第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
3.二次根式的除法
1.二次根式的除法
法 则：两个算术平方根的商，等于 .
公 式：＝ .
注 意：(1)法则成立的条件： ；
(2)二次根式相除，结果要化简.
2.商的算术平方根
法 则：商的算术平方根等于 .
公 式：＝ .
注 意：(1)法则成立的条件： ；
(2)商的算术平方根，结果要化简.
3.最简二次根式
定 义：被开方数中 ，并且被开方数中所有因数(或因式)的幂的指数 ，像这样的二次根式称为最简二次根式.
类型之一 利用二次根式的除法法则计算
计算：
(1)÷；
(2)；
(3)÷；
(4)(a＞0).
类型之二 商的算术平方根
计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
类型之三 最简二次根式
下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？并对不是最简二次根式的进行化简.
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5).
1.下列计算中，正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.÷＝ D.÷＝3
2.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
3.计算：
(1)÷＝ ；
(2)＝ .
1.[2024·眉山期末]计算÷□＝，则□中的数是( )
A.4 B. C.2 D.
2.等式＝成立的条件是( )
A.x＞－2 B.x＜9
C.－2≤x＜9 D.－2≤x≤9
3.计算：
(1)＝ ；
(2)÷＝ ；
(3)×÷3＝ ；
(4)－÷(3×)＝ .
4.把下列二次根式化简为最简二次根式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
5.[2024·内江资中县期中]已知＝a，＝b，则用a、b表示为( )
A. B. C. D.
6.计算：
(1)[2024·密云区期末]2×3÷；
(2)[2024·高安市期中]3÷2×.
7.(模型观念)[2024春·山西太原月考]在学完“二次根式的乘除”后，数学老师给同学们留下这样一道思考题：已知x＋y＝－6，xy＝4，求＋的值.
小刚是这样解的：
＋＝＋＝＋＝，
把x＋y＝－6，xy＝4代入，得＝＝－3.
显然，这个解法是错误的，请你写出正确的解题过程.
参考答案
【预习导航】
1.把被开方数相除的商的算术平方根 (a≥0，b＞0) a≥0，b＞0
2.算术平方根的商 (a≥0，b＞0) a≥0，b＞0
3.不含分母 都小于2
【归类探究】
【例1】(1)2 (2)4 (3) (4)2a
【例2】(1) (2) (3) (4)
【例3】(3)是最简二次根式，(1)(2)(4)(5)不是最简二次根式.化简如下：
(1)＝3 (2)＝
(4)＝＝
(5)＝＝
【当堂测评】
1.D 2.B 3.(1)3 (2)
【分层训练】
1.C 2.C
3.(1)2 (2) (3) (4)－
4.(1)4 (2) (3) (4)
5.D 6.(1)6 (2) 7.3
。
第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
2.积的算术平方根
积的算术平方根
性 质：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
公 式：＝ .
注 意：(1)法则成立的条件是a≥0，b≥0；
(2)积的算术平方根的结果应尽量化简.
类型之一 积的算术平方根
化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
类型之二 二次根式的乘法与积的算术平方根的综合
计算：
(1)×；
(2)－5××3；
(3)·(－).
类型之三 把二次根式根号外的因式移到根号内
把b中根号外的因式移到根号内的结果是( )
A. B.－ C. D.－
1.化简的结果是( )
A.2 B.3 C.2 D.2
2.下列运算中，正确的是( )
A.＝×
B.＝－×
C.＝×
D.＝
3.将化简的结果是( )
A.10 B.±10
C.5 D.±5
4.计算×的结果是( )
A.6 B. C.4 D.2
5.化简：
(1)＝ ；
(2)＝ .
6.计算：
(1)[2024·太原二模]×＝ ；
(2)[2024·山西模拟]×3＝ .
1.计算×的结果是( )
A.6 B.6 C.6 D.6
2.如果＝·，那么( )
A.x≥0 B.x≥6
C.0≤x≤6 D.x为一切实数
3.[2024春·山西云冈月考]已知a＝，b＝，用含a、b的代数式表示，这个代数式是( )
A.a＋b B.ab C.2a D.2b
4.计算：
(1)×＝ ；
(2)×＝ .
5.计算：
(1)－×；
(2)××；
(3)×2×(－).
6.把二次根式(x－1)中根号外的因式移到根号内，结果是( )
A. B.－ C.－ D.
7.已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是( )
A.－a B.－a C.a D.a
8.如图是工人师傅做的一块三角形铁板，边BC的长为2cm，边BC上的高AD为cm，求该三角形铁板的面积.
9.(创新意识)[2024春·山西期中]先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号内的因数2经过适当的变形，2竟然“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，例如，＝3，＝4等等.
(1)①请你写一个具有“穿墙”现象的数；
②按此规律，若＝a(a、b为正整数)，则a＋b的值为 .
(2)你能只用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律.
参考答案
【预习导航】
·(a≥0，b≥0)
【归类探究】
【例1】(1)77 (2)10 (3)2
(4)10a2b2｜c｜
【例2】(1)30 (2)－5 (3)－
【例3】B
【当堂测评】
1.A 2.C 3.A 4.D
5.(1)4 (2)6a2b2
6.(1)2 (2)6
【分层训练】
1.D 2.B 3.B
4.(1)2b (2)3a
5.(1)－24 (2)2 (3)－4
6.B 7.A 8.14cm2
9.(1)①＝5 ②71
(2)结论：＝n.
理由：＝＝n.
。第21章 二次根式
21.2 二次根式的乘除
1.二次根式的乘法
二次根式的乘法
法 则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的 ，用式子表示为·＝ (a≥0，b≥0).
注 意：上述法则成立的条件是 ，法则可推广到多个二次根式相乘的情形，二次根式相乘的结果应尽量化简.
类型之一 利用二次根式的乘法法则计算
计算：
(1)×；
(2)2×3×；
(3)×；
(4)2·；
(5)3a·(－)(a≥0，b≥0).
类型之二 二次根式乘法的应用
小静设计了一幅矩形图片，已知矩形的长为 cm，宽为 cm，她又想设计一幅和矩形面积相等的圆形图片，请你帮助小静求出圆的半径.
【点悟】 本题使用了矩形、圆的面积公式，利用的等量关系是两个图形的面积相等.在求圆的半径时，根据实际情况中圆的半径大于零，故只取正值.
1.[2023·衡阳]对于二次根式的乘法运算，一般地，有·＝.该运算法则成立的条件是( )
A.a＞0，b＞0 B.a＜0，b＜0
C.a≤0，b≤0 D.a≥0，b≥0
2.[2024·湖南]计算×的结果是( )
A.2 B. 7 C.14 D.
3.下列计算中，错误的是( )
A.×＝ B.(－3)×(－4)＝48
C.－5×3＝－15 D.2×3＝5
4.计算：
(1)×＝ ；
(2)·＝ .
5.[2024·内江月考]计算：
(1)×；
(2)×.
1.下列各数中，与的积为有理数的是( )
A. B.3
C.2 D.2－
2.从、－、－这三个实数中任选两数相乘，所得的积中小于2的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.计算：
(1)×；
(2)×；
(3)××；
(4)4·；
(5)6×(－3)；
(6)·(a＞0，b≥0).
4.(1)一个正方形的边长为2，求这个正方形的面积；
(2)一个圆的半径为4，求这个圆的面积(结果保留π)；
(3)一个三角形的一边长为2，该边上的高为3，求这个三角形的面积.
5.一个三角形的三边长分别为、、，试判断该三角形的形状，并求出它的面积.
6.(模型观念)(1)用“＞”“＜”或“＝”填空：
4＋3 2；
1＋ 2；
5＋5 2.
(2)由(1)中各式猜想m＋n与2(m≥0，n≥0)的大小关系，并说明理由.
(3)请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行改造，计划在该区域用篱笆围成一个矩形的花圃.如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m2的花圃，至少需要用篱笆 m.
参考答案
【预习导航】
积的算术平方根 a≥0，b≥0
【归类探究】
【例1】(1)6 (2)120 (3)3 (4)20a
(5)－12a2b
【例2】所求圆的半径为 cm.
【当堂测评】
1.D 2.D 3.D 4.(1)3 (2)4a
5.(1) (2)3
【分层训练】
1.C 2.C
3.(1)14 (2) (3)25 (4)4
(5)－72 (6)b
4.(1)20 (2)80π (3)3
5.该三角形是直角三角形，它的面积为18.
6.(1)＞ ＞ ＝
(2)m＋n≥2(m≥0，n≥0).理由略.
(3)40
。
