第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第2课时 解直角三角形解决仰角、俯角问题
仰角和俯角的概念
仰 角：测量时， ，视线与水平线的夹角叫做仰角，如图1.
俯 角：测量时， ，视线与水平线的夹角叫做俯角，如图2.
类型之一 解直角三角形解决仰角、俯角问题
在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角是30°，已知综合楼高24米，请你帮小明求出办公楼的高度.(结果精确到0.1；参考数据：tan37°≈0.75，tan53°≈1.33，≈1.73)
类型之二 利用三角函数计算物体的高度
[2024·山西]【研学实践】为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，某学校组织研学活动.同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解了相关历史背景后，利用无人机搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据.
【数据采集】如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离.无人机从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20m的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°，然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9m.
【数据应用】已知图中各点均在同一平面内，E、A、B三点在同一直线上.请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB.(结果精确到1m；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33)
1.[2024·德阳]某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30° (AB、CD在同一平面内，点B、D在同一直线上)，则建筑物CD的高为( )
A.20m B.15m
C.12m D.(10＋5)m
2.[2024·盐城]如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距离地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1m；参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
1.[2024·深圳]如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)( )
A.22.7m B.22.4m
C.21.2m D.23.0m
2.[2024·泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°.已知瞭望台BC高12m(图中点A、B、C、P在同一平面内，A、B在同一直线上)，则大汶河此河段的宽AB为 m.(参考数据：sin40°≈，sin63.6°≈，tan50°≈，tan63.6°≈2)
3.应县木塔是世界上现存最高大、最古老的纯木结构楼阁式建筑.已知应县木塔的高度AB为67.3m，塔前雕像的高度CD为10.3m，木塔与雕像之间有障碍物，不能直接测量.某测量小组为了测量应县木塔与塔前雕像之间的距离，采用了如下测量方案(如图)：
①他们在木塔和雕像之间选择一观景台EF，在点E处测得木塔顶部A的仰角为30°，测得雕像顶部C的仰角为45°；
②测得观景台的高度EF为1.3m；
③点B、F、D在同一直线上，AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，垂足分别是点B、F、D.
应县木塔与塔前雕像之间的距离BD为 m.(结果精确到0.1m；参考数据：≈1.7)
4.[2024·长子县期末]图1是某条道路的限速提示牌，该段道路限速80km/h(约22.2m/s).图2是小汽车途径该路段时，测速摄像头测速的示意图，点A、B在同一条水平直线上，且点A和点B到直线CD的距离都是8m，AB＝800m，小汽车由西向东行驶，到达测速起点C时，点A处的摄像头测得车头俯角α＝40°，经过37s小汽车到达测速终点D，点B处的摄像头测得车头俯角β＝60°.点C、D在同一水平直线上，点A、B、C、D在同一平面内.请你通过计算判断该小汽车的平均速度是否超速.(结果精确到0.1m/s；参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，≈1.73)
5.[2024·兴县模拟]高空抛物极其危险，某小区为了防止高空抛物，特安装一批摄像头.图1是某型号的摄像头安装完成后的示意图，镜头的拍摄广角α＝90°，摄像头B到地面的距离BD＝2.7m.图2是安装完成后投入使用的示意图，当摄像头刚好能拍摄到大楼底部C时，同时也能拍摄到大楼上最高点A.此时，测角仪在点B处测得点C的俯角∠CBF＝15°，点A、B、C、D、F均在同一平面内.请根据以上测量数据，求摄像头能拍摄到的大楼上最高点A到大楼底部点C的距离AC.(结果精确到1m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)
6.中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ＝4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图.已知淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB＝CD＝1.6m，点P到BQ的距离PQ＝2.6m，AC的延长线交PQ于点E.(图中所有点均在同一平面内)
(1)求β的大小及tanα的值；
(2)求CP的长及sin∠APC的值.
7.(应用意识)[2024秋·屯留区月考]项目化学习.
项目主题：测量校园里古槐的高度.
项目背景：在某校校园里有着一棵历经沧桑的古槐，数学实践小组想要测量这棵古槐树的高度.
研究步骤：
①小组成员讨论后，设计了如下的两种测量方案，并画出相应的测量示意图(方案一对应图1，方案二对应图2).
备注：两位同学的观测点C、D到地面的距离相等，线段EF长表示该树的高度，点A、B、C、D、E、F均在同一平面内.
②准备测量工具：测角仪、皮尺.
③实地测量并记录数据如下表：
方案一 CA＝DB＝1.6m α＝30° β＝45° AB＝23m
方案二 CA＝DB＝1.6m α＝30° β＝45° AB＝6.3m
问题解决：请你选择一种方案计算这棵古槐树的高度EF.(结果精确到1m；参考数据：≈1.41，≈1.73)
参考答案
【预习导航】
从下向上看 从上往下看
【归类探究】
【例1】办公楼的高度约为10.4m.
【例2】点A到地面的距离AB约为27m.
【当堂测评】
1.B 2.17
【分层训练】
1.A 2.74 3.121.2
4.小汽车没有超速，理由略.
5.这棵古槐树的高度EF约为10m.
6.(1)β＝45°，tanα＝.
(2)CP＝m，sin∠APC＝.
。
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 解直角三角形解决坡度问题
坡角与坡度的概念
坡 度：坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即i＝.坡度通常写成1∶m 的形式，如i＝1∶6.
坡 角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.
关 系：i＝＝tanα.
类型之一 计算坡度或坡角
[2024·眉山洪雅县期末]如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6m，坝高10m，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2＝1∶1.
(1)求斜坡AB的长(结果保留根号)；
(2)求坝底AD的长度；
(3)求斜坡CD的坡角α.
类型之二 坡度在实际生活中的应用
[2024·大同模拟]如图1，“植草沟”是指种有植被的地表浅沟，它可以通过种植的植被、过滤层等对雨水进行收集、输送、排放与净化.图2是某校综合实践小组的同学为某公园设计的植草沟示意图，该图为轴对称图形.种植植被的坡面AE＝DF＝104cm，AE与DF的坡度(铅直高度与水平宽度的比)i＝5∶12，种植土的上表层EF和下表层BC均与水平线PQ平行，并且EF＝BC，EF与BC之间的距离为32cm.其中AP⊥PQ，DQ⊥PQ.请你根据以上信息，求种植土底层斜坡AB的长度.
1.[2024·山西洪洞县期中]如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的示意图，示意图的一部分可抽象为线段AB.已知斜坡AB的坡度约为3∶4，坡长AB为nm，则坡AB的铅垂高度AH可表示为( )
A.m B.m C.m D.m
2.小明沿着坡度i＝1∶的斜坡向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了 m.
3.如图是某地铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度i＝5∶12(i为铅直高度与水平宽度的比).王老师乘扶梯从扶梯底端A处以0.5m/s的速度用时40s到达扶梯顶端B处，则王老师上升的铅直高度BC为 m.
1.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i'＝1∶1，则两个坡角的和为 .
2.[2024·眉山]如图，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE长为10m，则大树AB的高为 m.
3.[2023·仁寿县模拟]为增强体质，小明和小强相约周末去登山.如图，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发.已知小山北坡长为240m，坡度i＝1∶，南坡的坡角是45°.(出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC近似成线段)
(1)求小山南坡AB的长；
(2)如果小明以24m/min的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度.(结果保留根号)
4.如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500m，高10m，背水坡的坡角为45°的防洪大坝(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案如下：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3m，加固后背水坡EF的坡度i＝1∶.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；
(2)求完成这项工程需要多少立方米的土石？(结果保留根号)
5.(模型观念)[2023·达州一模]如图，某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i＝1∶，且AB＝26m.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造.经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡.
(1)求改造前坡顶与地面的距离BE；
(2)为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF，那么BF至少是多少米？(结果精确到1m；参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33).
参考答案
【归类探究】
【例1】(1)斜坡AB的长为10m.
(2)坝底AD的长度为46m.
(3)斜坡CD的坡角α为45°.
【例2】种植土底层斜坡AB的长度为120cm.
【当堂测评】
1.D 2.25 3.
【分层训练】
1.75° 2.(4－2)
3.(1)小山南坡AB的长为120m.
(2)小强若要和小明同时到达山顶A，小强攀登的速度为12m/min.
4.(1)加固后坝底增加的宽度AF为(10－7)m.
(2)完成这项工程需要土石(25000－10000)m3.
5.(1)改造前坡顶与地面的距离BE为24m.
(2)BF至少是8m.
。第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
第1课时 解直角三角形及方向角问题
1.解直角三角形的概念
定 义：在直角三角形中，由 元素求出 元素的过程，就是解直角三角形.
2.解直角三角形的基本类型及解法
已知类型 已知条件 解法步骤
两边 斜边、一直角边(如c、a) (1)b＝； (2)由sinA＝求∠A； (3)∠B＝90°－∠A
两直角边(如a、b) (1)c＝； (2)由tanA＝求∠A； (3)∠B＝90°－∠A
已知类型 已知条件 解法步骤
一边 一角 斜边、一锐角(如c、∠A) (1)∠B＝90°－∠A； (2)由sinA＝求a； (3)由cosA＝求b
一直角边、一锐角(如a、∠A) (1)∠B＝90°－∠A； (2)由tanA＝求b； (3)由sinA＝求c
3.方向角的概念
方 向 角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角.
类型之一 解直角三角形
已知在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)若a＝36，∠B＝30°，求∠A、b、c；
(2)若a＝6，b＝6，求∠A、∠B、c.
类型之二 利用解直角三角形解决方向角问题
如图，一艘轮船从点A处以30km/h的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°方向上，继续航行1h到达B处，这时测得灯塔C在北偏东45°方向上.已知在灯塔C的四周40km内有暗礁，这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由.(参考数据：≈1.414，≈1.732)
1.如图是某博物馆大厅电梯的截面图，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是( )
A.12sinα米 B.12cosα米
C.米 D.米
2.在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.
(1)若a＝5cm，∠A＝45°，则∠B＝ ，c＝ ；
(2)若c＝10cm，∠B＝30°，则a＝ ，b＝ ；
(3)若a＝4cm，c＝8cm，则cosA＝ ，tanA＝ ；
(4)若a＝b，则sinB＝ ，tanA＝ ，tanB＝ .
3.水务人员为考察水情，乘快艇以10m/s的速度沿平行于岸边的航线AB由西向东行驶.如图，在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40s到达B处，测得建筑物P在北偏西60°方向上，则建筑物P到航线AB的距离为 m.(结果保留根号)
1.[2024秋·眉山期末]已知渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船由A处向正东方向航行了24海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是( )
A.24海里 B.12海里 C.12海里 D.8海里
2.[2023·牡丹江]如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 cm.(结果保留根号)
3.[2024·内江月考]根据下列条件，解直角三角形：
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2；
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.
4.[2024·翼城县一模]周末，小红和小宇相约一起去郊外劳动基地参加劳动.已知小红家B在小宇家A的北偏西25°方向上，且AB＝5km.两人到达劳动基地C后，发现小宇家A在劳动基地C的南偏西25°方向上，小红家B在劳动基地C的南偏西70°方向上.求小宇家A到劳动基地C的距离AC.(结果保留1位小数；参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，≈1.41)
5.(应用意识)[2024·柯城区期中]如图，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域内(包括边界)都属于台风区，当轮船到达A处时，测得台风中心移动到位于A处正南方的B处，且AB＝100海里.
(1)若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遭遇台风？若会，试求出轮船刚开始遭遇台风的时间；若不会，请说明理由.
(2)现轮船自A处立即提高速度，向位于北偏东60°方向，且与A处相距60海里的D港驶去.为使轮船在台风到来之前到达D港，则船速应至少提高多少？(结果保留整数；参考数据：≈3.6，≈3.2)
参考答案
【预习导航】
1.已知 未知
【归类探究】
【例1】(1)∠A＝60°，b＝12，c＝24.
(2)∠A＝30°，∠B＝60°，c＝12.
【例2】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的.理由略.
【当堂测评】
1.A 2.(1)45° 5cm (2)5cm 5cm
(3) (4) 3.100
【分层训练】
1.D 2.(2＋2)
3.(1)∠A＝60°，∠B＝30°，c＝4.
(2)a＝3，b＝3，∠B＝30°.
4.小宇家A到劳动基地C的距离AC约为7.1km.
5.(1)轮船自A处按原速度继续航行，1小时后开始遭遇台风.
(2)船速应至少提高6海里/小时.
。
