第23章　图形的相似 复习课（含答案） 初中数学华东师大版九年级上册

第23章　图形的相似
本章复习课
　
类型之一　比例线段与比例的基本性质
1.[2024秋·武乡县期中]若＝＝(x、y、z均不为0)，则的值为(　　　　)
A.－11 B.－ C. D.11
2.我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形ABCD是黄金矩形，边AB的长度为－1，则该矩形的周长为　　　　.
类型之二　平行线分线段成比例
3.[2024·山西月考]如图，D、E是△ABC边BC、AC上的点，BD∶CD＝2∶5，连结AD、BE，交点为F.如果DF∶AF＝1∶4，那么的值是　　.
类型之三　相似三角形的判定
4.[2024·宜宾期末]如图，在△ABC中，已知EF∥AC，GH∥AB，IK∥BC.请写出图中所有和△DGF相似的三角形，并选一对加以证明.
5.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：△BEC∽△BCH；
(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.
　　类型之四　相似三角形的判定与性质性质
6.[2024·重庆A卷]如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝CA，过点D作DE∥CB，且DE＝DC，连结AE交BC于点F.若∠CAB＝∠CFA，CF＝1，则BF＝　　　　.
7.[2024·内江月考]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在边AC上，过点E作ED⊥AB，垂足为D.
(1)若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长；
(2)连结BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长.
　　8.[2024·上海]如图，在矩形ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD.
(1)求证：AD2＝DE·DC；
(2)若F为线段AE延长线上一点，且满足EF＝CF＝BD，求证：CE＝AD.
　　9.[2024·内江东兴区开学]如图，在正方形ABCD中，F是边BC上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.
(1)若∠BAF＝18°，则∠DAG＝　　　　°；
(2)求证：△AFC∽△AGD；
(3)若＝，请求出的值.
　　类型之五　位似图形及图形变换与坐标
10.在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(2，1)、C(3，2)，现以点O(0，0)为位似中心，在第一象限内作与△ABC的相似比为2的位似图形△A'B'C'，则顶点C'的坐标是　　　.
类型之六　相似三角形的动态问题
11.[2024秋·长子县期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发，沿AC方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s.设运动时间为ts(0＜t＜4)，当t为何值时，△ABC与△PQC相似？
　　类型之七　相似三角形的综合问题
12.[2024秋·阳泉期中]如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，E是对角线BD上任意一点，EG∥CD交BC于点G，EF∥AD交AB于点F.
(1)当点E为BD的中点时，＝　　.
(2)如图2，将四边形BFEG绕点B逆时针旋转，连结CG、DE.在旋转过程中，的值是否发生变化？若不变化，求出的值；若发生变化，请说明理由.
(3)如图3，将四边形BFEG绕点B逆时针旋转，连结AF、DE.请直接写出旋转过程中的值.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　类型之八　综合与实践
13.[2024·沁县三模]阅读材料并解决问题.
(一)定义中话中点
若点M是线段AB的中点，则AM＝MB；反过来，若点M在线段AB上，且AM＝MB，则点M是线段AB的中点.
(二)图形运动中话中点
(1)AM绕点M旋转180°后与BM重合；
(2)AM沿A到M的方向平移AM长度得到MB；
(3)AB沿它的垂直平分线对折后AM与BM重合.
(三)证中点
如图1，在△ABC中，AB＝AC，点E在边AB上，点D在边AC的延长线上，且BE＝CD，连结ED交BC于点F.求证：点F为ED的中点.
思路：欲证明点F为ED的中点，即EF＝FD，从运动角度看，EF沿射线EF方向平移到FD即可，则可将EF所在的三角形平移.如图2，将△EFB沿射线EF平移到△FDB'的位置，只要证明△EFB≌△FDB'即可.辅助线作法：如图2，过点D作DM∥BC，交AB的延长线于点M，过点F作B'N∥AB，交MD于点B'、交AC于点N.
证明：∵AM∥NB'，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
∵BC∥MD，∴∠4＝∠5，∴∠3＝∠5.
∵BC∥MD，∴＝(依据1).
∵AB＝AC，∴BM＝CD.
∵CD＝BE，∴BM＝BE.
∵BF∥MB'，BM∥FB'
∴四边形BMB'F是平行四边形，
∴BM＝B'F，∴BE＝B'F，
∴△BEF≌△B'FD(依据2)，
∴FE＝FD，
即点F为ED的中点.
任务一：材料中依据1为　　；依据2为　　.
任务二：材料中例题从平移角度作辅助线证明中点，请从旋转的角度作辅助线证明中点，并写出证明过程.
任务三：如图3，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝2，∠A＝105°，∠D＝120°，点E为边AD的中点，连结BE、CE，∠BEC＝90°，直接写出BC的长.
图3
　　
　　
　　
　　
　　
　　
1.[2023秋·于洪区期中]【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角r等于入射角i.这就是光的反射定律.
【问题解决】
如图2，林舒同学正在使用激光笔进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，激光笔在点G处，激光笔的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点G到地面的高度GA＝1.2m，点F到地面的高度FC＝1.5m，激光笔到木板的水平距离AC＝5.4m，木板到墙的水平距离CD＝4m.图中A、B、C、D在同一条直线上.
(1)求平面镜到木板的水平距离BC；
(2)求点E到地面的高度ED.
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
2.[2024·平城区一模]请阅读下列材料，完成相应的任务.
有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值R是多少？
我们可以利用公式＝＋，求得R的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：
如图1，在直线l上任取两点A、B，分别过点A、B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC＝R1，BD＝R2，且点C、D位于直线l的同侧，连结AD、BC交于点E，过点E作EF⊥l，则线段EF的长度就是并联后的电阻值R.
证明：∵EF⊥l，CA⊥l，
∴∠EFB＝∠CAB＝90°.
又∵∠EBF＝∠CBA，
∴△EBF∽△CBA(依据1)，
∴＝(依据2).
同理可得＝，
∴＋＝＋，
∴1＝＋，
∴＝＋，
即＝＋.
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指的是什么？
(2)如图2，两个电阻并联在同一电路中，已知R1＝3千欧，R2＝6千欧，请在图3中(1个单位长度代表1千欧)画出表示该电路图中总阻值R的线段长.
(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法：如图4，作△ABC，使∠C＝90°，AC＝BC＝R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD＝R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2.你认为他的方法是否正确？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由.
　　
　　参考答案
【整合提升】
1.D　2.2＋2或4　3.
4.图中和△DGF相似的三角形有△EBF、△ABC、△AIK、△HGC、△HDK、△EID.证明略.
5.略　6.3
7.(1)AD＝4　(2)DE＝
8.略
9.(1)27　(2)略　(3)＝
10.(6，4)　
11.当t＝或时，△ABC与△PQC相似.
12.(1)
(2)没有变化.＝.
(3)＝
13.任务一：平行线分线段成比例　ASA
任务二：略
任务三：BC＝2
【项目化学习】
1.(1)平面镜到木板的水平距离BC为3m.
(2)点E到地面的高度ED为3.5m.
2.(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似，依据2：相似三角形的对应边成比例.
(2)略
(3)小明的方法正确.证明略.
。