解析几何中减少运算量的常见技巧
直线方程的正设与反设
常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和圆相切亦是如此.
如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（0，）作直线l与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点.
反思感悟
题干为求证A为线段BM的中点，设出M，N两点的坐标，表示坐标关系，化简可得＋＝2，即证该式成立，该式和y关系紧密，故采用反设法计算量会更小.
关联设元法
关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法常见的一般类型：
（1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－（注意讨论特殊情况，下同）；
（2）关于x轴或者y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互补）；
（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量少，形式尽量一致；
（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.
已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（2，）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若kAC·kBD＝－.
①求·的最值；
②求证：四边形ABCD的面积为定值.
反思感悟
本题设kAC＝k，则kBD＝－，不必再设直线BD的斜率.另外，计算B点的横坐标时，用－代替k，代入｜x1｜＝，得｜x2｜＝，不必再解方程组.
非对称化处理
形式不对称：例如＋，（x1＋1）（x2＋1），＝，，，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？
（1）配凑：如＋＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2－4x1x2，（＋）2＝x1＋x2＋2，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2＋x1＋x2＋1；
（2）曲线代换：若两点均在曲线＋y2＝1和直线y＝kx－上，那么形如的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到＋＝1 ＝9－9 ＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可以得到；
若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立可以得到y2－4ty－4＝0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更简单，则x1x2＝·＝1；
（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非对称式转化为对称式处理.
已知椭圆x2＋＝1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y＝kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点.
（1）若＝，求直线l的方程；
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.
反思感悟
本题采用了曲线代换，将＝2平方后即可利用曲线代换.
已知椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）.直线l：y＝x＋m与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若＝3，求实数m的值.
反思感悟
本题利用消元法，解方程组完成.
高考还可以这样考
1.在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的方程为 .
2.若椭圆E1：＋＝1和（a1＞b1＞0）椭圆E2：＋＝1（a2＞b2＞0），满足＝＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比.
（1）求经过点（2，），且与椭圆＋＝1相似的椭圆方程；
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中点A在线段OB上），求｜OA｜·｜OB｜的取值范围.
3.如图，在平面直角坐标系Oxy中，焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率.过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；
（3）记直线l与y轴的交点为P，若＝，求直线l的斜率k.
考教衔接 解析几何中减少运算量的常见技巧
技巧1
【例1】 证明：设M（，y1），N（，y2）.
直线OP的方程为y＝x，由得x＝y＝，即A（，）.
直线ON的方程为y＝x，由得y＝，所以B（，）.
要证A为线段BM的中点，只需证＋y1＝2，即＋＝2.
设直线l的方程为x＝t（y－）（t≠0），
联立得y2－ty＋t＝0.
当Δ＝t2－2t＞0时，有
所以＋＝＝2成立.
所以A为线段BM的中点.
技巧2
【例2】 解：（1）解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.
（2）①设点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1x2＞0，kAC＝k，
因为kAC·kBD＝－＝－，所以kBD＝－，可得直线AC，BD的方程分别为y＝kx，y＝－x.联立
解得｜x1｜＝，｜x2｜＝，
所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1·（－·x2）＝x1x2＝＝≤2，当且仅当｜k｜＝时取等号.
可知当x1x2＞0时，·有最大值2；当x1x2＜0时，·有最小值－2.
②证明：不妨设点A在第四象限，点B在第一象限，则A（，），B（，），
S四边形ABCD＝4S△OAB＝2｜OA｜·｜OB｜·sin ∠AOB＝
2＝
2＝2｜x1y2－x2y1｜＝2｜·－·｜＝2｜｜＝8.
同理证得其他情况，S四边形ABCD＝8.
故四边形ABCD的面积为定值.
技巧3
【例3】 解：（1）设C（x1，y1），D（x2，y2），
由得（4＋k2）x2＋2kx－3＝0，
Δ＝4k2＋12（4＋k2）＝16k2＋48＞0，
x1＋x2＝，x1x2＝，
由已知得E（－，0），F（0，1），
又＝，所以（－－x1，－y1）＝（x2，y2－1），
所以－－x1＝x2，即x2＋x1＝－，
所以＝－，解得k＝±2，符合题意，
所以所求直线l的方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.
（2）由k1＝，k2＝，k1∶k2＝2∶1，
所以＝，平方得＝4，
又＋＝1，所以＝4（1－），
同理＝4（1－），
代入上式，计算得＝4，
即3x1x2＋5（x1＋x2）＋3＝0，所以3k2－10k＋3＝0，解得k＝3或k＝，
因为＝，x1，x2∈（－1，1），所以y1，y2异号，故舍去k＝，所以k＝3.
【例4】 解：（1）因为离心率e＝＝，且E过点（，），即＋＝1，所以联立方程，解得a2＝4，b2＝1，故所求椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，m），联立方程组整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
又因为＝3，所以（－x1，m－y1）＝3（x2，y2－m），
即x1＝－3x2，与x1＋x2＝－m联立，解得x2＝m，x1＝－m，
代入x1x2＝，解得m2＝，m＝±，
验证当m＝±时，Δ＞0成立，符合题意，故所求m＝±.
高考还可以这样考
1.y＝x－ 解析：设直线MN：x＝my＋1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立消去x，得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4，又｜MF｜＝3｜NF｜，则y1＝－3y2，∴y1＋y2＝－2y2＝4m，y1·y2＝－3＝－4，则m2＝，又由题意m＞0，∴m＝，直线l的方程是y＝x－.
2.解：（1）设相似的椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），则有解得所以所求的椭圆方程为＋＝1.
（2）当射线与y轴重合时，｜OA｜＝，｜OB｜＝2，此时｜OA｜·｜OB｜＝4，
当射线不与y轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.
假定射线的方程为y＝kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立解得
｜OA｜＝，
同理｜OB｜＝，
则｜OA｜·｜OB｜＝＝4＋∈（4，8].
综上｜OA｜·｜OB｜∈[4，8].
3.解：（1）由椭圆过点（b，2e），得＋＝1，
又a2＝8，e2＝＝＝1－，
所以＋＝1，解得b2＝4或b2＝8（舍去），
所以椭圆C的方程为＋＝1.
（2）设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2[x1x2－（x1＋x2）＋1]
＝k2（－＋1）＝，
所以｜AT｜·｜BT｜＝·＝·＝（1＋）｜y1y2｜＝·＝，
由题意设直线MN的方程为y＝kx，
代入椭圆的方程可得x2＋2k2x2＝8，所以x2＝，所以y2＝，
所以｜MN｜2＝4（x2＋y2）＝4·，
所以＝＝，
即的值为.
（3）设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
令x＝0可得yP＝－k，所以P（0，－k），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
＝（－x1，－k－y1），＝（x2－1，y2），
因为＝，所以－x1＝（x2－1），所以x1＋x2＝， ③
综合①②③，得50k4－83k2－34＝0，解得k2＝2，
又k＞0，所以k＝.
所以直线l的斜率k为.
3 / 3(共33张PPT)
考教衔接 解析几何中减少运算量的常见技巧
高中总复习·数学
直线方程的正设与反设
常用的设线方式有以下几种：普通直线情况选用y＝kx＋m和x＝ty＋
m；如果已知直线过某点（x0，y0），那么可以选择y－y0＝k（x－x0）
和x－x0＝t（y－y0）两种方式，需要注意的是，该设法不包含与坐标
轴平行的特殊情况，在书写过程中要注意分类讨论；另外，当直线过
非坐标轴上的定点，例如过点P（3，－5）时，若设y＝k（x－3）－5
的形式，那么联立形式太麻烦，此情况我们可以设直线方程为y＝kx＋
m，联立之后，化简表达式，最终再利用3k＋m＝－5消元即可.直线和
圆相切亦是如此.
如图所示，已知抛物线y2＝x和点P（1，1），过点（0， ）作直线
l与抛物线交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，
ON交于点A，B，其中O为坐标原点.求证：A为线段BM的中点.
证明：设M（ ，y1），N（ ，y2）.
直线OP的方程为y＝x，由 得x＝y＝ ，即A（ ， ）.
直线ON的方程为y＝ x，
由 得y＝ ，
所以B（ ， ）.
要证A为线段BM的中点，只需证 ＋y1＝2 ，即 ＋ ＝2.
设直线l的方程为x＝t（y－ ）（t≠0），
联立 得y2－ty＋ t＝0.
当Δ＝t2－2t＞0时，有 所以 ＋ ＝ ＝2成立.
所以A为线段BM的中点.
反思感悟
题干为求证A为线段BM的中点，设出M，N两点的坐标，表示坐标
关系，化简可得 ＋ ＝2，即证该式成立，该式和y关系紧密，故采用反
设法计算量会更小.
关联设元法
关联设元法是减少运算量的常见方法，关联设元法常见的一般类型：
（1）两条相互垂直的直线，斜率可以设为k与－ （注意讨论特殊情况，
下同）；
（2）关于x轴或者y轴对称的直线，斜率可以设为k与－k（倾斜角互
补）；
（3）在解题的时候，熟记字母最少原则，不管是点还是线，变量尽量
少，形式尽量一致；
（4）熟练使用“同理可得”，同形式的计算，使用轮换对称的方式处理.
已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点（2，
）.
（1）求椭圆的标准方程；
解： 解得
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，若
kAC·kBD＝－ .
①求 · 的最值；
②求证：四边形ABCD的面积为定值.
解：①设点A（x1，y1），B（x2，y2），不妨设x1x2＞0，kAC＝k，
因为kAC·kBD＝－ ＝－ ，
所以kBD＝－ ，
可得直线AC，BD的方程分别为y＝kx，y＝－ x.联立
解得｜x1｜＝ ，｜x2｜＝ ，
所以 · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1·（－ ·x2）＝ x1x2＝ ＝
≤2，当且仅当｜k｜＝ 时取等号.
可知当x1x2＞0时， · 有最大值2；当x1x2＜0时， · 有最小值
－2.
②证明：不妨设点A在第四象限，点B在第一象限，则A（ ，
），
B（ ， ），
S四边形ABCD＝4S△OAB＝2｜OA｜·｜OB｜· sin ∠AOB
＝2
＝2
＝2｜x1y2－x2y1｜
＝2｜ · － · ｜＝2｜ ｜＝8 .
同理证得其他情况，S四边形ABCD＝8 .
故四边形ABCD的面积为定值.
反思感悟
本题设kAC＝k，则kBD＝－ ，不必再设直线BD的斜率.另外，计算
B点的横坐标时，用－ 代替k，代入｜x1｜＝ ，得｜x2｜＝
，不必再解方程组.
非对称化处理
形式不对称：例如 ＋ ，（x1＋1）（x2＋1）， ＝ ， ，
，x1＝3x2，y1＝－2y2的形式如何处理呢？
（1）配凑：如 ＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2，（x1－x2）2＝（x1＋x2）2
－4x1x2，（ ＋ ）2＝x1＋x2＋2 ，（x1＋1）（x2＋1）＝x1x2
＋x1＋x2＋1；
（2）曲线代换：若两点均在曲线 ＋y2＝1和直线y＝kx－ 上，那么形
如 的式子如果用直线替换显然麻烦，注意到 ＋ ＝1 ＝
9－9 ＝9（1－y1）（1＋y1），替换掉原式中含有的（1－y1），可
以得到 ；
若两点均在曲线y2＝4x和直线x＝ty＋1上，联立可以得到y2－4ty－4＝
0，得到y1y2＝－4，显然x1x2的式子使用曲线代换更简单，则x1x2＝ ·
＝1；
（3）解方程组：运用根与系数的关系，由已知可以得到两根x1，x2有一定
的等量关系，这时采用方程组法消去一个根再进行化简，当然也可以由非
对称式转化为对称式处理.
已知椭圆x2＋ ＝1短轴的左右两个端点分别为A，B，直线l：y＝
kx＋1与x轴，y轴分别交于E，F两点，与椭圆交于C，D两点.
（1）若 ＝ ，求直线l的方程；
解： 设C（x1，y1），D（x2，y2），
由 得（4＋k2）x2＋2kx－3＝0，
Δ＝4k2＋12（4＋k2）＝16k2＋48＞0，
x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，
由已知得E（－ ，0），F（0，1），
又 ＝ ，所以（－ －x1，－y1）＝（x2，y2－1），
所以－ －x1＝x2，即x2＋x1＝－ ，
所以 ＝－ ，解得k＝±2，符合题意，
所以所求直线l的方程为2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0.
（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1∶k2＝2∶1，求k的值.
解： 由k1＝ ，k2＝ ，k1∶k2＝2∶1，
所以 ＝ ，平方得 ＝4，
又 ＋ ＝1，所以 ＝4（1－ ），
同理 ＝4（1－ ），代入上式，计算得 ＝4，
即3x1x2＋5（x1＋x2）＋3＝0，所以3k2－10k＋3＝0，解得k＝3或k＝ ，
因为 ＝ ，x1，x2∈（－1，1），所以y1，y2异号，故舍去k＝
，所以k＝3.
反思感悟
本题采用了曲线代换，将 ＝2平方后即可利用曲线代换.
已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点
（ ， ）.直线l：y＝x＋m与y轴交于点P，与椭圆交于M，N两点.
（1）求椭圆E的标准方程；
解： 因为离心率e＝ ＝ ，且E过点（ ， ），即
＋ ＝1，所以联立方程，解得a2＝4，b2＝1，故所求椭圆E的方程为
＋y2＝1.
（2）若 ＝3 ，求实数m的值.
解： 设M（x1，y1），N（x2，y2），P（0，m），联立方程组
整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，
又因为 ＝3 ，所以（－x1，m－y1）＝3（x2，y2－m），
即x1＝－3x2，与x1＋x2＝－ m联立，解得x2＝ m，x1＝－ m，
代入x1x2＝ ，
解得m2＝ ，m＝± ，
验证当m＝± 时，Δ＞0成立，符合题意，故所求m＝± .
反思感悟
本题利用消元法，解方程组完成.
1. 在平面直角坐标系xOy中，过点F（1，0）的直线l与抛物线C：y2＝
4x交于M，N两点（M在第一象限）.若｜MF｜＝3｜NF｜，则直线l的
方程为 .
解析：设直线MN：x＝my＋1，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立 消去x，得y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝
－4，又｜MF｜＝3｜NF｜，则y1＝－3y2，∴y1＋y2＝－2y2＝4m，y1·y2
＝－3 ＝－4，则m2＝ ，又由题意m＞0，∴m＝ ，直线l的方程是y
＝ x－ .
y＝ x－
高考还可以这样考
2. 若椭圆E1： ＋ ＝1（a1＞b1＞0）和椭圆E2： ＋ ＝1（a2＞b2＞
0），满足 ＝ ＝m（m＞0），则这两个椭圆相似，m称为其相似比.
（1）求经过点（2， ），且与椭圆 ＋ ＝1相似的椭圆方程；
解： 设相似的椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则有
解得 所以所求的椭圆方程为 ＋ ＝1.
（2）设过原点的一条射线l分别与（1）中两个椭圆交于A，B两点（其中
点A在线段OB上），求｜OA｜·｜OB｜的取值范围.
解： 当射线与y轴重合时，｜OA｜＝ ，｜OB｜＝2 ，此时｜
OA｜·｜OB｜＝4，
当射线不与y轴重合时，由于对称性，仅考虑第一象限的情形.
假定射线的方程为y＝kx（k≥0，x＞0），设A（x1，y1），B（x2，
y2），联立 解得
｜OA｜＝ ，同理｜OB｜＝ ，
则｜OA｜·｜OB｜＝ ＝4＋ ∈（4，8].
综上｜OA｜·｜OB｜∈[4，8].
3. 如图，在平面直角坐标系Oxy中，焦点在x轴上的椭圆C： ＋ ＝1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率.过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
解： 由椭圆过点（b，2e），得 ＋ ＝1，
又a2＝8，e2＝ ＝ ＝1－ ，
所以 ＋ ＝1，解得b2＝4或b2＝8（舍去），
所以椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
（2）过原点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求
的值；
解： 设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，
y1），B（x2，y2），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，y1y2＝k2[x1x2－（x1＋x2）＋1]
＝k2（ － ＋1）＝ ，
所以｜AT｜·｜BT｜＝ · ＝
＝（1＋ ）｜y1y2｜＝ · ＝ ，
由题意设直线MN的方程为y＝kx，
代入椭圆的方程可得x2＋2k2x2＝8，所以x2＝ ，所以y2＝ ，
所以｜MN｜2＝4（x2＋y2）＝4· ，
所以 ＝ ＝ ，
即 的值为 .
（3）记直线l与y轴的交点为P，若 ＝ ，求直线l的斜率k.
解： 设直线l的方程为y＝k（x－1），A（x1，
y1），B（x2，y2），
令x＝0可得yP＝－k，
所以P（0，－k），
联立直线l与椭圆的方程可得
整理可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－8＝0，
所以x1＋x2＝ ， ①
x1x2＝ ， ②
＝（－x1，－k－y1）， ＝（x2－1，y2），
因为 ＝ ，所以－x1＝ （x2－1），所以x1＋ x2＝ ， ③
综合①②③，得50k4－83k2－34＝0，
解得k2＝2，
又k＞0，所以k＝ .
所以直线l的斜率k为 .
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