第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
2.相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定定理1
相似三角形的判定定理1
定 理：两角 的两个三角形相似.
注 意：在相似三角形的三个简单判定定理中，本定理所需条件较少，所以在今后涉及相似三角形的证明中用得较多，使用时一定要注意对应两角相等.
类型之一 相似三角形的判定定理1
如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B.求证：△ABC∽△ACD.
类型之二 利用相似三角形证明比例式或乘积式
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D.
(1)图中有哪些三角形相似？
(2)求证：AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝AD·BD.
(3)若AD＝2，BD＝8，求AC、BC、CD的长.
(4)若AC＝6，BD＝9，求AD、CD、BC的长.
(5)求证：AC·BC＝AB·CD.
1.已知一个三角形的两个内角分别是40°、60°，另一个三角形的两个内角分别是40°、80°，则这两个三角形( )
A.一定不相似 B.不一定相似
C.一定相似 D.不能确定是否相似
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
3.[2024·青海]如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件： ，使得△AOB∽△COD.
4.[2024·滨州]如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB，则这个条件可以是 .(写出一种情况即可)
5.如图，BE、CD相交于点O，且∠EDO＝∠CBO，则图中有 组相似三角形，它们分别是 .
1.如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，且∠1＝∠2＝∠3.求证：△BCD∽△CDE.
2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC.
3.如图，△ABC、△DEF均为等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明.
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E.
(1)写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
(2)选择(1)中一对三角形加以证明.
5.(推理能力)三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型).解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形从而解决问题.
(1)如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°.求证：AD·BC＝AP·BP.
(2)如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝β时，(1)中的结论是否依然成立？说明理由.
(3)请利用(1)、(2)的结论解决问题：如图3，在△ABC中，AB＝2，∠B＝45°，以点A为直角顶点作等腰直角三角形△ADE，点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且∠EFD＝45°.若CE＝，求CD的长.
参考答案
【预习导航】
分别相等
【归类探究】
【例1】略
【例2】(1)相似的三角形有△ACD和△ABC，△ACD和△CBD，△CDB和△ACB.
(2)略
(3)AC＝2，BC＝4，CD＝4
(4)AD＝3，CD＝3，BC＝6
(5)略
【当堂测评】
1.C 2.C
3.答案不唯一，如∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB∥CD
4.∠ADE＝∠C(答案不唯一)
5.2 △DEO∽△BCO，△AEB∽△ACD
【分层训练】
1.略 2.略
3.△ECH、△GFH、△GAD均与△DBE相似，任选一对证明即可.
4.(1)△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD.
(2)略
5.(1)略 (2)成立，理由略. (3)CD＝5
。第23章 图形的相似
23.3 相似三角形
2.相似三角形的判定
第2课时 相似三角形的判定定理2，3
1.相似三角形的判定定理2
定 理：两边成比例且 的两个三角形相似.
2.相似三角形的判定定理3
定 理：三边 的两个三角形相似.
注 意：(1)由于相似只要求形状相同，所以我们应注意相似三角形的判定方法与全等三角形的判定方法的区别与联系；
(2)在运用中，视其具体情形灵活选择定理2或定理3. ，可考虑用定理3进行判断.
类型之一 相似三角形的判定定理2
如图，D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝9，AD＝4，AC＝7.2，AE＝5.求证：△ABC∽△AED.
类型之二 相似三角形的判定定理3
如图，在△ABC和△A'B'C'中，D、D'分别是AB、A'B'上一点，＝.当＝＝时，△ADC与△A'D'C'是否相似？请说明理由.
类型之三 相似三角形的判定的综合
如图，已知＝＝，点B、D、F、E在同一条直线上，请找出图中所有的相似三角形，并说明理由.
1.下列数据分别表示两个三角形的边长，则两个三角形相似的是( )
A.3、2、4与9、12、6
B.2、4、5与4、9、12
C.3、4、5与2、2.5、1
D.2.5、5、4与0.5、1.1、1.5
2.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
A.①和②相似 B.①和③相似
C.①和④相似 D.②和④相似
3.下列各条件中，能判断△ABC∽△A'B'C'的是( )
A.AB＝3A'B'，∠A＝∠A'
B.＝，∠B＝∠B'
C.＝，∠A＋∠C＝∠A'＋∠C'
D.∠A＝40°，∠B＝80°，∠A'＝80°，∠B'＝70°
4.[2024秋·温州期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为AB的中点.若在AC边上取点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为 .
1.[2024·内江月考]如图，下列网格中各个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
2.[2024·广州]如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
3.[2024·宜宾月考]如图，已知AD·AC＝AB·AE，∠DAE＝∠BAC.求证：△DAB∽△EAC.
4.[2024秋·槐荫区期中]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC和△EFD的顶点都在格点上，则△ABC与△EFD相似吗？请说明理由.
5.如图，BD、CE为△ABC的高.求证：△AED∽△ACB.
6.如图，已知四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD＝DC，DC2＝DE·DB.求证：
(1)△BCE∽△ADE；
(2)AB·BC＝BD·BE.
7.(推理能力)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G.
(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)连结FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长.
参考答案
【预习导航】
1.夹角相等
2.成比例 当两个三角形找不到一对相等的角时
【归类探究】
【例1】略
【例2】相似，理由略.
【例3】△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE，△ABF∽△ECF，△AEF∽△BCF.理由略.
【当堂测评】
1.A 2.B 3.C 4.2或
【分层训练】
1.B 2.略 3.略
4.△ABC与△EFD相似，理由略.
5.略 6.略
7.(1)略 (2)FG的长是.
。
