第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法(一)
1.直接开平方法
定 义：利用平方根的定义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做 .
数学表达式：若x2＝a(a≥0)，则x＝±.
2.因式分解法
定 义：当一元二次方程的一边为0时，将方程另一边因式分解化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个因式分别等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程就得到原一元二次方程的解.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
数学表达式：若(x－a)(x－b)＝0，则x1＝a，x2＝b.
类型之一 用直接开平方法解一元二次方程
解方程：
(1)x2＝9；
(2)x2－12＝0；
(3)4x2－25＝0.
类型之二 用因式分解法解一元二次方程
解方程：
(1)(x－2)(x＋1)＝0；
(2)x2－5x＝0；
(3)x(x＋2)－3x－6＝0.
1.老师提出了问题：“解方程x2－49＝0.”四位同学给出了以下答案：甲.x＝7；乙.x1＝x2＝7；丙.x1＝x2＝－7；丁.x1＝7，x2＝－7.下列判断正确的是( )
A.甲正确 B.乙正确
C.丙正确 D.丁正确
2.[2024秋·双柏县期中]一元二次方程x2－2＝0的根是( )
A.x＝ B.x＝－
C.x1＝或x2＝－ D.x＝2
3.[2024·贵州]一元二次方程x2－2x＝0的根是( )
A.x1＝3，x2＝1
B.x1＝2，x2＝0
C.x1＝3，x2＝－2
D.x1＝－2，x2＝－1
4.一元二次方程(x－3)(x－2)＝0的根是 .
1.一元二次方程x2－16＝0的根是( )
A.x＝4 B.x＝－4
C.x＝±4 D.x＝±8
2.[2024·内江期末]一元二次方程2x2＝4x的根是( )
A.x1＝x2＝2 B.x1＝x2＝0
C.x1＝－2，x2＝0 D.x1＝2，x2＝0
3.如果x＝－3是一元二次方程ax2＝c的一个根，那么该方程的另一个根是( )
A.x＝3 B.x＝－3
C.x＝0 D.x＝1
4.用直接开平方法解方程：
(1)x2＝5；
(2)x2－5＝.
5.用因式分解法解方程：
(1)x2＋5x＝0；
(2)x(3x－2)－x2＝0.
6.已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为( )
A.0 B.±1 C.1 D.－1
7.[2024春·宜宾期中]若关于x的一元二次方程ax2＝1(a＞0)的两根分别是m＋1与2m－4，则这两根分别是( )
A.1、4 B.1、－1
C.2、－2 D.3、0
8.以与水平线大约成45°角的方向，向斜上方投掷标枪，投掷距离s(单位：m)与标枪出手时的速度v(单位：m/s)之间大致有如下关系：s＝＋2.如果投掷距离为48m，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s).
9.(模型观念)定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.4]＝－2，[－3]＝－3.函数y＝[x]的图象如图所示，则方程[x]＝x2的根为( )
A.0或 B.0或2
C.1或－ D.或－
参考答案
【预习导航】
1.直接开平方法
【归类探究】
【例1】(1)x1＝3，x2＝－3.
(2)x1＝2，x2＝－2.
(3)x1＝，x2＝－.
【例2】(1)x1＝2，x2＝－1.
(2)x1＝0，x2＝5.
(3)x1＝－2，x2＝3.
【当堂测评】
1.D 2.C 3.B 4.x1＝3，x2＝2
【分层训练】
1.C 2.D 3.A
4.(1)x1＝，x2＝－.
(2)x1＝，x2＝－.
5.(1)x1＝0，x2＝－5.
(2)x1＝0，x2＝1.
6.D 7.C
8.标枪出手时的速度约为21.2m/s.
9.A第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第2课时 直接开平方法和因式分解法(二)
1.直接开平方法的进一步运用
模 型：a(x＋b)2＝c(a＞0，c≥0).
步 骤：(1)将方程化为(x＋b)2＝(a＞0，c≥0)的形式；
(2)直接开平方x＋b＝±；
(3)写出原方程的解，即下结论.
2.因式分解法的归纳总结
步 骤：(1)将方程右边各项移到方程左边，使方程右边为 ；
(2)如果有公因式，先提取公因式；
(3)如果符合平方差公式或完全平方公式，则运用公式因式分解.
类型之一 用直接开平方法解形如a(x＋b)2＝c(a＞0，c≥0)的方程
用直接开平方法解一元二次方程：
(1)2(x＋3)2－4＝0；
(2)(x＋1)2＝25；
(3)(3x－4)2＝(3－4x)2.
类型之二 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程：
(1)(3x－4)x－6x＋8＝0；
(2)4t2－(t＋1)2＝0；
(3)(2x＋3)2＝(3x＋2)2.
1.一元二次方程(x＋1)2＝2可以转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程为x＋1＝，则另一个一元一次方程为( )
A.x－1＝ B.x＋1＝2
C.x＋1＝－ D.x＋1＝－2
2.[2024·吉林]下列方程中，有两个相等实数根的是( )
A.(x－2)2＝－1 B.(x－2)2＝0
C.(x－2)2＝1 D.(x－2)2＝2
3.方程x(x＋5)＝x＋5的根是( )
A.x1＝5，x2＝－5
B.x1＝1，x2＝－5
C.x＝0
D.x1＝x2＝－5
1.[2024秋·公主岭市期末]方程(x＋2)2＝3的根是( )
A.x1＝2－，x2＝2＋
B.x1＝－2－，x2＝－2＋
C.x1＝3－，x2＝3＋
D.x1＝－3－，x2＝－3＋
2.方程x2＋2x＋1＝0的根是( )
A.x1＝1，x2＝－1
B.x1＝x2＝1
C.x1＝x2＝－1
D.x1＝－1，x2＝2
3.[2024·鄞州区模拟]方程(x－2)2＝2x(x－2)的根是( )
A.x1＝2，x2＝1
B.x1＝2，x2＝－2
C.x1＝2，x2＝0
D.x1＝2，x2＝－1
4.用直接开平方法解下列方程：
(1)(x＋1)2－4＝0；
(2)(3x＋1)2－9＝0；
(3)100(1－x)2＝64；
(4)4(x＋3)2＝25(x－2)2.
5.用因式分解法解下列方程：
(1)(x－1)2－2(x－1)＝0；
(2)x(x－7)＝8(7－x)；
(3)(3x－1)2－4＝0；
(4)5x(x－3)＝(x－3)(x＋1).
6.[2024·眉山月考]已知关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a、m、b均为常数，a≠0)，那么方程a(2x＋m＋1)2＋b＝0的解是( )
A.x1＝－2，x2＝1
B.x1＝0，x2＝－
C.x1＝－3，x2＝3
D.无法求解
7.[2024·山西模拟]下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务.
解一元二次方程：6x2－2x＝1－3x.
解：原方程可以化为2x(3x－1)＝－(3x－1)，……第一步
两边同时除以(3x－1)，得2x＝－1，……第二步
系数化为1，得x＝－.……第三步
任务：
(1)小明的解法不正确，他从第 步开始出现了错误；
(2)请你用因式分解法解这个方程.
8.[2024秋·乐山月考]已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长的数值是一元二次方程(x－5)2－4＝0的根，试求三角形的周长.
9.(创新意识)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”.例如，x2＝4和(x－2)·(x＋3)＝0有且只有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”.
(1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的是 (填序号).
①(x－1)2＝9；
②x2＋4x＋4＝0；
③(x＋4)(x－2)＝0.
(2)若关于x的一元二次方程x2－2x＝0与x2＋x＋m－1＝0为“同伴方程”，求m的值.
(3)若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)同时满足a－b＋c＝0和9a＋3b＋c＝0，且与(x－n)(x＋3)＝0为“同伴方程”，求n的值.
参考答案
【预习导航】
2.0
【归类探究】
【例1】(1)x1＝－3＋，x2＝－3－.
(2)x1＝－11，x2＝9.
(3)x1＝1，x2＝－1.
【例2】(1)x1＝，x2＝2.
(2)t1＝－，t2＝1.
(3)x1＝－1，x2＝1.
【当堂测评】
1.C 2.B 3.B
【分层训练】
1.B 2.C 3.B
4.(1)x1＝－3，x2＝1.
(2)x1＝－，x2＝.
(3)x1＝，x2＝.
(4)x1＝，x2＝.
5.(1)x1＝1，x2＝3.
(2)x1＝7，x2＝－8.
(3)x1＝－，x2＝1.
(4)x1＝，x2＝3.
6.B
7.(1)二 (2)x1＝－，x2＝.
8.16
9.(1)①② (2)m的值为1或－5.
(3)n的值为－1或3.
。
