5.4二次函数与一元二次方程--苏科版（含解析）九年级数学下册试题

5.4二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　）
A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2
C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3
2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0； ②b2＜4ac； ③2c＜3b； ④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x … ﹣2 0 1 3 …
y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 …
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的最小值为﹣6
B．这个函数的图象开口向下
C．这个函数的图象与x轴无交点
D．当x＞2时，y的值随x值的增大而增大
4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：
①2a+b＝0；
②a+b+c＞0；
③方程ax2+bx+c＝a有两个不相等的实数根；
④不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
其中所有正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
5．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3，4）、（3，1），点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
6．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的根为 　 　；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是 　 　；当x 　 　时，y随x的增大而减小．
7．已知抛物线y＝x2+3x﹣5与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），则3x2+15＝ 　 　．
8．如图，二次函数y＝﹣x2+2mx+2m+1（m是常数，且m＞0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若∠BEF＝2∠ACO，则m的值为　 　．
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．过点C作CD⊥y轴，交该图象于点D．若B（8，0）、D（6，4），则△ABC的面积为 　 　．
10．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为 　 　．
三、解答题
11．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在所给的坐标系中画出这条抛物线；
（2）利用图象回答：x取什么值时，函数值小于0？
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，交y轴于点C，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段AC上方的抛物线上一动点，过P作PF⊥AC，当PF最大时，求出此时P点的坐标以及PF的最大值．
13．如图已知二次函数图象与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B．
（1）连结BC，求直线BC的解析式；
（2）点P为该二次函数图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标及△BCP面积的最大值．
14．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，C两点．
（1）求b的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）根据图象，直接写出当y1＞y2时x的取值范围．
15．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点．
（1）求二次函数解析式；
（2）根据图象，写出满足不等式x2+bx+c＜mx+n的解集 　 　；
（3）二次函数y＝x2+bx+c，当1≤x≤3时，对应的函数值y的取值范围为 　 　．
16．如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）．
（1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　；
（2）求这个二次函数的表达式；
（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　．
17.如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标；
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．
18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线L1交x轴于点A（1，0），C（5，0），顶点坐标为E（m1，k）．抛物线L2交x轴于点B（2，0），D（10，0），顶点坐标为F（m2，k）．
（1）连接EF，求线段EF的长；
（2）点M（﹣7，d1）在抛物线L1上，点N（16，d2）在抛物线L2上．比较大小：d1　　d2；
（3）若点P（n+3，f1），Q（2n﹣1，f2）在抛物线L1上，f1＜f2，求n的取值范围．
19.如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
20.数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．
21.综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】由题干条件可以得出二次函数解析式y＝﹣（x+1）2+4，再分别判断四个选项，也可以通过二次函数对称性去判断．
【解答】解：选项A：∵顶点坐标为（﹣1，4），∴对称轴为直线x＝﹣1，故选项A错误；
选项B：由对称性可知，（﹣3，0）关于x＝﹣1对称的点为（1，0），故选项B错误；
选项C：开口向下，当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
选项D：设二次函数解析式为y＝a（x+1）2+4，将（﹣3，0）代入得a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）2+4，令x＝0得y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确．
故选：D．
2．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b＝﹣2a，x＝﹣1时y＜0可判断③，由x＝1时函数取最大值可判断④，由函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1及直线y＝﹣1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|＝1的解及抛物线的对称轴为直线x＝1可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a，
∴b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
3．
【分析】根据抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4）可得抛物线对称轴为直线x，由抛物线经过点（﹣2，6）可得抛物线开口向上，进而求解．
【解答】解：∵抛物线经过点（0，﹣4），（3，﹣4），
∴抛物线对称轴为直线x，
∵抛物线经过点（﹣2，6），
∴当x时，y随x增大而减小，
∴抛物线开口向上，
∴x时，y随x增大而增大，
∴当x＞2时，y随x增大而增大，
故选：D．
4．
【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及抛物线的性质求解．
【解答】解：由图象得：a＞0，与x轴相交于点（﹣1，0）和（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x1，即1，
∴b+2a＝0，
故①是正确的；
由图象得：当x＝1，y＜0，即a+b+c＜0，
故②是错误的；
∵a＞0，
∴y＝a在x轴的上方，∴y＝ax2+bx+c的图象与y＝a有两个交点，
故③是正确的；
根据平移得：y＝ax2+bx+c的图象向左平移1个单位得y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象，
∴y＝a（x+1）2+b（x+1）+c的图象与x轴的交点为（﹣2，0）（2，0），
∴不等式a（x+1）2+b（x+1）+c＜0的解集是﹣2＜x＜2．
故④是正确的；
故选：C．
5．
【分析】求解函数与x轴的交点坐标，如图，当顶点在E（3，1）处时，A点的横坐标最大，求解解析式，再求解当顶点在C（﹣1，4）处时，B点的横坐标最小时的抛物线，再求解函数与x轴的交点坐标即可得到答案．
【解答】解：如图，当顶点在E（3，1）处时，A点的横坐标最大，
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣3）2+1，代入A（2，0），解得a＝﹣1，
则抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣3）2+1；
如图，当顶点在C（﹣1，4）处时，B点的横坐标最小，
这时抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+4，
当y＝0时，y＝﹣（x+1）2+4＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴点B的横坐标的最小值为1．
．
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象可以得到其对称轴和与x轴一个交点，由此可以得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后就可得m的值，那么解方程就能求得一元二次方程的解，可得到函数与x轴的交点，那么x轴上方的函数图象所对应的x的取值即为不等式﹣x2+2x+m＞0的解集，对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵对称轴为x＝1，一个根为3，
∴1，
∴x＝﹣1，
∴﹣x2+2x+m＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，
∴不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是﹣1＜x＜3，
当x＞1时，y随x的而减小．
7．
【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，可判断x1、x2为方程x2+3x﹣5＝0的两根，利用一元二次方程解的定义得到3x1+5，则3x2+15＝﹣3（x1+x2）+20，再根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣5与x轴的两个交点为（x1，0）、（x2，0），
∴x1、x2为方程x2+3x﹣5＝0的两根，
∴3x1﹣5＝0，
∴3x1+5，
∴3x2+15＝﹣3x1+5﹣3x2+15＝﹣3（x1+x2）+20，
∵x1+x2＝﹣3，
∴3x2+15＝﹣3×（﹣3）+20＝29．
故答案为：29．
8．
【分析】先用m的代数式表示出A，B，C的坐标，再作∠OCB的平分线交OB于点G，过点G作GH⊥BC于点H，根据全等和角平分线性质得到用m的代数式表示的GH和GB的长，根据GH和GB的关系即可求出m的值．
【解答】解：在y＝﹣x2+2mx+2m+1中，当y＝0时，﹣x2+2mx+2m+1＝0，
解方程，得x1＝﹣1，x2＝2m+1，
∵点A在点B的左侧，且m＞0，
∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），
在y＝﹣x2+2mx+2m+1中，当x＝0时，y＝2m+1，
∴C（0，2m+1），
∴OB＝OC＝2m+1，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°，
∵EF∥y轴，
∴∠BEF＝∠BCO，
∵∠BEF＝2∠ACO，
∴∠BCO＝2∠ACO，
作∠OCB的平分线交OB于点G，过点G作GH⊥BC于点H，则OG＝GH，如图，
∴∠BCO＝2∠OCG，GH＝GO，
∴∠ACO＝∠GCO，
∴△ACO≌△GCO（ASA），
∴OA＝OG＝GH＝1，
∴GB＝OB﹣OG＝2m+1﹣1＝2m，
∵GH⊥BC，∠GBH＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
9．
【分析】由抛物线的对称性及点D，B的坐标可得点A，C的坐标，进而求解．
【解答】解：∵CD∥x轴，点A，B为抛物线与x轴交点，
∴A，B关于抛物线对称轴对称，C，D关于抛物线对称轴对称，
∵D（6，4），
∴点C坐标为（0，4），
∴抛物线对称轴为直线x＝3，
由B（8，0）可得点A坐标为（﹣2，0），
∴S△ABCAB OC20，
故答案为：20．
10．
【分析】利用排除法，先求得直线y＝x+m与该图象有两个或三个交点时m的取值，则可求得结论．
【解答】解：由题意，直线y＝x+m与函数y的图象恒相交，
①当m＞0时，直线y＝x+m与直线y＝﹣x（x＜0）恒相交，
与抛物线y＝﹣x2+2x（x＞0）至少有一个交点时，
即方程x+m＝﹣x2+2x有两个实数根，
∴x2﹣x+m＝0．
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×m≥0，
解得：m．
∴当0＜m时，直线y＝x+m与函数y的图象有两个或三个交点，
∴当m时，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点；
②当m＜0时，由图象可知，直线y＝x+m与函数y的图象只有一个交点，
综上，若直线y＝x+m与该图象只有一个交点，则m的取值范围为m或m＜0．
故答案为：m或m＜0．
三、解答题
11．解：（1）列表
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 ..．
描点、连线，
（2）由函数图象知，当抛物线在x轴上方时，x＜﹣1或x＞3，
∴当﹣1＜x＜3时，函数值大于0．
12．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为yx2﹣x+4；
（2）过点P作PE∥y轴，交AC于点E，如图，
∵抛物线yx2﹣x+4交y轴于点C，
∴C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，则，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（m，m2﹣m+4），则E（m，m+4），
∴PEm2﹣m+4﹣（m+4）m2﹣2m，
∵OA＝OC＝4，
∴△ACO是等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∵PE∥y轴，
∴∠PEF＝∠ACO＝45°，
∵PF⊥AC，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PFPE（m2﹣2m）（m+2）2，
∵0，
∴当m＝﹣2时，PF取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣2，4）．
13．解：（1）∵对于，
令x＝0，可得y＝2，
∴B（0，2），
令y＝0，可得x2x+2＝0，
解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），C（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
解得k
∴直线BC的解析式为yx+2；
（2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，
设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2），
∴PQt2t+2t﹣2t2+2t，
∴S4×（﹣t2+2t）＝﹣2t2+4t＝﹣2（t﹣1）2+2，
当t＝1时，△BCP的面积最大，面积的最大值为2，此时P（1，3）．
14．解：（1）当y1＝0时，
x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）．
∵直线y2＝﹣x+b经过A点，
∴0＝﹣（﹣1）+b，
∴b＝﹣1；
（2）由（1）知y2＝﹣x﹣1，
联立得：x2﹣2x﹣3＝﹣x﹣1，
整理得x2﹣x﹣2＝0
解得：x＝﹣1（舍），x＝2，
把x＝2代入y＝﹣x﹣1，得y＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∴S△ABC[3﹣（﹣1）]×|﹣3|＝6；
（3）A（﹣1，0），C（2，﹣3），
当x＜﹣1或x＞2时，抛物线在直线的上方，
∴当y1＞y2时，x＜﹣1或x＞2．
15．解：（1）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（0，3），将点A，点B代入得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴二次函数图象对称轴为直线x＝2，
∵点C与点B关于该二次函数图象的对称轴对称，已知一次函数y＝mx+n的图象经过A，C两点，B（0，3），
∴点C的坐标为（4，3），
∵点A的坐标为（1，0），
∴由图可知，当1＜x＜4时，x2+bx+c＜mx+n；
故答案为：1＜x＜4；
（3）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴当x＝2时，y有最小值﹣1，
当x＝1时，y＝1﹣4+3＝0，
当x＝3时，y＝9﹣4×3+3＝0，
∴当1≤x≤3时，﹣1≤y≤0，
故答案为：﹣1≤y≤0．
16．解：（1）∵二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴一个交点坐标为（1，0），
∴二次函数图象与x轴的另一交点为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）；
（2）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）2﹣4，
把（1，0）代入解析式得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴二次函数的表达式表达式为y＝（x+1）2﹣4；
（3）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴抛物线的最小值为﹣4，
∵﹣1﹣（﹣4）＝3＞0﹣（﹣1）＝1，
∴当x＝﹣4时，y＝5，
∴当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜5，
故答案为：﹣4≤y＜5．
17.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣）；
（2）连接OP，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣）；
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
18.解：（1）由题意可得：m1＝，m2＝＝6，
∴EF＝6﹣3＝3；
（2）由题意得：设抛物线L1：y1＝a1（x﹣1）（x﹣5），抛物线L2：y2＝a2（x﹣2）（x﹣10），
由（1）得：E（3，k），F（6，k），
∴a1（3﹣1）（3﹣5）＝a2（6﹣2）（6﹣10），
∴a1＝4a2，
∴y1＝4a2（x﹣1）（x﹣5），
把x＝﹣7代入抛物线L1得：d1＝4a2（x﹣1）（x﹣5）＝384a2，
把x＝16代入物线L2得：d2＝a2（x﹣2）（x﹣10）＝84a2，
∵a2＞0，
∴d1＞d2；
故答案为：＞；
（3）∵f1＜f2，
∴点P离对称轴更近，
∴|n+3﹣3|＜|2n﹣1﹣3|，
∴（n+3﹣3）2﹣（2n﹣1﹣3）2＜0，
∴（n+2n﹣4）（n﹣2n+4）＜0；
∴或，
∴n＜或n＞4．
19.解：（1）由抛物线与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，代入抛物线y＝ax2+bx+3得：
，
解得：；
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在，理由如下：
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝3，
∴C点坐标为（0，3），OC＝3，
∴S△ABC＝AB OC＝×4×3＝6，
∴S△PBC＝S△ABC＝3；
作PE∥x轴交BC于E，如图：
设BC的解析式为：y＝kx+b，将B、C代入得：
，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3；
设点P的横坐标为t，则P（t，﹣t2﹣2t+3），
则E的纵坐标为：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，
∴E（，﹣t2﹣2t+3）；
∴PE＝﹣t＝，
∴S△PBC＝××3＝3，
解得：t＝﹣2或3；
∴P点纵坐标为：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，
∴点P的坐标为（﹣2，3）或（3，﹣12）．
20.（1）证明：当a＝﹣时，函数表达式为y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣，
∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当a＝﹣时，不符合题意；
当a≠时，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣或x＝，
∵x＝＝2﹣，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时，是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．
21.（1）由，得．
解，得，．
∴点A，B的坐标分别为，，
由，得．
∴点C的坐标为．
（2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，

过点C作交的延长线于F．
∵点A的坐标为，点C的坐标为．
∴，．
∴．
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线BC的函数表达式为．则．解得
∴直线BC的函数表达式为：．
∵点D的横坐标为，
∴点D的坐标为，点G的坐标为：．
∴，，．
∴
∴．
解得：（不合题意舍去），，
∴m的值为3．
（3）将代入
∴，
设，，
∵，
∴如图所示，当是平行四边形的边时，


∴由平行四边形的性质可得，
，解得或
∴点M的坐标为或；
当是平行四边形的边时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
如图所示，当是平行四边形的对角线时，

∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．