第24章　解直角三角形 质量评估 （含简单答案）初中数学华东师大版九年级上册

第24章　解直角三角形 质量评估
第Ⅰ卷(选择题　共40分)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分)
1.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝10米，∠A＝30°，则立柱BC的长度是(　　　　)
A.5米 B.8米 C.10米 D.20米
2.下列各数：、π、、cos60°、0、中，无理数的个数是(　　　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为(　　　　)
A. B. C. D.
4.如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为(　　　　)
A.4cosα米 B.4sinα米 C.4tanα米 D.米
5.[2024·长春]2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.如图，当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为(　　　　)
A.asinθ千米 B.千米
C.acosθ千米 D.千米
6.如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C＝，则sin B的值为(　　　　)
A. B. C. D.
7.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，则CH的长是(　　　　)
A.2.5 B. C. D.2
8.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，已知AB＝m，∠BAC＝α.则下列结论错误的是(　　　　)
A.∠BDC＝α B.BC＝ mtan α
C.AO＝ D.BD＝
9.如图，有一天桥的高AB为5米，BC是通向天桥顶的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据：≈1.414，≈1.732)(　　　　)
A.1.59米 B.2.07米 C.3.55米 D.3.66米
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F.若tan∠CAE＝，AE＝26，则CD的长为(　　　　)
A.39 B.8 C.6 D.19.5
第Ⅱ卷(非选择题　共110分)
二、填空题(共6小题，每小题4分，共24分)
11.已知∠A＋∠B＝90°，若sinA＝，则cosB＝　　.
12.[2024·哈尔滨]已知△ABC是直角三角形，AB＝2，∠ABC＝30°，则AC的长为　　　　.
13.在△ABC中，如果∠A、∠B满足＋＝0，那么∠C＝　　　　°.
14.[2024·绥化]如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°，测得底部点B的俯角为45°，点A与楼BC的水平距离AD＝50米，则这栋楼的高度为　　　　米.(结果保留根号)
15.[2024·福建]无动力帆船是借助风力前行的.如图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N.根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2又可以分解为两个力f1与f2，f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F＝AD＝400，则f2＝CD＝　　　　.(单位：N；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77)
16.在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α＋β)＝　　.
三、解答题(共8小题，共86分)
17.(10分)计算：
(1)()－1＋｜1－｜－2sin60°＋(π－2025)0－；
(2)sin260°＋cos260°－tan45°.
　　18.(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝BC＝5，sin∠ABD＝，过点A作AD⊥BC于点D.
(1)求BD的长；
(2)若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值.
　　19.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE＝AB.
(1)若AE＝1，求△ABD的周长；
(2)若AD＝BD，求tan∠ABC的值.
　　20.(10分)[2024·泸州]如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的点A测得小岛C位于东北方向上，该渔船自西向东航行一段时间后到达点B，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达点D，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上.已知A、C相距30海里，求C、D间的距离.(结果保留根号)
　　21.(10分)[2024·临汾一模]如图，某摄影爱好者在水平地面上点A处测得无人机位置点D的仰角为53°；当摄影爱好者迎着坡度为1∶1.875的斜坡从点A走到点B时，无人机的位置恰好从点D水平飞到点C，此时，摄影爱好者在点B处测得点C的仰角为45°.已知AB＝3.4米，CD＝5米，摄影爱好者让无人机沿与水平面平行的方向飞行，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内.求无人机距水平地面的高度.(测角仪的高度忽略不计；参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
22.(10分)【问题提出】
某小区居民楼窗户朝南，窗户高度为2米，一年中正午时刻太阳光线与地平面最小夹角为28.5°，最大夹角为75.5°.某居民想为窗户设计遮阳棚，要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.请帮该居民完成设计.
【问题探究】
下面是某学习小组的设计：
第一步：拍照，模拟设计遮阳棚需要遮挡的光线，如图1.
第二步：抽象数学模型，设计示意图，分析已知条件和要求的数据.如图2，AB代表窗户的高度，CD代表遮阳棚的宽，AC⊥CD，AN∥BP∥CD，DA为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最大夹角时的光线，DB为一年中正午时刻太阳光线与地平面产生最小夹角时的光线.
【问题解决】
请求出此居民楼需要设计的遮阳棚的宽CD.
(结果精确到0.1米；参考数据：sin28.5°≈0.48，tan28.5°≈0.54，sin75.5°≈0.97，tan75.5°≈3.87)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
23.(12分)图1是我国古代提水的器具桔槔，有大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上.大竹竿末端悬挂一个重物，前端连结小竹竿(小竹竿始终与地面垂直)，小竹竿上悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井.当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.如图2是桔槔的示意图，大竹竿AB＝6米，O为AB的中点，OD垂直于地面EF.
(1)当水桶在井里时，∠AOD＝120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离；
(2)如图3，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC至A1C1的位置，此时∠A1OD＝143°，求点A上升的高度.(结果精确到0.1米；参考数据：≈1.73，sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　24.(14分)小华将一张纸对折后做成的纸飞机，如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图2，已知AD＝BE＝10 厘米，CD＝CE＝5 厘米，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.
(1)连结DE，求线段DE的长；
(2)求点A、B之间的距离.
(结果精确到0.1 厘米；参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
参考答案
1.A　2.B　3.C　4.A　5.A　6.D
7.B　8.C　9.D　10.D　11.　12.2或　13.105　14.(50＋50)　15.128　16.
17.(1)3－2　(2)0
18.(1)BD＝3　(2)tan∠EBC＝
19.(1)△ABD的周长为1.
(2)tan∠ABC＝
20.C、D间的距离为20海里
21.无人机距水平地面的高度约为14.4米.
22.此居民楼需要设计遮阳棚的宽度约为0.6米.
23.(1)此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6米.
(2)点A上升的高度约为0.9米.
24.(1)DE＝3.4厘米
(2)AB＝22.2厘米
。