第五节 椭圆
1.（2025·江南十校联考）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2的椭圆方程是（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝（ ）
A.4 B.8 C.4或8 D.12
3.已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心O的距离的取值范围是（ ）
A.[4，5] B.[6，8]
C.[6，10] D.[8，10]
4.已知F是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若｜PF｜＝3｜QF｜，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5.〔多选〕若椭圆C：＋＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，则能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的b的值为（ ）
A. B.
C.2 D.
6.〔多选〕（2025·沈阳质量监测）设椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.｜PF1｜的最大值为8
B.椭圆C的离心率e＝
C.△PF1F2面积的最大值等于12
D.以线段F1F2为直径的圆与圆（x－4）2＋（y－3）2＝4相切
7.若椭圆＋＝1（m＞0）的离心率为，则该椭圆的长轴长为 .
8.设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点.若｜AF1｜＝3｜F1B｜，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 .
9.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为b.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，求椭圆C的方程.
10.椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
11.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（ ）
A.3 B.2
C. D.
12.〔多选〕如图所示，一个底面半径为的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为
C.椭圆的方程可以为＋＝1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
13.（2024·临沂二模）椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于点Q，离心率e＝，若＝λ，则λ＝ .
14.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与C交于A，B两点，且｜AF2｜∶｜AB｜∶｜BF2｜＝3∶4∶5.
（1）求C的离心率；
（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M，N重合），证明：∠MPN≤∠MAN.
15.（新定义）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：A1H⊥PA2.
第五节 椭圆
1.B 椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为＋＝1，焦点在y轴上，设所求椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），依题意有所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为＋＝1.
2.C 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
3.A 不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为＋＝1.设点P（x，y），则－5≤x≤5，且有y2＝16－x2.所以｜OP｜＝＝∈[4，5]，故选A.
4.A 如图所示，由椭圆的对称性可知，｜PF｜＋｜QF｜＝2a，由于｜PF｜＝3｜QF｜，则｜QF｜＝a，｜PF｜＝a，由∠PFQ＝120°，得｜PQ｜＝a，在△FQP与△FQO中利用同角余弦值相等，则＝，解得c＝a，则e＝＝.
5.ABC 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2.因为圆x2＋y2＝c2与椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤，即0＜b≤，故，，2满足条件，故选A、B、C.
6.ACD 椭圆C：＋＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半焦距c＝＝3.对于A，｜PF1｜的最大值为a＋c＝8，A正确；对于B，椭圆C的离心率e＝＝，B错误；对于C，设点P（x0，y0），则｜y0｜max＝4，而｜F1F2｜＝2c＝6，因此△PF1F2面积的最大值等于×6×4＝12，C正确；对于D，以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心O（0，0），半径r1＝3，圆（x－4）2＋（y－3）2＝4的圆心C（4，3），半径r2＝2，｜OC｜＝5＝r1＋r2，则圆O与圆C外切，D正确.故选A、C、D.
7.4或2 解析：由椭圆＋＝1的离心率为，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，＝＝，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4；当0＜m＜2时，椭圆焦点在y轴上，＝＝，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2.
8.x2＋y2＝1
解析：如图所示，设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝，则可设A（c，b2），B（x0，y0）.由｜AF1｜＝3｜F1B｜，可得＝3，故即代入椭圆方程，可得＋b2＝1，解得b2＝，故椭圆方程为x2＋＝1.
9.解：（1）由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为b，即＝b，
所以a＋c＝b，
即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝，
所以2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1（舍），
所以椭圆C的离心率为.
（2）由（1）知离心率e＝＝，即a＝2c， ①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为，
则｜PF1｜｜PF2｜sin 60°＝，
所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，
又
所以a2－c2＝3， ②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为＋＝1.
10.A 法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝·＝＝ （*）.因为点P在椭圆C上，所以＋＝1，得n2＝（a2－m2），代入（*）式，得＝，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝＝.故选A.
法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e＝.故选A.
11.D 因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4.当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则｜MF1｜＝｜MF2｜＝a＝5，｜F1F2｜＝2c＝8，｜OM｜＝b＝3，＝（｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）·r＝｜F1F2｜·｜OM｜，所以r＝，故选D.
12.ACD 圆柱的底面半径是，直径是2，所以椭圆的长轴长2a＝＝4，a＝2，短轴长2b＝2，b＝，则c＝＝，离心率e＝＝，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为＋＝1，椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－.故选A、C、D.
13. 解析：设｜｜＝m，｜｜＝n，则有m2＋n2＝4c2，m＋n＝2a＝2×c＝c，则（m＋n）2＝m2＋n2＋2mn＝c2，即2mn＝c2－4c2＝c2，则（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝4c2－c2＝c2，即m－n＝c，即m＝＝c，n＝＝c，则｜｜＝λ｜｜＝λm＝λc，由｜｜＝｜｜，则有（λc）2＝（c－λc）2＋（c）2，整理得8λ＝5，即λ＝.
14.解：（1）由＋＝1（b＞0）得a2＝4，则a＝2.
设｜AF2｜＝3m，｜AB｜＝4m，｜BF2｜＝5m，
由勾股定理知∠BAF2＝.
由｜AF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝4a＝8可知m＝，所以｜AF2｜＝2.
所以｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝4－2＝2，
所以△AF1F2为等腰直角三角形，
所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b＝c＝，
所以椭圆的离心率为e＝＝.
（2）证明：由（1）可得椭圆方程为＋＝1，
则M（－2，0），N（2，0）.
由椭圆的对称性可设A（0，），P（x0，y0），y0∈（0，]，
α＝∠PMN，β＝∠PNM，
则tan α＝，tan β＝，＋＝1，
所以tan α·tan β＝·＝＝＝，
tan α＋tan β＝＋＝＝＝，
所以tan（α＋β）＝＝，
所以当y0＝时，tan（α＋β）取得最小值2，
由（1）知∠BAF2＝，
所以（α＋β）∈（0，），
所以当点P与点A重合时，α＋β取得最小值，此时∠MPN＝π－（α＋β）取得最大值，所以∠MPN≤∠MAN.
15.解：（1）椭圆C1：＋＝1的离心率为e＝＝＝，
设椭圆C2的方程为＋＝1（a'＞b'＞0），且b'＝，因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝＝，解得a'2＝12，
所以椭圆C2的方程为＋＝1.
（2）证明：不妨设P（m，n），其中n＞0，则＋＝1，可得m2＝6－，
把x＝m代入椭圆C1：＋＝1，可得y＝，所以H（m，），
所以＝，＝，
所以·＝·＝＝＝－1.
所以A1H⊥PA2.
2 / 2第五节 椭圆
课标要求
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为椭圆 为椭圆的焦点； 为椭圆的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
提醒 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 ＋＝1 （a＞b＞0） ＋＝1 （a＞b＞0）
图形
续表
标准方程 ＋＝1 （a＞b＞0） ＋＝1 （a＞b＞0）
性 质 范围 －a≤x≤a； －b≤y≤b －b≤x≤b； －a≤y≤a
对称 性 对称轴： ； 对称中心：（0，0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
轴 长轴A1A2的长为 ； 短轴B1B2的长为
焦距 ｜F1F2｜＝
离心率 e＝ ，e∈（0，1）
a，b，c的关系 a2＝
1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜OP｜≤a；（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，最大，最大值为bc；
（2）＝｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（）2＝a2；
（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
3.焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长lmin＝.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（ ）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（ ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.（ ）
（4）＋＝1（a＞b＞0）与＋＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（ ）
2.（人A选一P109练习1题改编）设椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（ ）
A.20 B.14
C.2 D.
3.（人A选一P116习题12题改编）若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（ ）
A.3 B.2＋
C.2 D.＋1
4.〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（ ）
A.长轴的长为10
B.短半轴的长为6
C.焦点坐标可以是（0，4）
D.椭圆的标准方程可以是＋＝1
5.已知P是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，则椭圆C的离心率为 .
椭圆的定义及其应用
（师生共研过关）
（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.双曲线
C.抛物线 D.圆
（2）（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
听课记录 解题技法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；
（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.
1.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3｜PF1｜＝4｜PF2｜，则＝（ ）
A.24 B.26 C.22 D.24
2.已知椭圆＋＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（ ）
A.2 B.4 C.7 D.14
椭圆的标准方程
（师生共研过关）
（1）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆C的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋y2＝1 D.＋＝1
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（，1），P2（－，－），则该椭圆的方程为 .
听课记录 解题技法
根据条件求椭圆方程的两种方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；
（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
1.一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2，）是椭圆上一点，且｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数列，则椭圆的方程为（ ）
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2.过点P（3，）且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
椭圆的几何性质
（定向精析突破）
考向1 离心率问题
（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（ ）
A. B. C. D.
（2）（2025·保定一模）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，且在第一象限，PA是∠F1PF2的角平分线，过点F2作PA的垂线，垂足为B，若｜PF2｜＝m，｜OB｜＝b－m，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
听课记录 解题技法
求椭圆离心率的方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（不等式）求解；
（3）利用公式e＝求解.
考向2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
〔多选〕已知椭圆＋＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则（ ）
A.的最大值为4
B.｜PF1｜的取值范围是[4－2，4＋2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.｜PB｜的最大值为2
听课记录 解题技法
与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略
1.（2024·安庆一模）设F是椭圆C：＋＝1的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为（ ）
A.12 B.14 C.16 D.18
2.（2024·青岛一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C的离心率为 .
3.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
第五节 椭圆
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.F1，F2 ｜F1F2｜
2.x轴、y轴 2a 2b 2c b2＋c2
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）√
2.B 3.A 4.ACD 5.－1
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）A （2）B 解析：（1）连接QA（图略） .由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆.故选A.
（2）由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵·＝0，∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋＝＝4c2.∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝＝＝2.故选B.
跟踪训练
1.A 由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2，c＝＝5.由椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝14.又3｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，又｜F1F2｜＝2c＝10，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以PF1⊥PF2，所以＝｜PF1｜｜PF2｜＝×8×6＝24.故选A.
2.C 如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝｜PF2｜，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14，所以｜OM｜＝7，故选C.
考点2
【例2】 （1）A （2）＋＝1
解析：（1）如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2，又离心率为，所以c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.
跟踪训练
1.A 设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）.由点（2，）在椭圆上，可得＋＝1.∵｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数列，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜，即2a＝2·2c，＝.又∵c2＝a2－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.∴椭圆方程为＋＝1.
2.＋＝1 解析：设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），则a2－b2＝9①.又点P（3，）在所求椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1②.由①②得a2＝25，b2＝16，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
考点3
【例3】 （1）A （2）B 解析：（1）法一 由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A.
法二 代入验证，若a＝，则e1＝＝＝，又e2＝，所以e2＝e1，所以a＝符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）如图，延长F2B交PF1于点E，可知｜PF2｜＝｜PE｜＝m，｜EF1｜＝2a－2m，所以｜OB｜＝a－m＝b－m，a＝b，所以e＝＝＝.故选B.
【例4】 AB 依题意知，a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴顶点时，（）max＝×2c×b＝4，故A正确；由椭圆的性质知｜PF1｜的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；对于C，sin∠F2BO＝＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；对于D，设P（x0，y0），所以｜PB｜＝，又＋＝1，所以＝16－4，所以｜PB｜＝＝＝，又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，｜PB｜max＝＝，故D错误.
跟踪训练
1.C 由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知：｜PF｜＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原点，所以｜PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C.
2. 解析：F为AB的中点，故AB与x轴垂直，令x＝c，则＋＝1，y＝±，又OA⊥OB，可得c＝，即a2－ac－c2＝0，解得e＝.
3.解：（1）连接PF1（图略）.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（＋1）c，故C的离心率为e＝＝－1.
（2）由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，且｜y｜·2c＝16，·＝－1，＋＝1，
即c｜y｜＝16， ①
x2＋y2＝c2， ②
＋＝1. ③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝.
又由①知y2＝，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝（c2－b2），
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4.
当b＝4，a≥4时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4，＋∞）.
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第五节 椭圆
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中
的作用.
2. 经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简
单几何性质.
3. 通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.
4. 了解椭圆的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 椭圆的定义
条件 结论1 结论2
平面内的动点M与平面内的两个定
点F1，F2 M点的轨迹为
椭圆 为椭圆的
焦点；
为椭圆
的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
提醒 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则
动点的轨迹不存在.
F1，F2
｜F1F2｜
2. 椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
图形
性 质 范围 －a≤x≤a；－
b≤y≤b －b≤x≤b；－a≤y≤a
对称性 对称轴： ； 对称中心：（0，0）
顶点 A1（－a，0），A2
（a，0）；B1（0，－
b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，
a）；B1（－b，0），B2
（b，0）
x轴、y轴
性 质 轴 长轴A1A2的长为 ；
短轴B1B2的长为
焦距 ｜F1F2｜＝
离心率 e＝ ，e∈（0，1）
a，b，c
的 关系 a2＝
2a
2b
2c
b2＋c2
1. 若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，O为椭圆中心，则（1）b≤｜
OP｜≤a；（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2. 焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2构成的△PF1F2
叫做焦点三角形，如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大，
最大，最大值为bc；
（2） ＝ ｜PF1｜｜PF2｜ sin θ＝b2tan ＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（ ）2＝a2；
（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
3. 焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，
弦长lmin＝ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
（ × ）
（2）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. （ × ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆.
（ √ ）
（4） ＋ ＝1（a＞b＞0）与 ＋ ＝1（a＞b＞0）的焦距相同.
（ √ ）
×
×
√
√
2. （人A选一P109练习1题改编）设椭圆 ＋ ＝1上一点P到焦点F1的
距离等于6，则点P到另一个焦点F2的距离是（ ）
A. 20 B. 14 C. 2 D.
解析： 由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又椭圆 ＋ ＝1
上一点P到焦点F1的距离等于6，即｜PF1｜＝6，且a＝10，所以6＋｜
PF2｜＝20，故｜PF2｜＝14.
√
3. （人A选一P116习题12题改编）若椭圆C： ＋ ＝1，则该椭圆上的
点到焦点距离的最大值为（ ）
A. 3 B. 2＋
C. 2 D. ＋1
解析： 由题意知a＝2，b＝ ，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离
的最大值为a＋c＝3.
√
4. 〔多选〕已知椭圆的焦距是8，离心率等于0.8，则（ ）
A. 长轴的长为10
B. 短半轴的长为6
C. 焦点坐标可以是（0，4）
D. 椭圆的标准方程可以是 ＋ ＝1
√
√
√
解析： 由题意知2c＝8，即c＝4.又e＝ ＝0.8，所以a＝5，2a＝
10，A正确.因为a2－b2＝c2，所以b2＝9，b＝3，B错误.若椭圆的焦点在
x轴上，则椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，D正确.若椭圆的焦点在y轴上，
则一个焦点坐标是（0，4），椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，C正确.
5. 已知P是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆
C的左、右焦点，若∠PF1F2＝60°，∠PF2F1＝30°，则椭圆C的离心率
为 .
解析：由题意知，∠F1PF2＝180°－∠PF1F2－∠PF2F1＝90°，所以｜
PF1｜＝｜F1F2｜ sin 30°＝c，｜PF2｜＝｜F1F2｜ cos 30°＝ c.由｜
PF1｜＋｜PF2｜＝2a得，（ ＋1）c＝2a，所以 ＝ ＝ －1.
－1
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
椭圆的定义及其应用（师生共研过关）
（1）如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是（ A ）
A
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
解析： 连接QA（图略） .由已知得｜QA｜＝｜QP｜，所以｜QO｜＋｜QA｜＝｜QO｜＋｜QP｜＝｜OP｜＝r.又因为点A在圆内，
所以｜OA｜＜｜OP｜，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦
点，r为长轴长的椭圆.故选A.
（2）（2023·全国甲卷文7题）设F1，F2为椭圆C： ＋y2＝1的两个焦
点，点P在C上，若 · ＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
B
解析：由题意，得a2＝5，b2＝1，则c2＝a2－b2＝4.∵ · ＝0，
∴PF1⊥PF2，∴｜PF1｜2＋ ＝ ＝4c2.∵｜PF1｜＋｜
PF2｜＝2a，∴｜PF1｜·｜PF2｜＝ ＝ ＝2.故选B.
解题技法
椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦
点三角形的周长、面积及椭圆的弦长、最值等；
（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、
｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，得到a，c的关系.
1. 已知F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，点P是椭圆上一点，3｜
PF1｜＝4｜PF2｜，则 ＝（ ）
A. 24 B. 26 C. 22 D. 24
解析： 由椭圆方程可得焦点在y轴上，且a＝7，b＝2 ，c＝
＝5.由椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝14.又3｜PF1｜＝
4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，又｜F1F2｜＝2c＝10，所
以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以PF1⊥PF2，所以 ＝
｜PF1｜｜PF2｜＝ ×8×6＝24.故选A.
√
2. 已知椭圆 ＋ ＝1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中
点，O为坐标原点，则｜OM｜＝（ ）
A. 2 B. 4 C. 7 D. 14
解析： 如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，
M分别是F1F2和PF1的中点，所以｜OM｜＝ ｜
PF2｜，由椭圆的方程得a＝10，所以2a＝20，所以｜
PF2｜＝2a－｜PF1｜＝20－6＝14，所以｜OM｜＝7，
故选C.
√
椭圆的标准方程（师生共研过关）
（1）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为 ，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的
周长为8，则椭圆C的方程为（ A ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1
A
解析： 如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2，又离心率为 ，所以c＝1，b2＝3，所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1（ ，
1），P2（－ ，－ ），则该椭圆的方程为 ＋ ＝1 .
解析： 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，且m≠n）.因
为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则
解得 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
解题技法
根据条件求椭圆方程的两种方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆
方程；
（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点
在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，
n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.
1. 一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P（2， ）是椭圆上
一点，且｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数列，则椭圆的方程为
（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
√
解析： 设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.由点（2， ）
在椭圆上，可得 ＋ ＝1.∵｜PF1｜，｜F1F2｜，｜PF2｜成等差数
列，∴｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜，即2a＝2·2c， ＝ .又∵c2＝a2
－b2，联立解得a2＝8，b2＝6.∴椭圆方程为 ＋ ＝1.
2. 过点P（3， ）且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程
为 .
解析：设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则a2－b2＝9
①.又点P（3， ）在所求椭圆上，所以 ＋ ＝1，即 ＋ ＝
1②.由①②得a2＝25，b2＝16，故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
椭圆的几何性质（定向精析突破）
考向1 离心率问题
（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1： ＋y2＝1（a＞1），C2：
＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ e1，则a＝（ A ）
A. B.
C. D.
A
解析： 法一 由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝ e1，
所以 ＝ × ，得a＝ .故选A.
法二 代入验证，若a＝ ，则e1＝ ＝ ＝ ，又e2＝ ，
所以e2＝ e1，所以a＝ 符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）（2025·保定一模）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右
焦点分别为F1，F2，P是C上的点，且在第一象限，PA是∠F1PF2的角平
分线，过点F2作PA的垂线，垂足为B，若｜PF2｜＝m，｜OB｜＝ b
－m，则C的离心率为（ B ）
A. B.
C. D.
B
解析：如图，延长F2B交PF1于点E，可知｜PF2｜
＝｜PE｜＝m，｜EF1｜＝2a－2m，所以｜OB｜
＝a－m＝ b－m，a＝ b，所以e＝ ＝
＝ .故选B.
解题技法
求椭圆离心率的方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（不等式），借助于b2＝a2－c2消去
b，转化为含有e的方程（不等式）求解；
（3）利用公式e＝ 求解.
考向2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
〔多选〕已知椭圆 ＋ ＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，
P为椭圆上任一点，则（ ）
A. 的最大值为4
B. ｜PF1｜的取值范围是[4－2 ，4＋2 ]
C. 不存在点P使PF1⊥PF2
D. ｜PB｜的最大值为2
√
√
解析： 依题意知，a＝4，b＝2，c＝2 ，当P为短轴顶点时，
（ ）max＝ ×2c×b＝4 ，故A正确；由椭圆的性质知｜PF1｜
的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2 ，4＋2 ]，故B正确；对于
C， sin ∠F2BO＝ ＝ ，所以∠F2BO＝ ，所以∠F1BF2＝ ，即
∠F1PF2的最大值为 ，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错
误；
对于D，设P（x0，y0），所以｜PB｜＝ ，又 ＋ ＝
1，所以 ＝16－4 ，所以｜PB｜＝ ＝
＝ ，又－2≤y0≤2，故当y0＝－
时，｜PB｜max＝ ＝ ，故D错误.
解题技法
与椭圆性质有关的最值（范围）问题的求解策略
1. （2024·安庆一模）设F是椭圆C： ＋ ＝1的一个焦点，过椭圆C中
心的直线交椭圆于P，Q两点，则△PQF的周长的最小值为（ ）
A. 12 B. 14
C. 16 D. 18
√
解析： 由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一
个焦点为F1，则四边形PFQF1为平行四边形，由椭圆定义可知：｜PF｜
＋｜PF1｜＋｜QF｜＋｜QF1｜＝4a＝20，又｜PF｜＝｜QF1｜，｜
PF1｜＝｜QF｜，所以｜PF｜＋｜QF｜＝10，又PQ过原点，所以｜
PQ｜min＝2b＝6，所以△PQF的周长的最小值为10＋6＝16.故选C.
2. （2024·青岛一模）已知O为坐标原点，点F为椭圆C： ＋ ＝1（a
＞b＞0）的右焦点，点A，B在C上，AB的中点为F，OA⊥OB，则C
的离心率为 .
解析：F为AB的中点，故AB与x轴垂直，令x＝c，则 ＋ ＝1，y＝
± ，又OA⊥OB，可得c＝ ，即a2－ac－c2＝0，解得e＝ .
3. 已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上
的点，O为坐标原点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
解： 连接PF1（图略）.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中，
∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝ c，于是2a＝｜PF1｜＋｜
PF2｜＝（ ＋1）c，故C的离心率为e＝ ＝ －1.
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值
和a的取值范围.
解： 由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，且 ｜y｜·2c＝
16， · ＝－1， ＋ ＝1，
即c｜y｜＝16， ①
x2＋y2＝c2， ②
＋ ＝1. ③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝ .
又由①知y2＝ ，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝ （c2－b2），
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4 .
当b＝4，a≥4 时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[4 ，＋∞）.
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
20
22
23
24
25
1. （2025·江南十校联考）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴
长为2 的椭圆方程是（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
√
解析： 椭圆9x2＋4y2＝36化成标准方程为 ＋ ＝1，焦点在y轴
上，设所求椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），依题意有
所以a2＝25，b2＝20，所求椭圆方程为 ＋
＝1.
2. 椭圆 ＋ ＝1的焦距为4，则m＝（ ）
A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 12
解析： 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝
4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）
＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
√
3. 已知椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则椭圆上任意一点P到椭圆中心
O的距离的取值范围是（ ）
A. [4，5] B. [6，8]
C. [6，10] D. [8，10]
解析： 不妨设椭圆的焦点在x轴上，则该椭圆的标准方程为 ＋ ＝
1.设点P（x，y），则－5≤x≤5，且有y2＝16－ x2.所以｜OP｜＝
＝ ∈[4，5]，故选A.
√
4. 已知F是椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左焦点，经过原点O的直
线l与椭圆E交于P，Q两点，若｜PF｜＝3｜QF｜，且∠PFQ＝
120°，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
√
解析： 如图所示，由椭圆的对称性可知，｜PF｜
＋｜QF｜＝2a，由于｜PF｜＝3｜QF｜，则｜QF｜
＝ a，｜PF｜＝ a，由∠PFQ＝120°，得｜PQ｜
＝ a，在△FQP与△FQO中利用同角余弦值相等，
则 ＝ ，解得c＝ a，则e＝ ＝ .
5. 〔多选〕若椭圆C： ＋ ＝1（b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
则能使以F1F2为直径的圆与椭圆C有公共点的b的值为（ ）
A. B.
C. 2 D.
解析： 以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝c2.因为圆x2＋y2＝c2与
椭圆C有公共点，所以c2≥b2，即9－b2≥b2，所以b2≤ ，即0＜
b≤ ，故 ， ，2满足条件，故选A、B、C.
√
√
√
6. 〔多选〕（2025·沈阳质量监测）设椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分
别为F1，F2，P是C上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. ｜PF1｜的最大值为8
B. 椭圆C的离心率e＝
C. △PF1F2面积的最大值等于12
D. 以线段F1F2为直径的圆与圆（x－4）2＋（y－3）2＝4相切
√
√
√
解析： 椭圆C： ＋ ＝1的长半轴长a＝5，短半轴长b＝4，则半
焦距c＝ ＝3.对于A，｜PF1｜的最大值为a＋c＝8，A正确；对
于B，椭圆C的离心率e＝ ＝ ，B错误；对于C，设点P（x0，y0），
则｜y0｜max＝4，而｜F1F2｜＝2c＝6，因此△PF1F2面积的最大值等于
×6×4＝12，C正确；对于D，以线段F1F2为直径的圆为x2＋y2＝9，圆心
O（0，0），半径r1＝3，圆（x－4）2＋（y－3）2＝4的圆心C（4，
3），半径r2＝2，｜OC｜＝5＝r1＋r2，则圆O与圆C外切，D正确.故选
A、C、D.
7. 若椭圆 ＋ ＝1（m＞0）的离心率为 ，则该椭圆的长轴长为
.
解析：由椭圆 ＋ ＝1的离心率为 ，当m＞2时，椭圆焦点在x轴上，
＝ ＝ ，解得m＝4，所以椭圆的长轴长为4；当0＜m＜2时，椭圆
焦点在y轴上， ＝ ＝ ，得m＝1，所以椭圆的长轴长为2 .
4或
2
8. 设F1，F2分别是椭圆E：x2＋ ＝1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点
F1的直线交椭圆E于A，B两点.若｜AF1｜＝3｜F1B｜，AF2⊥x轴，则
椭圆E的方程为 .
x2＋ y2＝1
解析：如图所示，设F1（－c，0），F2（c，0），其中c＝ ，则
可设A（c，b2），B（x0，y0）.由｜AF1｜＝3｜F1B｜，可得 ＝
3 ，故
即 代入椭圆方程，可得 ＋ b2＝1，解得b2＝ ，
故椭圆方程为x2＋ ＝1.
9. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，
0），左顶点为A，点E的坐标为（0，c），A到直线EF2的距离为 b.
（1）求椭圆C的离心率；
解： 由题意得，A（－a，0），EF2：x＋y＝c，
因为A到直线EF2的距离为 b，即 ＝ b，
所以a＋c＝ b，即（a＋c）2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以（a＋c）2＝3（a2－c2），所以2c2＋ac－a2＝0，
因为离心率e＝ ，所以2e2＋e－1＝0，解得e＝ 或e＝－1（舍），
所以椭圆C的离心率为 .
（2）若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，求
椭圆C的方程.
解： 由（1）知离心率e＝ ＝ ，即a＝2c， ①
因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为 ，
则 ｜PF1｜｜PF2｜ sin 60°＝ ，
所以｜PF1｜｜PF2｜＝4，
又
所以a2－c2＝3， ②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，
所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
10. 椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，
且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为 ，则C的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
√
解析： 法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A
（－a，0），所以kAP·kAQ＝ · ＝ ＝ （*）.因为点P
在椭圆C上，所以 ＋ ＝1，得n2＝ （a2－m2），代入（*）式，得
＝ ，结合b2＝a2－c2，得3a2＝4c2，所以e＝ ＝ .故选A.
法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ
＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－ ＝e2－1，所以e＝ .故选A.
11. 已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C
上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
√
解析： 因为椭圆为 ＋ ＝1，所以a＝5，b＝3，
c＝ ＝4.当△MF1F2的面积最大时，点M为
椭圆C的短轴顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，
点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则
｜MF1｜＝｜MF2｜＝a＝5，｜F1F2｜＝2c＝8，｜OM｜＝b＝3， ＝ （｜MF1｜＋｜MF2｜＋｜F1F2｜）·r＝ ｜F1F2｜·｜OM｜，所以r＝ ，故选D.
12. 〔多选〕如图所示，一个底面半径为 的圆柱被与其底面成45°角的
平面所截，截面是一个椭圆，则（ ）
A. 椭圆的长轴长为4
B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的方程可以为 ＋ ＝1
D. 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－
√
√
√
解析： 圆柱的底面半径是 ，直径是2 ，所以椭圆的长轴长2a
＝ ＝4，a＝2，短轴长2b＝2 ，b＝ ，则c＝ ＝
，离心率e＝ ＝ ，以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为
x轴，y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为 ＋ ＝1，椭圆上的
点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－ .故选A、C、D.
13. （2024·临沂二模）椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为
F1，F2，P为椭圆上第一象限内的一点，且PF1⊥PF2，PF1与y轴相交于
点Q，离心率e＝ ，若 ＝λ ，则λ＝ .
解析：设｜ ｜＝m，｜ ｜＝n，则有m2＋n2＝
4c2，m＋n＝2a＝2× c＝ c，则（m＋n）2＝
m2＋n2＋2mn＝ c2，即2mn＝ c2－4c2＝ c2，
则（m－n）2＝m2＋n2－2mn＝4c2－ c2＝ c2，即m－n＝ c，即m＝ ＝ c，n＝ ＝ c，则｜ ｜＝λ｜ ｜＝λm＝ λc，由｜ ｜＝｜ ｜，则有（ λc）2＝（ c－ λc）2＋（ c）2，整理得8λ＝5，即λ＝ .
14. 已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1（b＞0）的左、右焦点，过点F1的
直线与C交于A，B两点，且｜AF2｜∶｜AB｜∶｜BF2｜＝3∶4∶5.
（1）求C的离心率；
解： 由 ＋ ＝1（b＞0）得a2＝4，则a＝2.
设｜AF2｜＝3m，｜AB｜＝4m，｜BF2｜＝5m，
由勾股定理知∠BAF2＝ .
由｜AF2｜＋｜AB｜＋｜BF2｜＝4a＝8可知m＝ ，所以｜AF2｜＝2.
所以｜AF1｜＝2a－｜AF2｜＝4－2＝2，所以△AF1F2为等腰直角三角形，
所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b＝c＝ ，
所以椭圆的离心率为e＝ ＝ .
（2）设M，N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M，N重
合），证明：∠MPN≤∠MAN.
解： 证明：由（1）可得椭圆方程为 ＋ ＝1，
则M（－2，0），N（2，0）.
由椭圆的对称性可设A（0， ），P（x0，y0），y0∈（0， ]，
α＝∠PMN，β＝∠PNM，
则tan α＝ ，tan β＝ ， ＋ ＝1，
所以tan α·tan β＝ · ＝ ＝ ＝ ，
tan α＋tan β＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ，
所以tan（α＋β）＝ ＝ ，
所以当y0＝ 时，tan（α＋β）取得最小值2 ，
由（1）知∠BAF2＝ ，所以（α＋β）∈（0， ），
所以当点P与点A重合时，α＋β取得最小值，此时∠MPN＝π－（α＋
β）取得最大值，所以∠MPN≤∠MAN.
15. （新定义）若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如
图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1： ＋ ＝1，A1，A2分别为
椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭
圆”.
（1）求椭圆C2的方程；
解： 椭圆C1： ＋ ＝1的离心率为e＝ ＝
＝ ，
设椭圆C2的方程为 ＋ ＝1（a'＞b'＞0），且b'＝
，因为两个椭圆为“相似椭圆”，所以e＝ ＝ ，解得a'2＝12，
所以椭圆C2的方程为 ＋ ＝1.
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为
Q，线段PQ交椭圆C1于点H. 求证：A1H⊥PA2.
解： 证明：不妨设P（m，n），其中n＞0，则
＋ ＝1，可得m2＝6－ ，
把x＝m代入椭圆C1： ＋ ＝1，可得y＝ ，
所以H（m， ），
所以 ＝ ， ＝ ，
所以 · ＝ · ＝ ＝ ＝－1.
所以A1H⊥PA2.
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