离心率的范围问题
借助平面几何图形中的不等关系求离心率的范围
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.
（1）已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（ ）
A.［，1） B.［，］
C.［，1） D.［，1）
（2）已知F1，F2是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，则该双曲线的离心率的取值范围是 .
听课记录
借助题目中给出的不等信息求离心率的范围
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
（1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω：＋＝1（a＞b＞0），且AB，AD斜率之积的范围为（－，－），则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）
A.（，） B.（，）
C.（，） D.（，）
（2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1（b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A.（1，］ B.［，＋∞）
C.［，＋∞） D.（1，］
听课记录
根据椭圆或双曲线自身的性质或基本不等式求离心率的范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆＋＝1（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜PF1｜≤a＋c等.
（1）已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A.［，1） B.（0，］ C.［，1） D.（0，］
（2）已知双曲线E：－＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B.若△MAB为锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（ ）
A.（1，） B.（1，）
C.（，＋∞） D.（，＋∞）
听课记录
1.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A.（0，） B.（，1）
C.（0，） D.（，1）
2.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A.（1，3] B.（1，]
C.[，3] D.[3，＋∞）
3.（2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A.（0，） B.（1，）
C.（0，） D.（1，）
4.（2025·黄山第一次质量检测）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线C的一条渐近线平行的直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C离心率的最大值为（ ）
A. B.
C.2 D.
5.已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，点M是OF的中点，椭圆上有且只有右顶点（a，0）与点M的距离最近，则该椭圆的离心率的取值范围为 .
微突破 离心率的范围问题
类型1
【例1】 （1）C （2）（1，3） 解析：（1）在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C2引两条切线P'A，P'B，若椭圆C1上存在点P，使过P的两条切线互相垂直，则只需∠AP'B≤90°，即α＝∠AP'O≤45°，∴sin α＝≤sin 45°＝，得a2≤2c2，∴e2≥，又0＜e＜1，∴≤e＜1，即e∈［，1）.故选C.
（2）在△PF1F2中，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，由正弦定理＝，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞2c，即3a＞c，所以双曲线的离心率e＝＜3，又e＞1，所以1＜e＜3.
类型2
【例2】 （1）A （2）D 解析：（1）由题意，D，B关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝×＝＝＝－，∴－＝－1∈（－，－），∴∈（，），∴e∈（，），故选A.
（2）∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a①，∴2xy＝4c2－4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2②，由①②得
又tan∠PF2F1＝≥4，即x≥4y，∴＋a≥4（－a），解得≤，∴双曲线C的离心率e＝≤，又e＞1，∴1＜e≤，故选D.
类型3
【例3】 （1）C （2）D 解析：（1）设F为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，AF'，BF'（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边形，又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜cos∠FAF'＝（｜AF｜＋｜AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝3｜AF｜·｜AF'｜≤3（）2，可得（｜AF｜＋｜AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝≥，∴椭圆的离心率e∈［，1），故选C.
（2）如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝k（x＋b）（k＞0），
联立
消y整理得（b2k2－a2）x2＋2b3k2x＋b2（b2k2－a2）＝0，依题意得Δ＝4b6k4－4b2（b2k2－a2）2＝0，所以k2＝.由双曲线的对称性，得0＜k2＝＜1，所以a2＜2（c2－a2），整理得双曲线E的离心率e＝＞，故选D.
跟踪训练
1.B 因为a＞3b，则0＜＜，即＜1－＜1，所以椭圆C的离心率e＝∈（，1），故选B.
2.A 设｜PF2｜＝t，则｜PF1｜＝2a＋t，t≥c－a.又＝＝t＋＋4a≥8a，当且仅当t＝2a时，等号成立.所以c－a≤2a，所以1＜e≤3.故选A.
3.B 因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，又l：x＋y＋1＝0与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，由图知，－＞－1，即＜1，所以离心率e＝＝＝＜＝，又e＞1，所以1＜e＜，故选B.
4.D 如图所示，不妨取渐近线方程为y＝x，又易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝（x＋c），联立直线l与双曲线方程可得M（－，），所以｜F1M｜＝＝＝＝＝；且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝＝＝∈[1，3]，所以e2－1∈［，4］，解得≤e≤；因此双曲线C离心率的最大值为.故选D.
5.（0，］ 解析：由题知点M（，0）.设Q（x，y）是椭圆上的点，x∈[－a，a]，则｜MQ｜＝＝，函数y＝x2－cx＋＋b2的对称轴是直线x＝，定义域是x∈[－a，a]，∴a≤，解得椭圆的离心率e∈（0，］.
2 / 2(共23张PPT)
微突破 离心率的范围问题
高中总复习·数学
借助平面几何图形中的不等关系求离
心率的范围
根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于
或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量
结合曲线的几何性质用a，b，c进行表示，进而得到不等式，从而确定
离心率的范围.
（1）已知椭圆C1： ＋ ＝1（a＞b＞0）与圆C2：x2＋y2＝b2，
若在椭圆C1上存在点P，使得过点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则
椭圆C1的离心率的取值范围是（ C ）
A. ［ ，1） B. ［ ， ］
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
C
解析： 在椭圆C1的长轴端点P'处向圆C2引两条切线P'A，P'B，若
椭圆C1上存在点P，使过P的两条切线互相垂直，则只需
∠AP'B≤90°，即α＝∠AP'O≤45°，∴ sin α＝ ≤ sin 45°＝
，得a2≤2c2，∴e2≥ ，又0＜e＜1，∴ ≤e＜1，即e∈［ ，
1）.故选C.
（2）已知F1，F2是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点
P是双曲线上在第一象限内的一点，且2 sin ∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，则该
双曲线的离心率的取值范围是 .
解析： 在△PF1F2中，2 sin ∠PF1F2＝ sin ∠PF2F1，由正弦定理
＝ ，得｜PF1｜＝2｜PF2｜.又点P是双曲线上在第一象
限内的一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜
＝2a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得4a＋2a＞
2c，即3a＞c，所以双曲线的离心率e＝ ＜3，又e＞1，所以1＜e＜3.
（1，3）
借助题目中给出的不等信息求离心率的
范围
根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使
方程成立，Δ的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.
（1）已知平行四边形ABCD内接于椭圆Ω： ＋ ＝1（a＞b＞
0），且AB，AD斜率之积的范围为（－ ，－ ），则椭圆Ω离心率的取
值范围是（ A ）
A
C. （ ， ） D. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
解析： 由题意，D，B关于原点对称，设D（x0，y0），B（－x0，
－y0），A（x，y），∴kAD·kAB＝ × ＝ ＝
＝－ ，∴－ ＝ －1∈（－ ，－ ），∴ ∈
（ ， ），∴e∈（ ， ），故选A.
（2）已知点F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1（b＞0）的左、右焦
点，O为坐标原点，点P在双曲线右支上，且满足｜F1F2｜＝2｜OP｜，
tan∠PF2F1≥4，则双曲线C的离心率的取值范围是（ D ）
A. （1， ］ B. ［ ，＋∞）
C. ［ ，＋∞） D. （1， ］
D
解析： ∵｜F1F2｜＝2｜OP｜，∴F1P⊥F2P，记｜PF1｜＝x，｜
PF2｜＝y，则x2＋y2＝（2c）2＝4c2.又x－y＝2a①，∴2xy＝4c2－
4a2，∴（x＋y）2＝4c2＋4c2－4a2＝8c2－4a2，∴x＋y＝2
②，由①②得 又tan∠PF2F1＝ ≥4，即x≥4y，
∴ ＋a≥4（ －a），解得 ≤ ，∴双曲线C的离
心率e＝ ≤ ，又e＞1，∴1＜e≤ ，故选D.
根据椭圆或双曲线自身的性质或基本不
等式求离心率的范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆 ＋
＝1（a＞b＞0）中，－a≤x≤a，P是椭圆上任意一点，则a－c≤｜
PF1｜≤a＋c等.
A. ［ ，1） B. （0， ］
C. ［ ，1） D. （0， ］
（1）已知F是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若直线y
＝kx与椭圆相交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值
范围是（ C ）
C
解析： 设F为椭圆的左焦点，F'为椭圆的右焦点，连接AF，BF，
AF'，BF'（图略），由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF'为平行四边
形，又∠AFB＝120°，则∠FAF'＝60°，在△AFF'中，｜FF'｜2＝｜
AF｜2＋｜AF'｜2－2｜AF｜·｜AF'｜ cos ∠FAF'＝（｜AF｜＋｜
AF'｜）2－3｜AF｜·｜AF'｜，∴（｜AF｜＋｜AF'｜）2－｜FF'｜2＝
3｜AF｜·｜AF'｜≤3（ ）2，可得 （｜AF｜＋｜
AF'｜）2≤｜FF'｜2，即a2≤4c2，则e＝ ≥ ，∴椭圆的离心率e∈
［ ，1），故选C.
（2）已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0），过点M（－b，0）的
两条直线l1，l2分别与双曲线E的上支、下支相切于点A，B. 若△MAB为
锐角三角形，则双曲线E的离心率的取值范围为（ D ）
A. （1， ） B. （1， ）
C. （ ，＋∞） D. （ ，＋∞）
D
解析：如图，设过点M（－b，0）的直线l1：y＝k（x
＋b）（k＞0），联立 消y整理得（b2k2
－a2）x2＋2b3k2x＋b2（b2k2－a2）＝0，依题意得Δ＝
4b6k4－4b2（b2k2－a2）2＝0，所以k2＝ .由双曲线的
对称性，得0＜k2＝ ＜1，所以a2＜2（c2－a2），整理得双曲线E的离心率e＝ ＞ ，故选D.
1. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率
的取值范围是（ ）
A. （0， ） B. （ ，1）
C. （0， ） D. （ ，1）
解析： 因为a＞3b，则0＜ ＜ ，即 ＜1－ ＜1，所以椭圆C的离
心率e＝ ∈（ ，1），故选B.
√
2. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为8a，则双曲线的离
心率e的取值范围是（ ）
A. （1，3] B. （1， ]
C. [，3] D. [3，＋∞）
√
解析： 设｜PF2｜＝t，则｜PF1｜＝2a＋t，t≥c－a.又 ＝
＝t＋ ＋4a≥8a，当且仅当t＝2a时，等号成立.所以c－
a≤2a，所以1＜e≤3.故选A.
3. （2024·苏州3月适应性考试）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋
y＋1＝0与双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线都相交且
交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是（ ）
A. （0， ） B. （1， ）
C. （0， ） D. （1， ）
√
解析： 因为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）
的两条渐近线方程为y＝± x，又l：x＋y＋1＝0与
双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，由
图知，－ ＞－1，即 ＜1，所以离心率e＝ ＝ ＝ ＜ ＝ ，又e＞1，所以1＜e＜ ，故选B.
4. （2025·黄山第一次质量检测）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞
0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1与双曲线C的一条渐近线平行的
直线l交C于M，且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，当λ∈[2，4]时，双曲线C
离心率的最大值为（ ）
A. B.
C. 2 D.
√
解析： 如图所示，不妨取渐近线方程为y＝ x，又
易知F1（－c，0），则直线l的方程为y＝ （x＋
c），联立直线l与双曲线方程 可得M
（－ ， ），所以｜F1M｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ；且｜F2M｜＝λ｜F1M｜，由双曲线定义可得｜F2M｜－｜F1M｜＝（λ－1）｜F1M｜＝2a，当λ∈[2，4]时，可得λ－1＝ ＝ ＝ ∈[1，3]，所以e2－1∈［ ，4］，解得 ≤e≤ ；因此双曲线C离心率的最大值为 .故选D.
5. 已知F是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，点M
是OF的中点，椭圆上有且只有右顶点（a，0）与点M的距离最近，则该
椭圆的离心率的取值范围为 .
解析：由题知点M（ ，0）.设Q（x，y）是椭圆上的点，x∈[－a，
a]，则｜MQ｜＝ ＝ ，函数y＝
x2－cx＋ ＋b2的对称轴是直线x＝ ，定义域是x∈[－a，a]，
∴a≤ ，解得椭圆的离心率e∈（0， ］.
（0， ］
THANKS
演示完毕 感谢观看
