第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
第1课时 锐角三角函数的概念
1.正弦、余弦、正切的含义
正 弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角∠A的对边与斜边之比叫做锐角∠A的 ，记作 ，即sinA＝ .
余 弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角∠A的邻边与斜边之比叫做锐角∠A的 ，记作 ，即cosA＝ .
正 切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角∠A的对边与邻边之比叫做锐角∠A的 ，记作 ，即tanA＝ .
注 意：正弦、余弦、正切的本质是两条线段的长度之比，它们只是一个数值，没有单位.其大小只与锐角的大小有关，与锐角所在直角三角形的大小无关.
2.锐角三角函数
定 义：锐角∠A的正弦、 、 都叫做锐角∠A的锐角三角函数.
意 义：对于锐角∠A的每一个确定的值，sinA、cosA、tanA有 与它对应.
3.三角函数的关系
平方关系：sin2A＋cos2A＝1.
类型之一 由直角三角形两边长求锐角三角函数值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，BC＝7，求sinA、cosA、tanA的值.
类型之二 由一个三角函数值求其他三角函数值
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，tanA＝，求sinA、cosB的值.
如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值.
1.[2024·云南]如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tanA＝( )
A. B. C. D.
2.如图，将∠AOB放在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB＝ .
1.[2024·眉山仁寿县期末]在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列各式成立的是( )
A.b＝a·sinB B.a＝b·cosB
C.a＝b·tanB D.b＝a·tan B
2.[2024·内江隆昌期末]在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝25，则BC＝( )
A.24 B.20 C.16 D.15
3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是( )
A.sinB＝ B.sinB＝
C.sinB＝ D.sinB＝
4.如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点A、B、C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA＝ .
5.(1)在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝5，求sin A、cos A、tan A的值；
(2)在△ABC中，若BC、CA、AB三边满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，求sin A、cos B、tan A的值.
6.如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值是 .
7.[2023·益阳]如图，在平面直角坐标系中，有A(0，1)、B(4，1)、C(5，6)三点，则sin∠BAC＝ .
8.[2024·临夏州]如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sinB＝，则BC的长为 .
9.(1)若∠A为锐角，且sin A＝，求cos A、tan A的值；
(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求∠B的正弦值、余弦值.
10.(创新意识、推理能力)如图1，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1＋sin2B1＝ ，
sin2A2＋sin2B2＝ ，
sin2A3＋sin2B3＝ .
(1)观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A＋sin2B＝ ；
(2)如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想.
图2
参考答案
【预习导航】
1.正弦 sinA 余弦 cosA 正切 tanA
2.余弦 正切 唯一确定的值
【归类探究】
【例1】sinA＝，cosA＝，tanA＝.
【例2】sinA＝，cosB＝.
【例3】sinB＋cosB＝
【当堂测评】
1.C 2.
【分层训练】
1.D 2.D 3.C 4.
5.(1)sin A＝，cos A＝，tan A＝.
(2)sin A＝，cos B＝，tan A＝.
6. 7. 8.6
9.(1)cos A＝，tan A＝.
(2)sin B＝，cos B＝.
10.1 1 1 (1)1 (2)略
。第24章 解直角三角形
24.3 锐角三角函数
1.锐角三角函数
第2课时 特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
记忆方法：(1)sinα的值随α的增大而增大，依次为＝、、；
(2)cosα的值随α的增大而减少，依次为、、＝；
(3)tanα的值随α的增大而增大，依次为、＝1、＝.
类型之一 运用特殊角的三角函数值进行计算
求下列各式的值：
(1)2sin 30°＋3tan 30°－tan 45°；
(2)＋.
类型之二 由特殊角的三角函数值求角的度数
在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且｜tanB－｜＋(2sinA－)2＝0，试确定△ABC的形状.
1.tan45°的值等于( )
A.2 B.1 C. D.
2.计算6tan45°－2cos60°的结果是( )
A.4 B.4 C.5 D.5
3.计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝ .
4.根据下列条件，求出锐角∠A的度数.
(1)sinA＝，则∠A＝ ；
(2)cosA＝，则∠A＝ ；
(3)cosA＝，则∠A＝ ；
(4)cosA＝，则∠A＝ .
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( )
A. B.4 C.8 D.4
2.在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AB＝2，BC＝，则sin＝ .
3.计算：
(1)sin 60°cos 30°＋＝ ；
(2)cos245°＋tan 60°cos 30°＝ ；
(3)＋tan 30°＝ ；
(4)sin 45°cos 60°－cos 45°＝ ；
(5)sin 60°＋tan 60°－2cos230°＝ .
4.计算：
(1)(－2)0＋2sin30°－｜2－｜；
(2)＋－2cos60°；
(3)sin45°＋＋＋；
(4)＋2sin60°＋｜－2｜－.
5.[2024秋·静安区校级期中]计算：＋2＋4cos45°＝ .
6.[2024秋·江苏月考]若(tanA－)2＋(tanB－)2＝0，∠A、∠B为△ABC的内角，试判断三角形的形状.
7.(模型观念)阅读下列材料.
一般地，当α、β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.
例如，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°·cos30°－cos45°sin30°＝×－×＝.
根据上述内容，解决下列问题：
(1)求sin75°的值；
(2)在Rt△ABC中，已知∠A＝75°，∠C＝90°，AB＝4，求AC、BC的长.
参考答案
【归类探究】
【例1】(1) (2)2
【例2】△ABC是等边三角形.
【当堂测评】
1.B 2.D 3.5
4.(1)60° (2)60° (3)45° (4)30°
【分层训练】
1.D 2.
3.(1) (2)2 (3)－1 (4)－
(5)
4.(1) (2)1 (3)2024 (4)1
5.2－
6.△ABC为直角三角形
7.(1)sin75°＝
(2)AC＝－，BC＝＋.
。
