x对称时，
点P的坐标为（ ）
A. （ ， ） B. （ ， ）
C. （1，3） D. （ ， ）
√
解析： 圆C：（x＋2）2＋（y－4）2＝4的圆心为C（－2，4），直线
l1，l2关于直线y＝3x对称时，则直线CP与直线y＝3x垂直，所以直线CP
的方程为y－4＝－ （x＋2），即x＋3y－10＝0，由
解得 所以P（1，3）.故选C.
12. 〔多选〕已知圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2，则下列四
个命题中真命题有（ ）
A. 若圆M与y轴相切，则k＝±
B. 圆M的圆心到原点的距离的最小值为
C. 若直线y＝x平分圆M的周长，则k＝2
D. 圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2可能外切
√
√
√
解析： 圆M：（x－3k）2＋（y－4k－2）2＝1＋k2的圆心坐标为
M（3k，4k＋2），半径为r＝ .若圆M与y轴相切，则｜3k｜＝
，解得k＝± ，所以A为真命题；因为（3k）2＋（4k＋2）2＝
25k2＋16k＋4＝ ＋ ≥ ，所以｜OM｜≥ ，所以B为真命
题；若直线y＝x平分圆M的周长，则3k＝4k＋2，即k＝－2，所以C为假
命题；若圆M与圆（x－3k）2＋y2＝4k2外切，则｜4k＋2｜＝ ＋
，设函数f（k）＝｜4k＋2｜－ － ，因为f（0）＝1＞
0，f（－1）＝－ ＜0，所以f（k）在（－1，0）内必有零点，则方
程｜4k＋2｜＝ ＋ 有解，所以D为真命题.故选A、B、D.
13. （2024·丽水、湖州、衢州教学质量检测）已知圆C：mx2＋（2m－
1）y2－2ax－a－2＝0，若对于任意的a∈R，存在一条直线被圆C所截得
的弦长为定值n，则m＋n＝ .
解析：由题意得m＝2m－1，m＝1.则圆C为（x－a）2＋y2＝（a＋ ）2
＋ .存在一条直线x＝－ 被此圆截得弦长为定值2× ＝ ，那么n＝
，故m＋n＝1＋ .
＋1
14. 已知直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
（1）求圆O的方程；
解： ∵直线x＋y＋2＝0与圆心为坐标原点的圆O相切.
∴圆O的半径r＝ ＝ ，∴圆O的方程为x2＋y2＝2.
解： 设直线AB的斜率为k.则直线AB的方程为y－2＝k（x－2），
即kx－y－2k＋2＝0，
圆心O（0，0）到直线的距离为d＝ ，
∵弦长｜AB｜＝ ，
∴（ ）2＝（ ）2＋（ ）2，
解得k＝2或k＝ .
（2）过点P（2，2）的直线与圆O交于A，B两点，若弦长｜AB｜＝
，求直线AB的斜率的值；
（3）过点Q（1，1）作两条相异直线分别与圆O相交于M，N，且直线
QM和直线QN的倾斜角互补，试着判断向量 和 是否共线？请说明
理由.
解： 向量 和 共线，理由如下：
由题意知，直线QM和直线QN的斜率存在，且互为相反数，
故可设QM：y－1＝k1（x－1），则QN：y－1＝－k1（x－1），
由 得（1＋ ）x2＋2k1（1－k1）x＋（1－k1）2－2
＝0.
∵点Q的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xM＝ .
同理可得xN＝ ，
∴kMN＝ ＝ ＝ ＝1＝kOQ，
∴向量 和 共线.
15. （创新解题路径）（2025·安徽师大附中二模）若实数x，y满足x2＋y2
＝25，则 ＋ 的最大值为 6 .
解析：设m＝ ＝
＝
，则m表示点（x，y）与
点（－4，－3）间的距离，设n＝ ＝
6
＝ ，则n表示点（x，y）与点（－4，3）间的距离，如图所示.｜BQ｜＝｜AQ｜＝ ＝3 ，又因为｜AB｜＝6，所以 cos ∠AQB＝ ＝
，因为∠AQB＝∠APB，所以 cos ∠APB＝ ＝ ，整理得mn＝ －10，因为mn≤（ ）2，所以mn＝ －10≤（ ）2，所以m＋n≤6 ，当且仅当m＝n时
取等号.
THANKS
演示完毕 感谢观看
